高数-第五章定积分和不定积分是积分学两个

definite而定积分则完整地体现了积分思想—1基本要第五第五章定积第一节定积分的概念与性 定积分问题举例定积分的定*定积分的几何意义和物理意关于函数的可积性定积分的性小结思考题作业3一、定积分问题举来的现举两例.1.1.求由连续曲y

x0及

y

(x)xaxb和

0所围成的曲边梯形的

A 4以直代以直代用矩形面积近似取代曲边梯形面 （五个小矩形 （十个小矩形 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边5采取下列四个步骤来求面积分割任 若干Ai表ax0

x1

的窄曲边梯形的面把区间[a,b]分成n

y

(x)小区间xi1xi

长度

xi取近在每个小区间xi1,xi

Oa

xn1 上任取一点

以xi1xi]为底

f

为高的小矩形

f(i)xi,

6n面积A的近似值nAi

f(i求极为了得到A的精确值分割无限加细即小区间的最大长度max{x1,x2,xn趋近于零形的面积

0时取极限极限值就是曲边nAlim

f(i

i7以不变以不变代22.求变速直线运动的路设某物体作直线运动,已知速

vv(t是时间间隔[T1,T2上t 续函数,且v(t)思把整段时间分割成若干小段,每思把整段时间分割成若干小段,每小段速度看作不变,求出各小段的路程再相加,得到路程的近似值最后通过对时间的无细分过程求得路程的8分

T1

ti1

表示在时间区间[ti1,ti]内走过的路程取近

v(i

(i

1,2,n)求

nsv(i)tii1

某时刻的速取极

max{t1,t2,,tnn

令路程的精确

slimv(i

i9上两例共同点量具有可加性上两例共同点量具有可加性II;方法一样结果形式一样设函数f(x)在若干个分a

x0

x1

x2

xn1

xn把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间长度依次xx

,(i

i

,

在各小区间上任一点i

xin

作乘积

(i)xi

并作

Si

f(i

x2},如果不论对[a,b]怎样的分法,也不论在小区间[xi1

xi]上点怎样的取法只要当时,和S总趋于确定b极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上b定积分.积分上

a

x)dx，

积分baf(baf(x)dxf(iin积分下[a,b]积分区

被积被积分积函变表 注注（1）fx)在区[ab]上可积n(2)

f(i)xi是与[a,b的分法及在[xi1xi上in

有关Ilim

f(i)xi[ab]的分xi1

xi

i上i

无关bb

a

(x)dx

a

(

a

bb定积分是一个数,定积分数值只依赖于bb的结构和上、下限

而与积分变量的记号无关三、定积分的几何意义和物理意1.1.几何意f(x)f(x)

yf(x)yf(x)的负aObxbb

((

曲边梯形的面b b

(x)dx

A b b

(x)dx几何意它是介于x轴、函数f(x)的图形及两yf(x)aObxx=a,xb之间的各部分面积的代数和.x轴上方的面积取正号yf(x)aObx1求1

1x11x01解 11

x2dx

y 2.2.物理意当v(t

定积

av(t

表示以变bvv(t)作直线运动的物体从时刻ta到时btb所经过的路四、关于函数的可积当函数fx)在区间[a,b]上的定积分存在时称f(x)在区间[a,b]上可积.或可积记德国数学家fR[德国数学家

设fx)在[a,b]上连续,则

x)在[a,b] 可积定理

设fx)在[a,b]上有界

且只有有限个一类间断点则

x)在[a,b]可积定理

x)在[a,b]上可积，

fx在[ab]上必有界（注意逆否命题）例用定义计算由抛物

yx2

x120x和x轴所围成的曲120x[0,1]分成n等分分点为

i,n

小区间xi1xi

的长

1,iin iyyx2

xi

i

ni

f

i

2x

nni

iix2xiiii i2 ii i1

nnnn

in3i

i n i2

n(n1)(2n i1

nnnn

in3i

n3 6116

121nn nn

0

n1

11

121 0i

nn n6 nn对于任一确定的自然

n积分1x2dx10

i

f(i

1166

121nn nn当n取不同值时

1n取得n取得越大,近似程度越好

近似值精度不同例利用定义计算定积

1dx.2 2解在[1,2]中分

2,,qn1

1,2,,n小区间的长

qi1

qi1 ,qq

qi1，（

nf

)x

1x

ii

i

i in(qin

1

取qn

即q2ni

f(i)xi

n(2n

1x

x(2x111

x

2x11x

n(2n

2 n dx

i

i

n(2n

讨论定积分的近似计算问题b设fxC[a,b],afx)dx存在[a,bn等分用分点a

x0,x1,x2,,xn[a,b]分成n个长度相等的小区间

每个小区x

ba,n n

xi1bab

(

lim

f

f(

bni1)n b

n

i

i nn

i

f(xi1

对任一确定的自然数bab

(x)dx

ba

nni

f(xi1取

xi1

x

babafbaf(x)dxbn(y0y1yn1记fxi(i0,1,2,,bab

(x)dx

ba i

f(

i1baf(baf(x)dxbn(y1y2yn

xi

y几何意

yf(x) 五、定积分的性对定积分的补充规

abbb

(x)dxa

a

(x)dx

f(说说在下面的性质中,假定定积分都存在b性质1abbbbbb

f(x)g(

f(

g(

f(x)g(n

[i1

f(i)

