结构力学动力计算

第十章结构动力计算结构动力计算的目的

研究结构在动荷载作用下的反应规律，计算动荷载作用下结构的最大动内力和最大动位移，为结构的动力可靠性设计提供依据。

动力反应的特点在动荷载作用下，结构的动力反应（动内力、动位移等）都随时间变化，除与动荷载的变化规律有关外，还与结构的固有特性（自振频率、振型和阻尼）有关。不同的结构，如果它们具有相同的阻尼、频率和振型，则在相同的荷载下具有相同的反应。可见，结构的固有特性能确定动荷载下的反应，故称之为结构的动力特性。强迫振动:结构在动荷载作用下产生的振动。研究强迫振动，可得到结构的动力反应。

自由振动和强迫振动自由振动:结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。§10.1动力计算的特点和动力自由度1、动力计算的特点

静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。

动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。内力与荷载不能构成静平衡,必须考据惯性力。根据达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题处理。列平衡方程时要考虑两点

(1).力系中包括惯性力

(2).荷载内力等都是时间的函数。2、动力荷载的分类

P(t)toP(t)=Psint1)周期荷载：荷载随时间作周期性变化简谐荷载：荷载按正弦余弦规律变化（偏心转子对结构的冲击,机器转动）。2)冲击荷载：荷载在短时间内急剧增加或减少（锻锤对基础的冲击、爆炸等）。P(t)totdP(t)totd3)随机荷载风荷载，地震荷载3、振动体系的自由度

自由度：结构运动时，确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需确定的独立几何参数的数目。（与几何组成自由度不同）。自由度数=基本未知量数根据简化方式不同，基本未知量可分为质点位移，广义坐标，结点位移。实际结构有无限个自由度数，需要对计算方法加以简化，减少自由度数。自由度数与简化的方法有关计算方法的简化常用的三种简化方法1.集中质量法:将连续分布的质量集中为质点，以质点位移（线位移）为基本未知量。（本章主要讨论集中质量法）2.广义坐标法：

用级数表示度曲线方程，以广义坐标（级数的项系数）为基本未知量。3.有限单元法：将结构分割为若干个单元，用结点位移（线位移与角位移）表示各单元挠曲线方程。将无限自由度问题化为有限自由度问题。将连续分布的质量集中为质点1.集中质量法的简化例1.集中质量法的简化与自由度：一质点简化三质点简化注意：不一定一个质点一个自由度基本未知量为质点的未知线位移1.质量集中中法的自自由度分分析例（5）结构的的自由度度与是否否超静定定无关。。2个自由度2个自由度4个自由度自由度数数=质点未知知线位移移数假定梁的的挠度曲曲线为－满足位位移边界界条件的的形状函函数－广义坐坐标（级级数项系系数）自由度数数=广义坐标标数(级数项数数)2.广义坐标标法：用级数表表示度曲曲线方程程，以广广义坐标标（级数的项项系数）为基本本未知量量。3.有限单元元法将结构分分割为若若干个单单元，用用结点位位移表示示各单元元挠度曲曲线方程程。将无无限自由由度问题题化为有有限自由由度问题题。综合合了集中中质量法法和广义义坐标法法的特点点。基本未知知量为结结点未知知位移（（线位移+角位移）10个自由度度9个自由度度1.自由振动动运动微微分方程程自由振动动－由初位位移或初初速度引引起的，，在运动动中无动荷载载作用的振振动。分析自由由振动的的目的确定结构构的动力力特性，，自振频频率，自自振周期期。10.2单自由度度体系的的自由振振动动平衡方方程动荷载:F(t)刚度系数数:k柔度系数数:d=1/k位移:y(t)静平衡方方程荷载:F刚度系数数:k柔度系数数:d=1/k位移:y柔度法(位移平衡衡)刚度法法(力平衡衡)柔度法法(位移平平衡)刚度法法(力平衡衡)质量:m时间:t速度:加速度度：F(t)弹性力力=-ky(t),与位移方向相相反；；惯性力=

