高中数学选修2-3题型总结与强化训练：第四讲二项式定理

第讲二式理【材描一、二项式定理（）项定(a)nn1nann(nnn

，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做

()

n

的二项展开式，共有+1项，其中各项的系数Ck,2,Ln})

叫做二项式系数说明：二项式定理中的ab

既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别在二项式定理中，如果设abx

，则得到公式：(1

C

x

x

k

x

k

x

.（）项开的项二项展开式中的Cknn

叫做二项展开式的通项，用

Tk

表示，即通项为展开式的第k+1项：Tk

.2．“杨辉三角”与二项式系数性质（）辉角当n依次1,2，，…时，

()

n

展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1外的其余各数都等于它“肩上”两个数字_______.（）项系的质①对称性与首末两端“等距离的两个二项式系数相事实上，这一性质可直接由公式C

nn

得到.②增减性与最大.当

n2

时，二项式系数是逐渐增大的；当

时，二项式系数是逐渐减小的，因n此二项式系数在中间取得最大.当n是偶数时，中间的一项的二项式系数Cn

最大；当n是奇时，中间的两项的二项式系数

C

n2n

n2n

相等且最大11121xxxxxn11121xxxxxn③各二项式系数的和已(1

x

x

k

x

k

L

x

.令x，则

C

1nn

.也就是说，

()

的展开式的各个二项式系数的和为

【识用【1求(x＋

4x

题一二项式理正与逆的开；化(x－1)＋5(－1)4＋10(x－1)＋10(x－2＋5(x－．【解析】(1)法：x＋

1)x＝(3x＋(3x)·

1＋(3x·(x

1)＋(3x)·(x

1)＋·(x

1121)＝x＋108＋＋＋xx法二：x＋

x1)＝＝(81108＋54x＋x＋1)＝81＋108＋54＋＋x(2)原式＝(－＋x－1)＋(－1)＋－＋(－1)＋(x－1)－＝[(x－1)＋－＝1.【式求(＋)4的展式11111【解】(1＋＝＋()＋C(＋(＋C()4641＝＋＋＋＋.．设为自数化C·2n－1·2n－＋…(1)k·C·2n－k＋＋－1)n·Cn＝．nnn解：原式＝·2·(－＋2·(1)＋…＋－1)2＋＋－·C·2＝－＝．nnn答案：题二二项式数项系数题【2(1)求项(x－)x

6

的开中6项二式数第6项系；求xx

9的开式x3

的数【解析】由知得二项展开式通项为T1＝(2x·(－)

∴第6项的项式系数为C＝，第6项系数为C·(－1)·2＝12.(2)设展开式中的第＋项为含

的项，则1T＝·(－)＝－·C·，x∴－r＝，∴r＝，展开式中第四项含，其系数为－1)·C

＝－84.【拓展】本条不，题1)改为求四的项系和四项系”问(2)为求展式5的系”该何解1【解】(1)由通项T＝·(2x)·(－)

知第四项的二项式系数为C

＝，第四项的系数为C·(－·2

＝－(2)设展开式中第＋项含的，则1T＝··()＝－·C·，∴－r＝，∴＝2.即展开式中的第3项含x，且系数为C＝36.【式1.已在展开中第6项为数.（）含

的的数（）展式所的理.【解析】（）通项公式得

，因为第6项常项，所以

时，有，解得

，令，得，2x32xx2x32xx故所求系数为.r3（）据通项公式，由题意得rZ

,令

,则，，因为，所以

应为偶数，所以

可以取

，即可取2,5,8，所以第3项第6项第9项有理项，它们分别为，,，

4563454256x

2

.二项

(n(n

)

的开中x2系为15，

．4B．5C．D．7【答案】【解析】二项式

的展开式的通项是

rrr

，令r2

得

的系数是C

，因为

的系数为

5

，所以Cn

，即n2

，解得

n或

，因为N

，所以n故选C

－

5

展式的数为)．B．80C．40D－【解析】设开式的第r1项T＝·(x)·

＝··(2)

·＝

·(－2)

·.若第r＋项为数项，则－r＝，r2，即常数项＝

(－2)＝【案】Ca．已(－

x99展式中3的数，则a＝4a【解析】令＝()

(－

x93)＝x，＝，∴r－9＝，∴r＝，242ax21xax21x∴

a(－

19)＝，a＝4.【答案】424题三展式的定有的题类一求开中特项【】设为数位则(x＋i)的展开中x4的为()．－x．－20ix

B15x4D20i4解析：选A二式的通项为T＝i，－r＝得＝．故T＝i＝－15x．选A．【式(1＋2x3－x)5的展式系是_______3r＋s解析：(1＋x(1－x)的开式的通项为2C(－1)C(其中＝；＝0,1,2,3,4,5)，令63＋2＝，r＋s＝，以6

