配套课件定积分概念与微积分基本定理

第十三【知识梳理一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a=x0<x1<…<xi-<xi<…<xn=b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi-x]上任取一点

(i=1，2，…，n)，作和

f

bafnn nn

b当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(xb区间[a，b]上的定积分，记

afxdx.b在afxdxb在

中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区

[a，b_

，定积分的几何意bafxdx的几何意表示由直线x=ax=b_，y=0及曲线y=f(x)所围成表示由直 ，y=0及曲线y=f(x)所围 的曲边梯形的面积的相反f(xbbkf(x)dx＝kfxdx(k为常b a f1xdx

f2xdx②

b③fxdx＝ b

(其中 af

fxdx微积分基本定一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且a那么bfxdx=F(b)-F(a_，这个结论叫做微积分基本定理，又叫a顿-公式定积分的定积分与曲边梯形面积的关设阴影部分的面积为①S＝bab ②S＝－afx afxdx－cfxdx aaa④S＝bf(x)dx－baaa

f(x)－g(x)］dxbbbb

avtdt，②W=

aFxdx【考点自b1.(思考)给出下列命题bb①设函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，则b

f(x)dx=

bb

f(x)dx<0，那么由y=f(x)，x=a，x=b以及x轴所围 一定在x轴 ④若f(x)是偶函

af

fxdx. 故afxdx与0fxdx相等，故af

fxdx.0已知f(x)为奇函数且6fxdx0

8,

fxdx

等于 6 6【解析】选A.因为f(x)为奇函数，其图象关于原点对称 故6fxdx与

fxdx 所以6fxdx6fxdx

fxdx

一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2则此质点在时间[1，2]内的位移为

s＝2t2－t＋2dt＝13－1t2＋2t)|2＝17 1 1 22 22y

【解析】选D.由y

(0)，(28所以S2(4xx3

1x4

4故选 5.(2015·厦门

2sin2 1cos【解析】2sin2 dx2 1cos

x sinx，则

2sin2 FF（0） 1 考点1定积分的计【典例1】(1)(2014·江西高考)若10 1

0A.- B.-a3a

C.

(2)

1(2x

1)dx

3ln

则a的值 (2)根据微积分基本定理，将(2x1a 0 0(x2+2c)dx(

x

1 解得c=-13a1(2a1

1(2x

1)dx

x2

lnx|a

lna13ln所以

ln

lna【互动探究】若将本例题(2a

b(2x

=3+ln2，求a，baa

b(2x

3lnb得(x2+lnx)|a=a2+lnaba2b2

a

a即即a

解得b1

b

(舍去 所以【易错警示】准确求解原函本例在求定积分时需要写出原函数，原函数不恰当容易出现解题【规律方法】利用微积分基本定理求出各个定积分的提醒：求定积分的两个常用结 若f(x)是偶函数，则afxdxa若f(x)是奇函数，则afxdxa

fxdx.2【变式训练】1.(2015·三明模拟)已知数列{an}是等比数列，20 0

= 4x2 则

)的值为 2【解析】选A.因20

4x2dx表示以原点为圆心，半径为2 圆22

4x2

1×π×22=π，所以a2013+a2015=π4

aa

a2a

aa

23x2

则常数 00

2

t

x3

tx|28

10解得

【加固训练】求下列定积222

5xdx.5

x2

x [33(3)2 9

2

5(3x3+4sinx)dx表示直线x=-5，x=5，y=0和曲所 0

0所以0

考点2【典例2】(1)(2013高考)一辆汽车在高速公行驶，由遇到紧急情况而刹车，以速度

1

(t的单位：s，v的位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m B.8+25ln3 (2)一物体按规x=b3做直线动，式中x为时间内通过的距，媒质的阻力正比速度的方(为kk>0).由0运动到x=a时，阻力做的功 .

51

034(73t25)dt[7t3t225ln(1t)]|4425ln4 1

a，t=t=)3bW阻

阻dx

t10

1v)dtt00kt13bt2v)dtt00

27kb3t

27k7

a7b227k7

a7【规律方法】b求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为bv(t)，那么从时刻t=a到t=b所经

savtdt.b变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向bx=a移动到x=b时，力F(x)所做的功

WaFxdx.仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间tt2,0t位：s)满足函数关系

vt4t60,10＜t

某公司拟一 s 10t2dt 4t 1t3

2t2

60t

140t 71331m＜7673m.3在t=4s的位在t=4s内运动的04t20

4t

(1t

3t)|4

4m,300

4300＝4＋4＋4＝ 即质点在4s内运动的路高频考高频考通

23 23x(2)设a>0，若曲线 与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积xa2，则 【规范解答】(1)选D.由题干图1S 31

2xdx

(3x1x3x2)

(3111)[3313332 323

即xa即xa.

答案：49高考指重点题策略1.画出草图，在直角坐标系中画出图形面借助图形确定出被积函数，求出分的4.计算定积分，写出答面积求参据条件构建函数方程(不等式)求与概率综合应先利用定积分求出相应平面图形的面积 A.9

B.4- D.2-由xy

x

xy

，得y

或y

由yx，xx3得y ，取F(x1x2-lnx，则F′(x)=x-

A.e2-2e- B.e2-C.e22

D.e2-S=1=2ex-e)dx=F(2)-13.(2014·辽宁高考)正方形的四个顶点A(-1，-1)，B(1，- 的面积

，由对称性可知，S

3

40xdx43x|03．S

22 8答案3

PS阴3 2. 22 【加固训

yx2yx=t. St

x2dx1x2

t2(t2x1x3)|t(1x3t2x)14t3t2 2易知当t=1时，Smin=1 y-1=2(x-1)，即y=2x-1y2xy

0为100

2x

1x2

2x

(1x3030

x

1.33个交点，B为图象的最低(1)若

，点P的坐标为( 3

则 (2)若在曲线

与x轴所围成的区域内随机一点，则该点在△ABC内的