理论力学课件15

第四章空间力系1静力学工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；(b)图中去了风力为空间平行力系。迎面风力侧面风力b2第四章空间力系§5–1空间汇交力系§5–2力对点的矩与力对轴的矩§5–3空间力偶§5–4空间任意力系向一点的简化§5–6空间任意力系的平衡方程§5–7重心习题课3静力学一、力在空间轴上的投影与分解：

1.力在空间的表示： 力的三要素：大小、方向、作用点(线)

大小： 作用点：在物体的哪点就是哪点

方向：由、、g三个方向角确定 由仰角与俯角来确定。bgqFxyO§4-1空间汇交力系4静力学2、一次投影法（直接投影法）由图可知：3、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将F投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即5静力学4、力沿坐标轴分解：若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：而：FxFyFz6静力学

1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。 即：合力等于各分力的矢量和2、解析法： 由于 代入上式 合力 为合力在x轴的投影，二、空间汇交力系的合成：7静力学3、合力投影定理：空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。8静力学三、空间汇交力系的平衡：

称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程∴解析法平衡充要条件为：∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：9静力学在平面中：力对点的矩是代数量。在空间中：力对点的矩是矢量。

[例]汽车反镜的球铰链§4-2力对点的矩与力对轴的矩一、力对点的矩的矢量表示如果r表示A点的矢径，则：10静力力学学即：：力对对点点的的矩矩等等于于矩矩心心到到该该力力作用用点点的的矢矢径径与与该该力力的的矢矢量量积积。。两矢矢量量夹夹角角为为O11静力力学学定义： 它是代数量，方向规定+–二、、力力对对轴轴的的矩矩结论论：力对对//它的的轴轴的的矩矩为为零零。。即即力力F与轴轴共共面面时时，，力力对对轴轴之之矩矩为为零零。。[证]12静力力学学力对对//它的的轴轴的的矩矩为为零零。。即即力力F与轴轴共共面面时时，，力力对对轴轴之之矩矩为为零零。。13静力力学学即：三、、力力对对点点的的矩矩与与力力对对通通过过该该点点的的轴轴之之矩矩的的关关系系[证]通过O点作任一轴Z，则：由几何关系：所以：14静力学定理：力对点的矩矢矢在通过该点点的任意轴上上的投影等于于这力对于该该轴的矩。这这就是力对点点之矩与对通通过该点轴之之矩的关系。。又由于所以力对点O的矩为：15静力学§4-3空间力偶由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，所以空间力偶矩必须用矢量表示。 一、力偶矩用矢量表示：力偶的转向为为右手螺旋定定则。从力偶偶矢末末端看看去，，逆时时针转转动为为正。。空间力力偶是是一个个自由由矢量量。16[证]①作II//ⅠⅠ，cd//ab②作一对对平衡衡力R,R'(在E点,且使-R=R')③由反反向向平平行行力力合合成成得得：：F1与R合成成得得F2，作用用在在d点F1'与R'合成成得得F2'，作用用在在c点且R-F1=F2，R'-F1'=F2'④在I内的的力力偶偶（（F1，F1'）等效效变变成成II内的的（（F2，F2'）静力力学学二、、空空间间力力偶偶的的等等效效定定理理作用用在在同同一一刚刚体体的的两两平平行行平平面面的的两两个个力力偶偶，，若若它它们们的的转转向向相相同同，，力力偶偶矩矩的的大大小小相相等等，，则则两两个个力力偶偶等等效效。。17静力力学学由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：