＝，＝

或

＝，＝

所以x的系数是＋4C＝．答案：2类二由项开某的数参问【】若

＋

的展式x5x

的数－，则数a＝________．解析：＝·()

55＝·10－．令10r5，解得r2．又展开式中x系数为80，22则有C·＝80，解得a－．答案：－类三与项定有的和题【3-3】在

的开中求二式数和各系的；奇项二式数与数的项系和（）数的数与数的数；（）x奇项数与偶项数和【解析】设,各项系数和即为,奇数项系数和为,的次项系数和为.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数.（）项式系数的和为.

,偶数项系数和为,x的偶项系数和为（）x＝1,得各项系数和为.（）数项的二项式系数和为.偶数项的二项式系数和为.（）x＝1,得①.令1,＝－1(或＝－1,＝1)，得①＋②得故奇数项的系数和为①－②得故偶数项的系数和为（）的奇次系数和为；

②x的偶项系数和为

.【方法总结】．本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于等式．．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝可常项，令x＝可所有项数之和，令＝－1可得次项系数之和与奇次项系数之和的差．【式1在3x-2y的开中求二式数大项系绝值大项CC2CC2C2（）数大项【答案】(1)C10(2)T=C3·2·y是数绝对值最大的项(3)T=C8···y20【解析】（）项式系数最大的项是第11项T=C

3（）xy=C106xy.（）系数绝对值最大的项是第r+1项于是

rrr19r20rrrr

，化简得

r)2(21)r

，解得7≤≤.5所以r=8,即T=C83··y是数对值最大的（）于系数为正的项为奇数项，故可设第项系数最大，于是2rr2r24rr22r2r2r202r20

r

，化简得

r143r0770r163r9240

.解之得r=5,即2×5-1=9项系数大T=C···.、求项(3x-

x

15的展开中常项有个理；【解析】解展式的通项为T=

(rCr()15

15

(

x

)

r

=

(

rrCr15

30r6设T项常数项，则

30r6

C6=0，得r=6，即常数项为T=215；(4分21002100设T项有理项，则数，故共有3个理项．类四特项系

30=5-r为数，∴为6的数，又0≤≤15，∴可取0，，12三个66【】(－x)

2012

＝a＋ax＋ax2＋＋a·x012(x∈R)．01012求a＋＋＋＋a的值0122求a＋＋＋＋a的值1352求a＋||＋a|＋＋|值0122【解析】(1)令＝1，得a＋a＋＝－1)

＝1.①(2)令＝1，得－－…＝.②①－②得＋＋＋)＝－

1－3，＋＋＋＋＝(3)∵(－2)＝－1)·r·(2x)，∴

＜0(k∈N，a＞0(∈．∴＋＋|＋＋…＋|＝－－＋＋＝

.【式、已(－x)7＝a＋x＋a2＋…＋7，01a＋＋…a；17a＋＋＋a，＋a＋a＋a.1570246【解】(1)∵－)＝＋＋＋…＋x，令x＝，a＋＋＋＋－，①令x＝，a＝，∴＋…＝－2.(2)令＝1，得－－a＋…＋＝＝2187，②由①、②得a＋＋＋＝1094＋＋＝093.、设2-3）0+a1x+a2…+ax100，求列式的：（）;0+a++a;12100+a+a+…+a;1399+a+…+a02100

2-(a+a+…+a)2199

【答案】(1)2(2)(2-3)-2(3)

(23)2

（）【解析】（）（3x)展式中的常数项为C·,即a=2，令x=0，则展开式化为a=2.（）x=1,可得100100a+a+a+…+a=(2-).∴+a+…=(2-)-2.(3)令x=-1可

①a-a+a-a+…=(2+

3

).

②与所到的①联立相减可得a+a+…+a

(23)2

.(4)原式［a+a+…+a）+(a+a…+a)］×(a+a+…)-(a+…+a)］=(a+a+a+…)(a-a+…+a-a+a)=(2-

)·2+）=1.题四整、余题【4】利二式理明2+2

·3

n－4(nN

)被25整除【解析】因为2·3＝4×(1＋，所以2·3＋5n－，则≥2时，

·3

＋n－能25整除，当＝1时，

·3

＋n－＝25.所以，当n，2·3＋5－能25整除.【式、已

n

能25整，最值A=_____________________【答案】【解析】由2nn

，当

n

时，

29

，此时

a

，当

时，

a

；当时2

n

n25nk

，因此只需

4能被25整即可，可知最小正整数的值为4

，nrr3nrr3r5rr52综上可得：正整数a的为4

.、．被除得余是。【答案】题五综运【5】（）

的开中x

的的数

（）x的展式常项为

，a值（）

1

9

或

1

或

9（）已

，

的开中4

的数（）

15C.

