2005年全国高中数学联赛试题及答案

二○○五年高中数合竞赛试D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内一律得0分。x

x3

6x≥k有解的实数k的最大值是 63 63

6

3空间四点A、B、C、D满足|AB|3,|BC|7,|CD|11,|DA|9则ACBD的取3（只有一 C．有四 D．有无穷多ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C111 cos 111分别交此圆于A、B、C。 的值为

sinAsinBsin 如图，ABCDABCD为正方体。任作平面AC多边形的面积为S，周长为l.则（）A．Sl不为定值B．SlC．S与l均为定 D．S与l均不为定2 y 2 2sincos 2sincos2cos焦点在x轴上的椭 B．焦点在x轴上的双曲C．焦点在y轴上的椭 D．焦点在y轴上的双曲记集合T

0,{1,2,3,4,,,M{a1a2a3

a

74素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是 ．D．1

556 72 7410

．5 72

6

C．1

0 74

74二、填空题（549分）6小题，要求直接将答案写在将关于x的多项式g(y)

f(x)1xx2x3x19x20表为关于y的多项式aayay2ay19ay20其中yx4.则

a

f(x是定义在(0,则a的取值范围

a2a

a2

a1)设、满足02任意xR,cos(x)cos(x)cos(x)0,则 如图，四面体DABC162且满足ACB45ADBC2

3,则CD 若正方形ABCDy2x17yx2上.则该正方形面积的最小值 如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1,a2,a3,,若an2005,则a5n 三、解答题（6020分数列

}

n1

,n7a7a 45a2nn（1）对任意nNan为正整数；(2)对任意nNanan11将为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达yx2A（1,1）x轴于Dy于B.点C在抛物线上，点 段AC上，满足

1;点 段BC上，

，且

1CDEFP.C求点P二○○五年高中数合竞赛加试试（50如图，在ABCABACA作ABC的外接圆的切线l.A为圆心AC为半径作圆分别交线ABD;交直线l于E、F.（50设正数a、b、cxyz满足cybzaazcxb;bxay 求函数f(x,y,z)

1 1

1（50 对每个正整数n,定义函数f(n)

（其中x]

k二○○五年高中数合竞赛准适当划分档次评分，10（１）DE、DC，作BACDEI、DC于GICADACAGDC，IDIC.10分又DCE在A上，IAC1DACIEC，A2I、C、E四点共圆，CIECAEABCCIE2ICD，ICA1ABC.202AICIGCICG901ABC,ACI1ACB.I为ABC的内心30 （2）DF过ABC１，连为内心，IBI190EDI1,D、BI1、I四点共圆，BIIBDI90ADI(1BACADG)ADI1BAC AII1共线。I1是ABC的BC边外的旁解：b(azcxbc(bxayca(cybza0

b2c2a2

a2c2

a2b2

b

0,x

y

,z

.10a、b、cxyzb2c2a2a2c2b2a2b2c2故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角ABC，xcosAycosBzcosC，问题转化为：在锐角ABCcos2 cos2

cos2

的最小值.20f(cosA,cosB,cosC) 1cosA1cos

1cosucotAvcotBwcotC则u,vwR,uvvwwu1,且u21uv)(uv21uv)(vww21uw)(vw).30u2u2cos2A1cos

u21(u21u21(u21u2u2

u2(u21u)u2

u2

3 (uv)(u

2

(1 1u u

cos21cos

2

(1 1u vcos21cos

2

( uwv

1u3

v3

u3

f

v

u v u

)

v

[(u

uvv)

w2u2uww21(uvvwuw)1.50 （取等号当且仅当uvw此时，abcxyz1),f(xy

1xyzf(xy

1102

解：对任意a、kN若k2ak1)2则1ak22kak01a11 ak2k2k1，[12k让a跑遍区间a

a

ak

ak

ak

ak(k2k1)2

2k

n2k2k ]

f(a)[

2k

k2a(k

k1i1i下面计算i

]：画一张2k2k的表，第i行中，凡是i 2k

]个，全表的“*”号共iiii

]收集“*”jj有j个正因数，则该列便有j个“*”2k 2k 故全表的“*”号个数共(j)个，因此 ](j)。示例如下j

i1

jji1234561******2***3**4*5*6*

n

f(a)(j)n[(1)(2)](n1)[(3)(4)]k1j[(2n[(2n1)②f(k)(16k)[(2k1(2k③30k k记记ak(2k1)(2k),k1, 15,易得ak的取值情况如下 因此 f(k)

78340f