-，与加速度

方向相反。

y两种动动平衡衡方程程刚度法法-动力平平衡方方程两种方方程的的数学学意义义都是是2阶常微微分方方程。。外荷载载F(t)=0的方程程为2阶齐次次常微微分方方程（（自振振微分分方程程）柔度法法-动位移移平衡衡方程程-惯性力力-弹性力力=动力柔度*惯性性力+柔度*动力力=动位移移2.自由振振动运运动方方程的的解（（刚度度法））设通解为为动力平平衡方方程属属于二二阶齐齐次常常微分分方程程特征方方程涉及到到两阶阶微分分等于于同型型函数数的问问题,设代代入得得由于齐齐次常常微分分方程程的通通解为为所有有特解解的线线性叠叠加，，所以以单自由由度体体系的的无阻阻尼自自由振振动是是由初初位移移和初初速度度引起起的简简谐振振动。。方程的的解(P357图10-11)：令通解初始条条件简谐自自由振振动的的特性性位移（（自振振方程程）加速度度惯性力力位移与与惯性性力作作同频频同步步振动动如果一一个质质点在在某方方向的的位移移与所所受弹弹性力力成正正比，，则质质点在在该方方向上上可发发生简谐自自由振振动(某一时时刻的的位移移等于于隔一一段时时间T之后的的位移移，T为自振振周期期)自振圆圆频率率:（自振振频率率）自振周周期:(2p个单位位时间间内的的振动动次数数，或或每秒秒振动动次数数*2p)频率(每秒振振动次次数，，周期期的倒倒数)刚度或或柔度度:k或d质量:m初始位位移：：y0初始速速度：：v0确定单单自由由度体体系的的自振振方程程的四四个基基本物物理量量内因素素外因素素与内在在因素素有关关的物物理量量自振方方程振幅：：初始相相位角角：刚度或或柔度度:k或d质量:m初始位位移：：y0初始速速度：：v0确定单单自由由度体体系的的自振振方程程的四四个基基本物物理量量内因素素外因素素与外因因素有有关的的物理理量代入初初始条条件得得解得自振频频率和和自振振周期期是体体系固固有的的，只只与内内在因因素有有关，，与外外在因因素无无关。。算法：：柔度度法沿质点点的可可位移移方向向虚设设单位位荷载载，作作图图图乘法法得柔度系系数自振频频率自振周周期算例求图示示体系系的自自振频频率和和自振振周期期。（（P359）图图示结结构体体系虽虽有两两个质质量，，但它它们只只能沿沿水平平方向向同时时运动动，故故仍为为单自自由度度体系系。算法：：柔度度法沿质点点的可可位移移方向向虚设设单位位荷载载，作作图图图乘法法得柔度系系数自振频频率自振周周期算例求图示示体系系的自自振频频率和和自振振周期期。L算例．．求图图示体体系的的自振振频率率和周周期,C端最最大大位位移移解法法1：设B处的的竖竖向向位位移移为为y、加加速速度度为为则C处的的竖竖向向位位移移为为5/4y、加加速速度度为为-惯性性力力*力臂臂-弹性性力力*力臂臂=0平衡衡方方程程已知知：：B点初初位位移移和和速速度度：：C端最最大大位位移移：：1.25A=0.187mB点振振幅幅解法法2，柔柔度度法法沿质质点点的的可可位位移移方方向向虚虚设设单单位位荷荷载载，，求求得得的的质质点点的的位位移移即即为为柔柔度度系系数数C端最最大大位位移移：：1.25A=0.187mB点振振幅幅解法法3：设C点最最大大位位移移为为YC；C点最最大大速速度度为为wYC；B点最最大大位位移移为为0.8YC体系系最最大大动动能能Tmax和最最大大应应变变能能Vemax为根据据能能量量守守恒恒原原理理C端最最大大位位移移：：1.25A=0.187mB点振振幅幅式中中自振振频频率率刚度度法法建建立立动动力力平平衡衡方方程程（2阶非齐齐次次常微微分分方方程程））-惯性性力力-弹性性力力=外力力§10－3单自自由由度度体体系系的的强强迫迫振振动动（（不不计计阻阻尼尼））一.简谐谐荷荷载载下下的的动动力力反反应应F—荷载载幅幅值值q—荷载载的的圆圆频频率率动力力平平衡衡方方程程该方方程程为为2阶非齐齐次次常微微分分方方程程设特特解解：：代入入得得通解解为为：：特解解为为齐次次通通解解+特解解微分分方方程程最大大静静位位移移：：代入入得得通解解初始始条条件件初始始条条件件的振振动动方方程程为为上式分为两部部分。