5（）解析】

式的通项公式为：Cr

r

x

r

，当r时

为

，当r

时，

项为

，则

的展开式中x

的项的系数是

2

.本题选择

选项.（）解析】∵（）=x∵展式的通项为r

r∴展式的常数项为﹣+2aC

﹣∴﹣C

+2aC﹣=﹣1解a=1或9故选．2r5r52r5r5（）题意得

xdx0

，0故求

的展开式中4

的系数．∵

xxx

，

展开式的通项为Tr

r0,1,2,3,4,5

．∴展开式中4

的系数为

．选D．【变式】、已cosx

6

adx则项的展式的数(

10B.-1080D.-80【解析】2

cosxdx=sin2,6a则2x2-

2

,故r-=(2)

Crx5令103r=1,r=故展开式中x的系数为(-2)

C80本题选择D选项5．若x-1)8

=a+x)+a(1+x…+a(1+x8则a等()0286112B.28C.-28D.-【解析】(1)

=[(-2]

=a(1+x)(1+x)

…+a(1+x)

,∴a=2(2)=C=112本题选择A选.88、．

展式项系是

【解析】（

展开式为T=

r5

r

，令得，T，令r=0，则T=1，∴

展开式中一次项系数为5，数系数为1欲求

的展开式中，含x项系数∴利用（1+x）展开式的一次项与1﹣的常项相乘，常数项﹣x的一项相乘，即×1+1×（﹣1）=4，即

的展开式中，含x项系为4．故选A．、．

的开中含4项的数（）25B.

【解析】

的展开式中含4

项的系数为

20

选C、．B.

展式的数是)8D.【解析】由

展开式的第

项，

展开式的通项为

或，则当

或，

或

时，为展开式的常数项，即

.故选B.、．

的开中有数，

的小为，B.C.x7xxx7xx【解析】，因为展开式中含有常数项，所以，即

展开式的通项为为整数，故n的最小值为5．所以

.故选C【化习．(x＋2)n．9．

的开共12项，于)．D8解析：选C∵a＋)

的展开式共有n＋项而＋2)

的展开式共有12项∴＝．故选C．．－i)为虚数位的项开中第项()．－210．－

B210D－210i解析：选A由项公式得T＝·(－＝－C＝210．已－

的开的4项等于5，则x等于)．

B－

．7

D－1解析：选B＝x∴x＝－．．若项x－．6．

的开中5项常项则然n的值能()B10D15解析：选C∵＝(x

n－12－12·是数项，∴＝，∴n＝．22．x－y．－．5

的开中23的系是()B－D206rrnnnr86rrnnnr8解析：选A由项展开式的通项可得，第四项＝

1

(－2)＝20x，故y的数为－20选A．2．在项x2的展式,x

的的数

【解析】二项式展开式的通项公式：Tr

r

C

r12

，令

12r

可得：r2，含x的项的系数是

.本选择选.．二式

的开的项数为）

256

257

254

255【解析】由题意，对于二项式令x，

，即二项式

的展开式的各项系数的和为

，故选A.1．x的开中3项与7项二式数等,该开中的数为)x56B.5187D.78【解析】由题意可得

C,得8,展开式的通项为T

C

r8

xr令822,可得5故

1

的系数为C556本题选择A选项．若

2

n

展式的有项系和5,则展开中常项

84

36【解析】展开式中所有二项式系数和为512即=512则n=9，T=（﹣）Cx故答案为：B.

令18﹣，r=6，所以该展式中的常数项为84．在

展式，二式数最值，含

项系为b则

（）rkr152x5rkr152x5

533D.3【解析】在

展开式中，二项式系数的最大值为a，a=

C

36

=20．展开式中的通项公式T=

rx

，令6﹣r=5，可得r=1．∴含x

项的系数为b=

=﹣12，则

a5b3

．故选：．．

的开中

的数（）

【解析】

x

的二项式展开式的通项公式Tk

kr

rr

,当仅当r=1,k=1时合题意

的展开式中

的系数为

·3

,故选C.．二式

x6xx

5

的开的数为-5B.C.-10D.10【解析】由题得

Tr

r5

1rrrxx

0,1,2,3,4,5

.令30

152

rr

所以二项式展开式的常数项为

,故选B.．己

，

（）B.

