利用旋转方法实用解题

利用旋转的方法--合用解--优选题利用旋转的方法--合用解--优选题2/8利用旋转的方法--合用解--优选题利用旋转解题授课方案学习目标：1、学会利用旋转的辅助线方法解决有关比较分其他条件背景下的几何问题；2、经过类比解析学会总结得出能使用旋转辅助线方法的常有背景，及旋转的基本方法；3、经过对通性通法的总结解析学会解决各种变化状况下的灵便运用问题，并在此过程中逐步提高数学思想解析能力。学习重点：学会利用旋转的方法解决有关几何问题学习难点：怎样作出旋转的辅助线将分其他条件及结论集中学习过程：初中数学几何变换包括平移、旋转、轴对称（翻折）。这些变换的方法改变了图形的位置，但是不改变图形的形状和大小。我们常利用这个这个特点经过这些变换方法将一些分别的线段、角的集中到一起，从而解决一些难以解决的几何问题。下面就我平时授课中的一些领悟对旋转的解题方法进行一个简单总结和归纳，希望能让同学们对旋转的解题方法可以更好地掌握。一、旋转解题常有背景及方法（一）等边三角形背景例1：如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，试证明：∠AOB＝150°.解析：条件与结论忧如相差甚远，且条件分别不好用，但三个数据使我们想到勾股数，若能将此三条线段集中到一个三角形就好了，考虑到等边三角形的条件，有相等的线段，可考虑旋转的方法，将△BOC绕点B逆时针旋转60°的△BDA，则易得△ADO为等边三角形，问题解决。小结：有等边三角形则有相等的线段，为旋转后能重合的线段供应了条件，再加上等边三角形60°的角，为旋转后再次出现等边三角形供应了条件，使得题目全部条件迅速贯串，问题轻松解决。还可试一试其他旋转方法进一步体验利用相等线段可以重合来构造旋转解决问题。（二）等腰直角三角形背景例2：如图，△ABC是等腰直角三角形，C为直角极点．（1）操作并观察：将三角尺45°角的极点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于点E、F，尔后将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转，观察点E、F的地址发生变化时，AE、EF、FB中最大线段可否向来是EF？（2）线段AE、EF、BF能组成以EF为斜边的直角三角形吗？请说明你的原因．解析：从结论猜想可以将这三条线段集中到一个三角形中，证明其是直角三角形则问题全部解决，考虑到条件等腰直角三角形中AC=BC，∠ACB=90°，具备了旋转的条件，可将△CBF绕点C顺时针旋转90°得△CAM，再连ME，三条线段全部集中到了△MAE中，证出∠MAE=90°即可。小结：等腰直角三角形中有相等的线段，也是利用旋转来解题的常有背景，利用相等线段所在的三角形旋转变换将分其他线段、角集中起来使条件充发散挥作用从而解决问题。1（三）正方形背景例3：如图，在正方形ABCD中，点M，N分别为BC，DC边上的点，且满足∠MAN=45°，连接MN，求证：DN+BM=MN．解析：要证明两条线段的和等于第三条线段，可以考虑截长补短的方法，本题中有正方形的条件，有相等的线段，结合起来可以考虑将△ABM绕点A逆时针旋转90°得△ADE，再证明△AMN≌△AEN即可（要注意证明E、D、N三点共线）。小结：正方形中有相等的线段，也是利用旋转方法的常有背景。本题利用旋转的方法达到了补短的收效。例4：如图，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）如图①所示，若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长.（提示：将△PAB绕点B顺针旋转90°到△P′CB的地址）（2）如图②，若PA2+PC2＝2PB2，请说明点P必在对角线AC上.解析：（1）PA、PB、PC三条线段看起来不太好联系上，但是想到在正方形的条件下简单利用旋转将分其他线段集中，可以考虑将三条线段中的一条所在的三角形进行旋转，如将△PAB绕点B顺针旋转90°到△P′CB的地址，再连PP′，易得△PBP′为等腰直角三角形，勾股定理求得PP′的长，再得∠PP′C＝90°，在△PP′C中勾股定理求得PC=6.（2）用与（1）相同的方法即可解决。证明∠APC=180°就可以了。小结：正方形背景也是利用旋转解题的常有状况，抓住正方形中相等的边，把分其他线段所在的三角形进行旋转从而将它们集中到一起，再运用全等三角形、勾股定理等知识解决问题。二、旋转操作类综合题中解题方法（一）旋转操作中怎样充分利用旋转获取的条件例5：在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′订交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．2解析：（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．（2）运用全等三角形的判断与性质、三角形的外角性质即可解决问题．（3）第一找到使点P的纵坐标最大时点P的地址（点P与点D′重合时），尔后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值．小结：本题是在图形旋转过程中，观察了全等三角形的判断与性质、勾股定理、三角形的外角性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，而找到使点P的纵坐标最大时点P的地址是解决最后一个问题的重点．（二）注意旋转变化过程的不相同状况的分类例6：如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=6，CD=3，

BC=3．△EFG是边长为3的等边三角形，且与梯形ABCD位于直线

AB同侧，当△EFG位于以下列图地址时，将△EFG绕点F进行旋转，

在旋转过程中，设EG所在直线与射线AD订交于点M，与射线FB订交

于点N，当△AMN为等腰三角形时，求AN的长度。解析：△EFG作为一个整体元素进行旋转，在旋转过程中EG所在直线与射线AD、射线FB有交点，这里第一需要弄清楚在旋转的初始地址时，点G和点E在哪，与要求的射线AD、射线FB又有怎样的地址关系.这里经过计算可以获取刚开始旋转时，AF=3，点E与点B重合，而点G恰幸好射线AD上.当△EFG绕点F逆时针旋转时，则点G就会到射线AD左上方，同时点E会到∠MON内部；当△EFG绕点F顺时针旋转，则点G会到∠MON内部，同时点E到射线FB下方，随着旋转角的增大，点G，F都有可能转到射线FB下方.解：要使△AMN为等腰三角形，则分别满足以下状况：（1）AM=MN时，如图2，∠A=∠ANM=30°，因为∠FGE=60°，FG=3，从而∠GFN=90°，FN=33，故此时AN=AF+FN=3+33．（2）AN=MN时，如图3，∠A=∠AMN=30°，则∠MNB=∠FNE=60°，而△EFG是边长为3的等边三角形，所以∠FEN=60°，且FE=3，从而可得△FEN是边长为3的等边三角形，即点G与点N重合，FN=3，AN=AF+FN=3+3=6．（3）AM=AN时，①若是地址如图4所示，则∠ANM=∠AMN=75°，△EFG是等边三角形，则∠FEG=60°，∠FEN=120°，此时在△NEF中，∠FNE+∠FEN=75°+120°>180°，与三角形内角和定理矛盾．②若是地址如图5所示，则∠ANM=∠AMN=75°，△EFG是等边三角形，则∠FGN=60°，所以∠GFN=45°，过点N作NP⊥FG于3点P，则△FNP为等腰直角三角形，∠PGN=60°，设PG=x，则PF=3-x，PN=3x，由PF=PN，得3-x=3x，解得3339236x，既而求得AN=3-.222③假如地点如图6所示，∠ANM=∠AMN=75°，△EFG是等边三角形，则∠FGE=60°，可得∠FGN=120°，因为∠FNM<∠FGN，与三角形外角定理矛盾，故此种状况不存在．9236综上所述，当AN=3+33或AN=6或AN=

3-时，22△AMN为等腰三角形。小结：本题在旋转过程中会出现的多种不相同状况是理解的难点，要经过画图研究搜寻到旋转变化中的多种状况