第一部部分按荷载频频率振动，第第二部分按自自振频率振动动。由于实际际振动过程中中存在阻尼，，按自振频率率振动的第二二部分会逐渐渐消失，剩下下第一部分，，进入平稳阶阶段（稳态振动）稳态振动方程程动力系数：（最大动位移移与最大静位位移的比值））稳态振动方程程动力系数：（最大动位移移与最大静位位移的比值））当荷载频率接接近于自振频频率时，振幅幅会无限增大大，这种现象象称为共振例10-3：求简支梁跨跨中最大位移移和最大弯矩矩(P362)已知解：（1）柔度法求自自振频率柔度系数：自振频率：图（3）动力系数：：（2）荷载频率：：静荷载+|动力系数|*动荷载幅值值作用时的最大大弯矩最大正应力（4）求跨中最大大正应力静弯矩动弯矩幅值*动荷载不作用用在质点上时时的动力计算算（柔度法））柔度法建立动动位移平衡方方程令(a)(b)动位移=柔度1*惯性力+柔度2*动力得到与刚度法法相似的微分分方程稳态解(c)(d)(e)2阶非齐次常微微分方程（1）、振幅由以上可知:b仍是位移的动动力系数.思考:b是否内力的动动力系数？稳态振动方程程最大值为振幅幅代入得（2）、动内力幅幅值、、作同频同步运运动，三者同同时达到幅值值。由于产生内力力的动力与惯惯性力的作用用位置不同，，b在物理意义上上不是内力的动力系系数。先算出出惯性力幅值值。然后，将将惯性力幅值值和干扰力幅幅值同时作用用在体系上，，按静力学计计算方法便可可求得动内力力幅值。惯性力惯性力幅值（（最大值）为为*例：求图示简简支梁的振幅幅，作动弯矩矩幅值图.已知：解(a)(b)(1)计算动力系数数(2)简支梁的振幅幅(c)(d)(e)(3)作动弯矩的幅幅值图惯性力幅值动弯矩幅值图图(f)将动荷载幅值值F和惯性力幅幅值I作用在梁上，，按静力学方方法作出弯矩矩图---动弯矩幅值图图。当力作用在质质点上时，I+F=bF当干扰力作用用在质量上时时，位移的动动力系数和内内力的动力系系数是相同的的；当干扰力力不作用在质质量上时，位位移和内力各各自的动力系系数通常是不不同的。对于位移和内内力动力系数数相同的情况况，求结构的的最大动力反反应时，可将将干扰力幅值值当作静荷载载作用计算结结构的位移内内力，然后再再乘以动力系系数，便可得得到稳态和振振动时结构的的最大动位移移和最大动内内力。对于位移和内内力动力系数数不同的情况况，则要从体体系的运动方方程出发，先求出稳态振振动的位移幅幅值，再算出惯性力力。最后，按静静力计算方法法求出结构在在干扰力幅值值和惯性力幅幅值共同作用用下的内力，，此即结构的的最大动内力力。关于单自由度度体系稳态振振动的最大动动位移和最大大动内力二.一般动荷载下下的动力反应应-Duhamel积分体系在一般动动荷载作用下下的动力反应应，可看成是是连续作用的的一系列冲量量对体系产生生的动力反应应之和。(1)t=0时瞬时冲量作作用设体系时时静止,瞬时冲量使体系产生的的初速度初位移自振方程通用用式代入得瞬时冲冲量作用后的的自振方程（2）.时瞬时冲量作作用位移任一时刻微分冲冲量下下体系系的动动力反反应一般动动荷载载下体体系的的动力力反应应—Duhamel积分若时,则体系系的动动力反反应（3）.Duhamel积分例1.求突加加荷载载作用用下质质量m的位移移。初初始条条件为为零，，不计计阻尼尼。三.几种常常见动动力荷荷载下下的动动力反反应（1）.突加荷荷载tFp(t)Fp0解:将代入式式Duhamel积分式式（1）.突加荷荷载动力系系数自由振振动的的中心心为0点，突突加荷荷载的的振动动中心心非0点（最最大静静位移移点）），，但两两者的的振动动形态态实质质上相相同。。振动中中心第1阶段，，与突突加荷荷载相相同第2阶段，，自由由振动动，初初始位位移和和速度度即第第1阶段末末的值值（2）.