①力偶矩的大小=

②力偶矩的方向——与力偶作用面法线方向相同

③转向——遵循右手螺旋规则。 三、、空空间间力力偶偶系系的的合合成成与与平平衡衡由于于空空间间力力偶偶系系是是自自由由矢矢量量，，只只要要方方向向不不变变，，可可移移至至任任意意一一点点，，故故可可使使其其滑滑至至汇汇交交于于某某点点，，由由于于是是矢矢量量，，它它的的合合成成符符合合矢矢量量运运算算法法则则。。合合力力偶偶矩矩=分力力偶偶矩矩的的矢矢量量和和18静力力学学投影影式式为：：显然空间力偶系的平衡条件是：19静力学把研究平平面一般般力系的的简化方方法拿来来研究空空间一般般力系的的简化问问题，但但须把平平面坐标标系扩充充为空间间坐标系系。§4-4空间一般般力系向向一点简简化主矢和和主矩设作用在刚体上有空间一般力系向O点简化（（O点任选））20静力学①根据力线线平移定定理，将将各力平平行搬到到O点得到一一空间汇汇交力系系：和和附加加力偶系系[注意]分别是各各力对O点的矩。。②由于空间间力偶是是自由矢矢量，总总可汇交交于O点。21静力学③合成得得主主矢即（（主矢矢过过简化化中心O，且与O点的选择无关关）合成得得主矩即：(主矩与与简化化中心O有关)22静力学若取简化中心O点为坐标原点点，则：主矢大小主矢方向根据力力对点点之矩矩与力力对轴轴之矩矩的关关系:则主矩大大小为：主矩方方向：23静力学学空间一一般力力系向向一点点简化化得一一主矢矢和主主矩，，下面面针对对主矢矢、主主矩的的不同同情况况分别别加以以讨论论。1、若 ,则该力系平衡（下节专门讨论）。2、若则则力力系可可合成成一个个合力力偶偶，其其矩矩等等于于原原力力系系对对于于简简化化中中心心的的主主矩矩MO。此时时主主矩矩与与简简化化中中心心的的位位置置无无关关。。3、若则则力力系系可可合合成成为为一一个个合力力，主主矢矢等等于于原原力力系系合合力力矢矢，合力力通通过过简简化化中中心心O点。。（此此时时与与简简化化中中心心有有关关，，换换个个简简化化中中心心，，主主矩矩不不为为零零））24静力力学学

4、若 此时分两种情况讨论。即：①

②

由于做①若 时可进一步简化，将MO变成(

R'',R)使R'与R''抵消只剩下R。25静力力学学②若 时，——为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）[例]①拧螺丝

②炮弹出膛时炮弹螺线''26静力力学学M

使主矢R'搬家，搬家的矩离：所以以在在O'点处处形形成成一一个个力力螺螺旋旋。因为为M//是自自由由矢矢量量，，可将将M//搬到到O'处M//不变变，，③R′不平平行行也也不不垂垂直直M0，最一一般般的的成成任任意意角角在此此种种情情况况下下，，<1>首首先先把把MO分解解为为M//和M<2>将M//和M分别别按按①①、、②②处处理理。。27静力力学学[注意意]力系简简化中中的不不变量量（不不随简简化中中心改改变））有：：R′，M//简化中中心为为O时：为为M当简化化中心心为O′时，为为M′但M//总是不不变的的（它是原力系系中的的力偶偶与简简化中心无无关）28静力学学空间力力系向向O点简化化后得得主矢矢R'和主矩矩MO,若MOR'，可进一一步合合成为为一个个作用在在新简简化中中心O'点的合力R。空间力系的的合力矩定定理：29静力学一、空间任任意力系的的平衡充要要条件是：：所以空间任意力系的平衡方程为：

还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。§4-5空间一般力力系的平衡衡方程30静力学空间汇交力系的平衡方程为： 因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。空间平行力系的平衡方程，设各力线都//z轴。

