教学设计：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用一、设计思想：本课为新授课，积极践行新课程“数学有用”理念，倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高数学思维能力，在教与学的和谐统一中体现数学思想和文化价值；注重信息技术与数学课程的整合。二、教学目标：1.知识与技能：(1)师生共同探究基本不等式；(2)了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明；(3)会简单运用基本不等式。2.过程与方法：通过基本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式，培养学生数形结合的思维能力。3.情感、态度与价值观：(1)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；(2)通过具体的现实问题提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功的快乐。三、教学重点：（1）用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明；（2）运用基本不等式解决实际问题。四、教学难点：基本不等式的运用。重、难点解决的方法策略：本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象代数的教学策略．利用数形结合思想，层层深入，通过学生自主活动探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。五、教学方法：1.教法：根据对教材和学生的分析，针对学校实际情况，采用启发引导式及多媒体辅助教学方法。2.学法：学生自主探索，创造机会让学生合作、探究，交流。这体现一种“给学生一杯水然后教给学生寻找水的方法，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知、学习方式。六、教学过程：教学环节师生活动学生活动设计意图一、课题引入情景1：（生活中实际问题引入）师：买一辆新车，使用多少年最合算，这是实际生活中必须考虑的现实问题。情景2：（展示24届国际数学家大会会标）上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，该图不仅代表了古代中国曾经为世界数学的发展做出了重要的贡献，更体现了数学的简洁之美，其中还蕴含着一个重要不等关系。观察设计意图：数学文化为教学背景,引入新课，有效调动学生的学习兴趣。二、讲解新课三、例题讲解四.拓展练习五、课堂小结六、课后思考1.能用四个全等的直角三角形拼成一幅弦图吗？师：请同学们以前后排四人为一小组，利用四个全等的直角三角板，拼成一个会标图案——勾股弦图，并请两位同学上讲台来完成拼图。预案：若学生在拼图时，发现用四个全等的等腰直角三角板拼图，弦图会有很大不同。若学生未发现则引导学生用四个全等的等腰直角三角板拼图，发现不同之处。2.请观察拼图，图中大正方形的面积与着红色部分的图形有何大小关系?由拼图（1）可知：设直角三角形的两条边长为a,b,那么正方形的边长为.这样,4个直角三角形的面积和为2ab,正方形面积为.由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的面积，我们就得到了一个不等式由拼图（2）得到等式，综上可得重要不等式：，当时等号成立。哪么，是否仅当时等号成立呢？……我们来观察一组动画，找到其中的答案.由动画可知：重要不等式：，当且仅当时等号成立。3.探讨不等式成立的条件？拼图中a,b表示线段的长度，因此y要求时重要不等式成立。提问：是否可以由特殊的，推广到对任意实数a,b都成立呢？如果可以，请证明；如果不可，请举一个反例说明。证明：.由证明过程可知：（1），不等式恒成立.（2）时取等号.4.换元法探索与证明基本不等式.特别地，如果，我们用、分别代替a、b，可得：得到基本不等式：.通常我们把上式写作：.提问：等号何时成立呢？答：当且仅当a=b时取等号.5.熟悉基本不等式提问：比较它们成立的条件，有什么不同点?答：重要不等式成立条件：；基本不等式成立条件：.课堂练习：练习：下列不等式成立的是（B）例题分析：例1：下列说法正确的是____（1）____例题提炼口诀：一正：二定：三相等：当且仅当a=b时，等号成立.基本不等式解决实际问题：例2：近年随着我国国民经济的迅速发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，据有关部门抽样调查的结果显示，我国城乡居民拥有量比2022年初翻了一番.某种汽车,购车费是1O万元，每年支付的保险费、养路费、汽油费约为0．9万元，年维修费第一年是0．2万元,以后逐年递增0．2万元，这种汽车使用多少年时最合算?我们有以下几种方案：1.使用n年时，总费用最少；2.使用n年后，年平均费用最少；3.使用n年后，总花费超过购车费用10万元.以上方案中，你认为选择哪种方案最合理，并请用你认为最合理的方案算出使用多少年时最合算.本题难点突破：以列表法体现使用n年时，总费用、年平均费用、除去购车后总花费与使用n年的函数关系。学生通过分析表格的数据，理解方案2最合理.解：设n年时，年平均费用为y万元，则：当且仅当即时，它的平均费用最少.拓展：如果你想到了新的方案来衡量使用多少年最合算这个问题，也可以利用本题列表的方法来判断方案时候合理.课堂小结：重要不等式成立条件：；基本不等式成立条件：.请大家以两个不等式为线索，整理今天所学的知识。若有疑问，可以与同学讨论或举手提问.课后作业：教学反思学生动手,感受弦图的变化观察，思考观察，思考探索基本不等式的证明法,学生以小组为单位展开讨论设计意图：通过拼图,调动学生兴趣,感受弦图的内在意义.设计意图:从形和数两个方面探讨重要不等式.渗透数形结合的思想.设计意图:利用重要不等式