短时荷荷载动力系系数FP(t)FP0ubu/T动力系系数第1阶段，，与突突加荷荷载相相同第2阶段，，自由由振动动例:第1阶段，，与突突加荷荷载相相同第2阶段，，自由由振动动例:第1阶段，，与突突加荷荷载相相同第2阶段，，自由由振动动例:（3）.线性渐渐增荷荷载FP(t)FP0trFP(t)FP0tr线性渐渐增荷荷载下下的振振动方方程（（10-21式）例：例：若荷载载线性性渐增增的时时间tr是周期期T的整数数倍,则荷载载增加加完毕毕后不不振动动例：若荷载载线性性渐增增的时时间tr是周期期T的整数数倍,则荷载载增加加完毕毕后不不振动动例：若荷载载线性性渐增增的时时间tr是周期期T的整数数倍,则荷载载增加加完毕毕后不不振动动描点法法作b–tr/T(动力系系数反反映谱谱)图btr/T振动范范围:2(b-1)作业作10-21式所示示的y(t)-t关系曲曲线，，求动动力系系数b已知（a,b为学号号最后后两位位，0以10代替））§10－4阻尼：体系系在振振动过过程中中使其其能量量耗散散的各各种因因素的的统称称。产生阻阻尼的的原因因：结结构变变形中中材料料的内内摩擦擦，支支撑及及结点点等构构件联联结处处摩擦擦及周周围介介质阻阻力等等。阻尼力力大小小与速速度有有关（1）与质质点速速度成成正比比（粘滞阻阻尼力力）（2）与质质点速速度平平方成成正比比（流流体阻阻力产产生的的阻尼尼力））（3）与质质点速速度无无关（（摩擦擦产生生的阻阻尼力力）阻尼对对振动动的影影响阻尼力力对质点点运动动起阻阻碍作作用，，与与质点点速度度方向向相反反粘滞阻阻尼力力――假定阻阻尼力力的大大小与与体系系振动动时的的速度度成正正比，，与速速度方方向相相反，，用表表示。。弹性力力阻尼力力惯性力力动力平平衡方方程为为：c―――阻尼常常数-惯性力力-阻尼力力-弹性力力=动力动力平平衡方方程(有阻尼尼强迫迫振动动)无阻尼尼自由由振动动无阻尼尼强迫迫振动动有阻尼尼自由由振动动无阻尼尼无动荷荷载无阻尼尼无动荷荷载平衡方方程-惯性力力-阻尼力力-弹性力力=动力一.有阻尼尼自由由振动动动力平平衡方方程令阻尼比比设特解解为特征方方程特征根根(1).令特征根根代入得得通解解特征根根(1).由初始始条件件自振方方程解解相位角角通解初相位位a为0时的最最大振振幅小阻尼尼自振振例（x=0.05）例（x=0.1）例（x=0.2）例（x=0.5）小阻尼尼自振振小阻尼尼的自自由振振动是是按指指数规规律衰衰减的的简谐谐运动动。相邻两两个振振幅的的比值值w:无阻尼尼自振振频率率wr:有阻尼尼自振振频率率振动方方程频率周期时，阻阻尼对对自振振频率率的影影响可可忽略略；钢筋混混凝土土结构构：钢结构构：T,w:无阻尼尼自振振周期期，频频率Tr,wr:有阻尼尼自振振周期期，频频率阻尼比比的确确定振幅对对数衰衰减率率阻尼比比时，阻阻尼对对自振振频率率与周周期的的影响响可忽忽略，，所以相相邻振振幅比比可近近似为为例不振动动（因因为y(t)>0）（2）（临界界阻尼尼比））（3）（超阻阻尼情情况））不振动动特征根根通解引入初初始条条件得通过实实验可可确定定体系系的阻阻尼比比。例：对对图图示示刚刚架架作作自自由由振振动动实实验验。。设设刚刚架架的的质质量量m均集集中中在在横横梁梁处处，，横横梁梁。。在在刚刚架架横横梁梁处处加加一一水水平平力力,测得得侧侧移移。。然然后后突突然然卸卸载载，，刚刚架架产产生生自自由由振振动动，，测测得得周周期期，，及及一一个个周周期期后后刚刚架架的的侧侧移移为为。。求求刚刚架架的的阻阻尼尼比比和和阻阻尼尼系系数数。。解阻尼尼比比阻尼尼常常数数二.有阻阻尼尼强强迫迫振振动动（1）.突加加荷荷载载Fp0作用用无阻阻尼尼自自振振的的中中心心为为0点，，有有阻阻尼尼突突加加荷荷载载的的振振动动中中心心为为非非0点（（最最大大静静位位移移点点）），，但但两两者者的的振振动动形形态态实实质质上上相相同同。。振动动中中心心例二.有阻阻尼尼强强迫迫振振动动（2）.简谐谐荷荷载载作作用用下下的的动动力力系系数数阻尼尼越越小小共共振振效效应应越越显显著著。。