利用向量法求空间角经典教案

利用向量法求空间角经典教课方案利用向量法求空间角经典教课方案4/4利用向量法求空间角经典教课方案利用空间向量求空间角目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；一、复习回顾向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：ab|a||b|cosa,b（2）两向量夹角公式：cosaba,b|a||b|二、知识讲解与典例解析a知识点1：两直线所成的角（范围：(0,]）O2b（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a′与b′，那么直线a′与b′所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b的方向向量分别为a和b，问题1：当a与b的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成Oa的角与a和b的夹角的关系？a,bb问题2：a与b的夹角大于90°时，异面直线a、b所成的角ba与a和b的夹角的关系？Oa,b结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为cos|cosm,n||mn||m||n|例1如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a，求AC1和CB1所成的角.解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0),C1(3a,1a,2a),C(3a,1a,0),B1(0,a,2a)2222AC1(3a,1a,2a)，CB1(3a,1a,2a)C122221B1A3a2ZAC1CB11即cosAC1,CB12AC1和CB1所成的角为C|AC1||CB1|3a223yA总结:（1）cosDF1,BE1与cosDF1,E1B相等吗？xDByx（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么差异？知识点2、直线与平面所成的角（范围：[0,]）2思虑：设平面的法向量为n，则n,BA与的关系？AnAAO（图1）OBBOB

（图2）n,BAnn,BA22据图解析可得：结论：sin|cosn,AB||nAB||n||AB|例2、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a，求AC1和面AA1B1B所成角的正弦值.解析：直线与平面所成的角步骤：1.求出平面的法向量2.求出直线的方向向量3.求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则AA1(0,0,2a),AB(0,a,0),C1A1B13a,1a,2a)设平面AA1B1B的法向量为n(x,y,z)ZAC1(22由nAA102az0y0取x1，n(1,0,0)CAynAB0ay0z0xDBy设AC1和面AA1B1B所成角为

x|AC1n||3a2|sin|cosAC1,n21|3a22|AC1||N|AC1和面AA1B1B所成角的正弦值1.2知识点3：二面角（范围：[0,]）①方向向量法：将二面角转变成二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角l的大小为，其中ABl,AB,CDl,CD.BA结论：coscosAB,CDABCDlCD|AB||CD|②法向量法n1,n2n1,n2n1,n2n1,n2n1n2n2n1llcoscosn1n2coscosn1n2结论：n1,n2或n1,n2|n1||n2||n1||n2|归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例3、如图，ABCD是素来角梯形，ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，AD1，z2求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值.S解：如图建立空间直角坐标系Axyz，则BCA1A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,,0),S(0,0,1)

Dyx易知面SBA的法向量为n1AD1,0)，CD(1,1,0),SD1,1)(0,2(0,22设面SCD的法向量为n2(x,y,z)，则有xy01，得xn2(1,1,1)21,y2，，取zyz022cosn1n26即所求二面角的余弦值为6n1,n2.|n1||n2|33练习1：如图，正三棱柱ABCABC111的所有棱长都为2，D为CC1中点．求二面角AA1BC1的余弦值；解：取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．设1z平面AA1B的法向量为n(x，y，z)．AB(1,0,3)，AA1AA1(0，2，0)．nAB,nAA1nAA12y0CFnABx3z10DC1OyB令z1，得平面AAD的一个法向量n(3,0,1)B11x设平面A1BC1的法向量为v(a,b,c)．BA(1,2,3)，BC1(2,2,0)．1vBA1,vnBA1a2b3c0BC1nBC12a2b0a1，得平面A1BC1的一个法向量v(1,1,3)cosn,vnv2315,所求的二面角AA1BC1的余弦值为15。nv2555练习2:如图2，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=1，1。求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。2AB=BC=1，AD=2解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，则S（0，0，1），Az2S（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），2By∴SA(0,0,1),SB(0,1,1)SD(1,0,1),SC(1,1,1)，A22222D显然平面SBA的一个法向量为n1=(1，0，0)，xC设平面SCD的一个法向量为n2=(x，y，z)，则n2⊥平面SCD图2n2SD0xz0取z2,则n2(2,1,2)∴SC02x2yz0n2则cosn1,n2n1n2122|n1||n2|，133所以面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为2。3三、