因为 均成为了恒等式。31静力学1、球形铰链链二、空间约约束观察物体在在空间的六六种（沿三三轴移动和和绕三轴转转动）可能能的运动中中，有哪几几种运动被被约束所阻阻碍，有阻阻碍就有约约束反力。。阻碍移动动为反力，，阻碍转动动为反力偶偶。[例]32静力学球形铰链33静力学2、向心轴承承，蝶铰链链，滚珠(柱)轴承34静力学3、滑动轴承承35静力学4、止推轴承承36静力学5、带有销子子的夹板37静力学6、空间固定定端38静力学空间平行力力系，当它它有合力时时，合力的的作用点C就是此空间平行力力系的中心心。而物体重重心问题可可以看成是是空间平行行力系中心心的一个特特例。§4-6重心一、空间平平行力系的的中心、物物体的重心心1、平行力系系的中心由合力矩定定理：39静力学40静力学如果把物体体的重力都都看成为平平行力系，，则求重心心问题就是是求平行力力系的中心心问题。由由合力力矩定理：：物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n-)，常用积分法求物体的重心位置。二、重心坐坐标公式：41静力学设i表示第i个小部分每每单位体积积的重量，⊿Vi第i个小体积，，则代入上式并并取极限，，可得：式中，，上式式为重心C坐标的精确确公式。对于均质物体，=恒量，上式成为：同理对于薄薄平面和细细长杆均可可写出相应应的公式。。42静力学根据平行力力系中心位位置与各平平行力系的的方向无关关的性质，，将力线转转成与y轴平行，再再应用合力力矩定理对对x轴取矩得：：综合上述得得重心坐标公公式为：若以△Pi=△mig,P=Mg

代入上式可得质心公式43静力学同理：可写写出均质体体，均质板板，均质杆杆的形心（（几何中心心）坐标分分别为：44解：由于对称称关系，该该圆弧重心心必在Ox轴，即yC=0。取微段下面用积分分法求物体的重重心实例：[例]求半径为R，顶角为2的均质圆弧弧的重心。。O静力学45静力学三、重心的的求法：①组合法解：求：该组合体的重心？已知：46静力学简单图形的的面积及重重心坐标公公式可由表表中查出。。②实验法：<1>悬挂法<2>称重法47静力学[例]已知:RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352N,Pz=1400N求：平衡时(匀速转动)力Q=？(Q力作用在C轮的最低点））和轴承A,B的约束反力力？解：①选研究对象象②作受力图③选坐标列方方程最好使每一一个方程有有一个未知知数，方便便求解。48静力学49静力学50静力学方法(二):将空间力系系投影到三三个坐标平平面内，转转化为平面面力系平衡衡问题来求求解，请同同学们课后后自己练习习求解。51静力学一、概念及及内容：1、空间力偶偶及空间力力对点之矩矩是矢量，，2、空间力对对轴之矩和和平面力偶偶、平面力力对点之矩矩是代数量量。3、空间力系系合力投影定定理：4、空间力系系的合力矩定理理：5、空间间力力对对点点之之矩矩与与对对轴轴之之矩矩的的关关系系：第五章章《空间力力系》习题课课52静力学学二、基基本方方程1、空间力力系的的平衡衡方程程空间一一般力力系空间汇汇交力力系空间力力偶系系空间∥x轴力系空间∥xoy面的力系四矩式式、五五矩式式和六六矩式式的附附加条条件均均为使方方程式式独立立。53静力学学三、解题步骤、技巧与注意问题：

1、解题步骤：①选研究对象(与平面的相同)②画受力图 ③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数2、空间间力系系的几几个问问题：①x,y,z(三个取取矩轴轴和三三个投投影轴轴可以以不重重合)可以任任选的的六个轴轴。②取矩方方程不不能少少于三三个（（∵MO是矢量量）③空间力力系独独立方方程六六个（（∵空间物物体六六个自自由度度）平面三三个自自由度度④空间力力系中中也包包括摩摩擦问问题。。54静力学学2、解题技技巧：①用取矩矩轴代代替投投影轴轴，解解题常常常方方便②投影轴轴尽量量选在在与未未知力力，力力矩轴轴选在在与未未知力力平行行或相相交③一般从从整体体—>局部的的研究究方法法。④摩擦力力F=Nf，方向与与运动动趋势势方向向相反反。3、注意问问题：：①力偶在在投影影轴中中不出出现（（即在在投影影方程程中不不出现现）②空间力力偶是是矢量量，平平面力力偶是是代数数量。。③求物体体重心心问题题常用用组合合法