当当阻阻尼尼比比大大于于0.5时，，动动力力系系数数的的最最大大值值约约等等于于1，因因此此动动力力作作用用对对结结构构应应力力与与变变形形的的影影响响的的不不比比静静力力状状态态下下的的更更大大。。§10-5双自自由由度度体体系系的的自自由由振振动动工程程中中，，很很多多实实际际结结构构可可简简化化为为单单自自由由度度体体系系进进行行计计算算，，但但要要进进行行更更加加精精确确地地分分析析，，以以及及对对于于绝绝大大多多数数实实际际结结构构必必须须作作为为多多自自由由度度体体系系进进行行计计算算。。多自自由由度度体体系系自自由由振振动动分分析析的的目目的的是是确确定定体体系系的的动动力力特特性性―――自振振频频率率和和振振型型。。多自自由由度度体体系系自自由由振振动动的的求求解解方方法法：：刚度度法法柔度度法法刚度度系系数数*位位移移=荷载载[刚度度矩矩阵阵]{位移移向向量量}={荷载载向向量量}双自自由由度度单自自由由度度-弹性性力力=荷载载-弹性性力力向向量量=荷载载向向量量一.刚度度法法-静荷荷载载作作用用下下的的刚刚度度方方程程一.刚度度法法刚度度法法的的自自振振微微分分方方程程是是与与动动力力有有关关的的平平衡衡方方程程，，某某个个质质点点的的动动力力平平衡衡方方程程可可描描述述为为-惯性性力力-∑弹性性力力=动荷荷载载（1）双双自自由由度度体体系系振振动动微微分分方方程程质点点1的动力力平平衡衡方方程程可描述为为：同理，质质点2的动力平平衡方程程可描述述为：质点1的运动产产生的1方向惯性性力质点1的位移产产生的1方向的弹弹性力具体物理理意义为为：质点2的位移产产生的1方向的弹弹性力作用在质质点1的动荷载载（2）特解设微分方方程的特特解：代入上式式得F1(t)=0,F2(t)=0的自振状状态下的的动力平平衡方程程为如下下微分方方程（涉及到到两阶微微分等于于同型函函数的问问题）（3）位移幅幅值方程程(P37410-39a式)另解：根据能量守恒恒原理：一个无无阻尼的的弹性体体系自由由度振动动时，它它在任意意时刻的的总能量量应保持持不变(参照P190，191页)设最大位移移为Y1，Y2；最大速度为v1=wY1，v2=wY2最大动能Tmax和最大应变能能Vemax为位移幅值方程程(P37410-39a式)根据能量守恒恒原理（4）频率方程(特征方程)（Y1，Y2有非0解条件）方程两个根：：规规定，，且都为正－第一频率或或基本频率，，－第第二频率（3）位移幅值方方程代数解为（5）主振型将代代入位移幅值值方程得第一频率对应应的振型（某某一频率时各各质点的振幅幅的比值）位移幅值方程程将代代入位移幅值值方程得第一主振型第二主振型图示两个振型型第一主振型第二主振型双自由度体系系能够按某个个主振型自由由振动的条件件是：初始位位移和初始速速度应当与此此主振型相对对应。一般情况下，，两个自由度度体系的自由由振动可以看看作是两种频频率及其主振振型的组合振振动此为自振微分分方程的解多自由度体系系自由振动问问题可以归纳纳为：(P375)主要问题是确确定体系的全全部自振频率率及其主振型型。自振频率个数数与自由度个个数一致，由由特征方程求求出。每个自振频率率有自己的相相应的主振型型，主振型就就是多自由度度体系能够按按单自由度振振动时的特定定形式。多自由度的频频率和振型是是多自由度体体系的固有性性质。自振频频率只与体系系本身的刚度度系数及其质质量分布有关关，与外部荷荷载无关。刚度法计算分分析双自由度度体系自振问问题总结（1）求刚度系数数(或矩阵)（2）求自振频率率由频率方程得(10-41)式，代入求解解两个根（3）求主振型(特征向量)第一主振型第二主振型已知图示两层层刚架，横梁梁为无限刚性性。该质量集集中在楼层上上，分别为m1，m2。层间侧移刚刚度（层间产产生单位相对对侧移时所需需施加得力））分别为k1，k2。求刚架水平平振动时自振振频率和主振振型。