g(in

bib

f(i

i

g(ibb

f(

ag((此性质可以推广到有限多个函数作和的情况性质

bbb

(

k

f(bnb

(k为常数

(n

i

(inb

ki

f(i

k

i

f(ik

f(性质1和性质2称为线性性质b性质b

假设

cbab

(

ca

(

f(补充

a,b,c

的相对位置如何,上式总成立例若c

b af(x)dxaf(x)dx

f(c则

f(

c

f(x)dxbf(b

f(x)dx f((定积分对于积分区间具有可加性b性质b

a1

adx

bb性质b

如果在区间[a,b]b

f(x)afx)dx

(ab)证

(x)

f(i)

i1,2,,xi

i

f(i)xibmax{x1,x2,,xnb

i

f(i)xi

f(x)dx例比较积分

2exdx和

的大小0解0

(x)

ex

x[2,f(x)

(ex

x)dx00exdx02 22exdx0

20性质5如性质5如果在区间[a,b]上fxb则af(x)dx(ab)性质5的推论b如果在区间[a,b]b

f(x)

g(x),b则b

f(

g(

(ab)fxgb

g(x)

f(x)a[g(x)b

f(x)]dxbag(b

af(x)dxb

f(

g( 性质5的推论 af(x)dxa|f(x)|

(a由推由推论 a|f(x)|dxaf(x)dxa|f(x) af(x)dxa

f(x)|说明

fx|在[a,b]上的可积性是显然的性性质5如果在区间[a,b]上fxb则af(x)dx(ab)性质

设M和

分别是函

fx)在[a,b]上的最大值及最小值b则m(baafx)dx

M(ba)bb证mfxbbbb

mdx

f(x)dx

bm(ba)b

f(x)dx

M(ba)(此性质可用于估计积分值的大致范围例估计积分

m(ba)m(ba)baf(x)dxM(ba)

dx的值x解fx

13sin31

x[0,0

x

43

sin3 1

3

1

dx dx

1dx

3sin3 m(bm(ba)baf(x)dxM(ba)

sin2x2x4

dx的值解fx

sinxf(x)

sin

cosx(

tanx)x2 x2

x,f(x)C4,2

x)在42

2M

() 2 2

mf 2)( )(

ba4 sin

22 22 dx 第五章定积分习题

积分第一中值定性质7设函数fxgx)在[a,b]上连续,且gx)bb利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一bb[a,b],使

f(x)g(x)dx

g(最值定b证fx)在[a,b]上有最大值M和最小最值定bbamg(x)dxb

abbb

(x)g(x)dx

Mg(am

f(x)g(介值定 介值定ag(b[a,b],

f()

a

(x)g(bag(b2002年考研数学(四)6

即证性质8(定积分中值定理）如果函数f(x)在闭区[a,b]上连续则在积分区间[a,b]上至少存在一点使下式成立b

积分中值公a

(x)dx

f()(b

(a注定理用途如何去掉积分号来表示积分值注无论从几何上,还是从物理上 都容易理b1f()就是b1

(x)在区间[a,b]上的平均值f()

ba

f(

平均值公求连续变量的平均值要用到 baf(x)dxf()(ba)(ab)积分中值公式的几何解在区间[a,b]上至少存在一点yf()

yf(x)

使得以区间[a,b]为底边,以曲y

(x)• •

面积等于同一底边而高为 的一个矩形的面积

baf(x)dxf)(ba)(a例求证

4sinnx0

xdx证当x0, 4

1n|sinnx

x

sin 2 4 20 4sinnx0

xdx

1n 2 2

(n)定即得定

4sinnx0

xdx六、小定积分的实质:特殊和式的极限定积分的思想和方法思想以直代曲、以匀代变方法四步曲分割取近似求和取极限定积分的性(注意估值性质、积分中值定理的应用典型问估计积分值不计算定积分比较积分大小作习题5-1(2332.(2)，6.(2)(4)，7，8.(3)思考题设函

fx在区间[0,1]上连续，且取正值nfnfnfnfn12n 1

e0

f(x)dx.证明

利用对数的性质nfnf1nf2nnfn

nfnf1f2fn n n ne 极限运算与对数运算nfnf1f2fn n n nlim enlim

nn

if f

nn

if fen

ni

n

en

i

n指数上可理解为：lnfx[0,1]区分点为

in

1,2,,n

f(x)所以lnfx)在[0,1]上有意义且可

if f

10

f(故

i

nnnf1nf2nnfn1e0

f(x)dx.思考题将和式极限

1sinsin

sin(n

n