【解析】令所以

，得

，令．故选．

得，．5555除，得数()

【答案】r96rr636r96rr636【解析】55

式通项为Crr时，余数为

，由于余数要为正数，故加，

.．若x

x

，aa39

（）1B.513C.512D.511【答案】【解析】令，a,xa13

9

1．x的展式常项（）

52

160C.

【解析】因为展开式中的通项公式可得Tr

rx6

6

Crxrx

，令

rr

所以展开式中的常数项是3

C

5，选答案。．(1.05)的计算果确0.01的似是）1.23B.1.24C.1.33D.【答案】【解析】

1.05

0.0375

，本题选择D选项.、被除得余是)

14

35【答案】【解析】由二项式定理展开得

838283M49M49数553553∴+6被49除得的余数是本题选择B选项．设xx1

x

，么0213

的为）－

12261244－C.－12160241

-1【答案】在xax25令可a+a+…①令x=可得a+a2②。由①②求得a+a+a=122，+a+a=，a122，本题选择A选项∴0a121

中，．(2x＋x)5的展式，x3的数_．(数填答案解析：＋x

展开式的通项为T＝(2)(x)＝

r·C·5－．2r令5－＝3，得＝．x系数为2

·C＝＝．答案10．

的开中

的数20，实数

【答案】【解析】

已知

，展开式中

的系数为，求得

，故答案为2.．若

，

0

______【答案】32【解析】令

xa

.．若

x21

，

123．【答案】31【解析】令

可得

0

；令

可得

024

，所以31135

，应填答案。．二式

的开中

项系为__________．【解析】由题意得，二项式25．在1+x+x)(1-x)的开式中x

的展开式中含项为，故其系数.的系数为：（1+x+x）1-x）=（1-x）1-x，（1-x

展开式的通项公式为

r

r5

x

r

，可得(1+x+x)(1-x)的开式中，x的数考点：二项式定理的应用

3

．若量,满足束件

xyxx

，xy

，最值，x

二项开中的数为.240【答案】【解析】试题分析画出不等式组表示平区域如,由图象可知当动直线

经过点A(2,4)

时2x

取最大值

.当

时故二项式展开式的通项公式

r

Cr(2x)6

6

()x

r

2

6

C

r6

x

62,由题设

62

r

可得r

,所以展开式中的常数项是

C

240

,故应填答案

.x=2

yxO．已)

6

xx012

2

x6

6

，aaa16

．试题分析：由二项式定理知：a1

a1

,所以令

，得：=a023

所以答案应填：6

．考点：、项展开式；2、二项定理．．

(

2)5的展式，xy的数【答案】

30【解析】

(

2

y)

5

的展开式的通项为

Tr

r5

y

r

，令r

2

的通项为C3

xkkx3

，令

6

则

，(2y)

5

的展开式中，

x5

的系数为

2C1、．设

xx2

x

①

0234

；②

0

；③

14

；求

127

227

2727

除9的数【答案】（），，；）7【解析】试题分析：1）利用赋值法，令；，；0

1，01234

；（2）令x=-1，（）加③令

x

，结合二项式系数和即可求出结果；（）用二项式系数和，把分解为倍数形式，再求对应的余数．试题解析：(1)①令＝，＋a＋＋＋＝(31)＝16.②令x＝－得a－＋－＋＝－31)＝，而由(1)知a＋＋＋＝1)＝16两式相加，得a＋a＋＝③令x＝得a(0－1)＝，得＋＝＋＋＋a＋－a＝－＝15.（）S＝＋＋＋＝－＝－＝－－＝×－×＋…C×－1＝×－×＋＋)－＝×－×＋＋－1)＋，显然上式括号内的数是正整数．故被的余数为7.．已

展式的有项系和512.求开中常项求开中有的数和【答案】（）；（2）.【解析】试题分析：(1)根据二式性质得2=512解得n，再根据二项式通项公式，由x次为零得，代入确定常数项，(2)赋值法求所有项系数之和，令x=1，即得结果试题解析：rrrnrrrn(1)由2=512得n=9,则第r+1项=2(r=0,1,2,…

()

=令-r=0得r=3,故常数项为

=672.(2)由(1)知n=9,令得开中所有项的系数和为.．已在

xx

的开中第6为数。C61236,23810

）（）；（2求x的项系；3求开中有的理.（）项公式为r

C

rn

n3

rn

nr3

，∵第6项常数项，∴r，有∴

nr3

，（）

nr1，得r3

，∴所求得系数为

2

.r

（）据通项公式，由题意，得{rrN

，令

10r3

，则

0r

，r

，∵

r