刚度法计算举举例（P375例10-4）刚度法计算举举例（求自振频率率和主振型））解（1.a）：静力法法求刚度矩阵阵刚度矩阵一层柱截面平平衡方程二层柱截面平平衡方程设荷载作作用用下的位移为为解（1.b）：能量法求求刚度矩阵根据卡氏(Castigliano)第一定理，刚刚度矩阵为(参照P105，P122页)设m1的水平位移为为D1，设m2的水平位移为为D2。用位移表示应应变能刚度矩阵（2）求自振频率率频率方程当时时，，解得（3）求主振型两个主振型图图：第一主振型第二主振型第一主振型第二主振型标准化标准化频率方程当时时，，解得第一主振型第二主振型鞭梢效应课堂练习：建立图示体体系的频率方方程作业：建立图图示体系的频频率方程柔度系数*荷荷载=位移[柔度矩阵]{荷载向量}={位移向量}双自由度单自由度二.柔度法-静荷载作用下下的柔度方程程二.柔度法柔度法的自振振微分方程是是与动位移有有关的平衡方方程，某个质质点的动位移移平衡方程可可描述为动位移移=∑柔度系系数*惯性性力+∑柔度系系数*动力力（1）双自自由度度体系系振动动微分分方程程质点1的动位位移平平衡方方程可可描述述为：：同理，，质点点2的动位位移平平衡方方程可可描述述为：：质点1的惯性性力影影响产产生的的1方向位位移质点2的惯性性力影影响产产生的的1方向位位移具体物物理意意义为为：作用于于质点点2的动荷荷载产产生的的1方向位位移作用于于质点点1的动荷荷载产产生的的1方向位位移（3）位移移幅值值方程程（2）特解解设方程程的特特解：：（涉及及到两两阶微微分等等于同同型函函数的的问题题）代入得得自振微微分方方程(无动荷荷载作作用)代数解解为方程两两个根根：规规定，，且都都为正正－第一一频率率或基基本频频率，，－－第二二频率率（4）频率率方程程(特征方方程)（Y1，Y2有非0解条件件）（5）主振振型将代代入入位移移幅值值方程程得第一频频率对对应的的振型型（某某一频频率时时各质质点的的振幅幅的比比值））将代代入入位移移幅值值方程程得第一主主振型型第二主主振型型（1）求柔柔度矩矩阵（2）求自自振频频率由频率率方程程得(10-47)式，代代入求求解两两个根根（3）求主主振型型(特征向向量)第一主主振型型第二主主振型型柔度法法计算算分析析双自自由度度体系系自振振问题题总结结（1）求柔柔度系系数作图图图图利用图图乘法法求得得柔度法法计算算举例例（求自自振频频率和和主振振型））（2）求自自振频频率由频率率方程程解得（3）求主主振型型两个主主振型型图：：第一主主振型型第二主主振型型第一主主振型型第二主主振型型互等定定理与与主振振型的的正交交性惯性力力向量量位移向向量状态1状态2根据互互等定定理状态1的惯性性力在在状态态2的位移移上作作的虚虚功=状态2的惯性性力在在状态态1的位移移上作作的虚虚功正交性性的应应用(例10-5)对角角化化双自自由由度度体系系自自振振微微分分方方程程矩阵阵表表达达式式-{惯性性力力向向量量}-{弹性性力力向向量量}=0[质量量矩矩阵阵]{加速速度度向向量量}+[刚度度矩矩阵阵]{位移移向向量量}={0}§14－1多自自由由度度体体系系的的自自由由振振动动1.刚度度法法简写写§14－1多自自由由度度体体系系的的自自由由振振动动1.刚度度法法n个自自由由度度体体系系的的动动力力平平衡衡方方程程矩矩阵阵表表达达式式：：[质量量矩矩阵阵]{加速速度度向向量量}[刚度度矩矩阵阵]{位移移向向量量}简写写n个自自由由度度体体系系第第i个方方向向的的动动力力平平衡衡方方程程-惯性性力力-∑弹性性力力=0设特特解解代入入得得位移移幅幅值值方方程程（齐齐次次方方程程））齐次次方方程程中中{Y}有非非零零解解条条件件：：满满足足频频率率方方程程(特征征方方程程)可写写为为：位位移移幅幅值值向向量量刚度度法法频频率率方方程程两个个自自由由度度n个自自由由度度单自自由由度度刚度度法法计计算算分分析析多多自自由由度度体体系系自自振振问问题题总总结结（1）求求刚刚度度矩矩阵阵（2）求求自自振振频频率率（（3自由由度度以以上