高中数学经典例题及跟踪训练 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合的问题

2y2y高数经例及踪练

椭、曲、物与相合问I题源探·黄金母题

精解【例】动圆与圆

x

2

x0

外切，同时与圆

【试题来源】人版修2-150页题xx它是什么曲线．

内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明

．2B组题【母题评析本属求轨问，用义求迹程求迹题近年考【解析圆

C:

2

y

2

x0(x

2

y

2

4

，

试中常，用题形往是答圆心

(

径

r

圆

C:

2

2

910

，

题其一．即

x2100

，圆心

(3,0)

，半径

r

，设动圆

【思路方法利两外切内的件求出子经推转为点要足圆心为

(xy)

，半径为r，于动圆P与C外，则

的件求符合义最后出迹程PC1

由动圆

P

与圆

内切则

PC2

，

这定法轨．所以

PC，CC，因点P的轨11迹是以

C、1

2

为焦点的椭圆．设椭圆方程为：

yaa2b

，26,cb2a2

圆心的轨迹方程为

2，表示一个焦点在轴的椭圆．3627II．场精彩真题回放【例】【新课标III】已知双曲线：

【命题意图本题常主轨方及ba2

的一条渐近线方程为

y

，

轨，查生求迹基方的握情及圆曲的念掌情．【考试方向这试在考题上通且与椭圆

123

有公共焦点，则C的程为（）

基以答形出，填较，度持，般出在答中一．A

810

B

4

【难点中心】双线椭共点题待系法yyC．

5

D．

4

求曲的程【师睛求曲的准程基方【答案】By【解析】双曲线C：a,的近方程2b2为y，圆中a2ca，

法待系法具过是定，定量即确双线准程形，后再据a,b,e渐线间关，出的值如已双线渐线程求曲的准程可用公渐椭圆，即双曲线的焦点为

，据此可得双曲线中的方程

近的曲方为

a2

，组

c2

解

a

2

b

2

则曲线C的程为

再条求的值可．线抛线位关和线与圆cy2，故选．4【例】2017高新课标II】若双曲线

2ya2b2

双线位关类，般用根系数关；在决线抛线的位关时要别意线抛线对轴行的殊况中弦题可利“差法，不忘验＞或明中在曲内．（a，）的一条渐近线被圆

所截得的弦长为，则

C

的离心率为（）A2B．

3

C．

D．

3【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线

2ab

的渐近线为：

，圆心

到渐近线距离为：d3

，不妨考查点

到直线bx

的距离：

b

2

，即：，理c可得2a2

，双曲线的离心率

e

2a2

4

．故选A．【例】2017新标I已知双曲线C：

22

2（，b>0的右顶点为A，A为心b为径作圆A，圆A与双曲线的条渐近线交于M、两．若，C的心率_______．【答案】

【解析】如图所示，作MN，因圆A与曲线C一条渐近线交于M、两点，则为曲的渐近线y

x

上的点(a,0)

AM，30

，点Aa,0)

到直线y

的距离

b|

．在

RtPAN

中，PAN

PA

，代入计算得2

，即

a

，由

得

b

，

cb

．【例】高考新课标III】已知抛物线C：y=2x，过点（2，）的直线lC与AB两，圆M是线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在M上；（2）设圆M过点

P与M的方程．【答案(1)明略(2)线l的程为xM的方程为

，或直线l的方程2222

9，圆M的方程为y416

．【解析】试题分析：(1)设点的坐标，联立直线与圆的方程，由斜率之积为可OAOB，得结论；(2)结合1)的结论求得实数m的类论即可求得直线的方程和圆M的程

l试题解析：(1)

A12

，l:

．由

xy2

可得

ymy

，则

y41

．又

1

21x2

，故

xx1

yy12

4

．因此OA的率与OB的率之积为所以OA．

yy12x41

，故坐标原点

O

在圆M上

由

可

得y,x221

．故圆心M

的坐标为

，圆

的半径r

2

2

．由于圆

过点

P

，因此

，故

x2

，即

xx21

y2

．由(可得

y12

．所以

，解得

或

m

．当m时直l的程为xy圆心M的2222标为

，圆M

的半径为

，圆M

的方程为

．当m

时，直线

l

的方程为2x

，圆心M的坐标为

2

圆M的径为

圆M的程9为x416

．【例】【高考山东卷】在平面直角坐标系xOy中椭圆E：

x222a的心率为，焦距为．a222（Ⅰ）求椭圆E的程（Ⅱ如动线l

：y

32

交椭圆E于AB点是椭圆E上点，直线OC斜率为，

24

，M是线段OC延长线上一点，且MC::3的半径为,是的两条切线分为S的最大值，并求取得最大值时直线l

的斜率．【答案】（I）

x2

y（Ⅱ）的最大值为

，取得最大值时直线l斜率为k

22

．2,22,2【解析题析小题由

c2a2

2c定即得．y（Ⅱ）通过联立方程组化得到一元二次方程2后应用韦达定理，应用弦长公式确定|AB及圆

的半径r

表达式．进一步求得直线OC的程并与椭圆方程联立，确定得到|OC|r

的表达式，研究其取值范围．这个过程中，可考虑利用换元思想，应用二次函数的性质及基本不等式．试题解析：（I）由题意知2,b，

c2，所以a因此椭圆方程为

x22

y

2

．（Ⅱ）设Ay程

y232得

3x，由题意知，

x

，所以AB1

x2

k

．由题意可知圆

的半径r

为

r

213212由题设知k，以因直线OC的方程44k1t1t8k1yx方程得,11ky,4k

，因此

11

．由题意可知

SOTr2rOC

1

1而rr

kk11k2k

kk1

，令k

，则tt

，因此r

2t

1112

，1当且仅当，时号成立，此时，以t2sin

SOT此以SOT最大值为6上所述的最大值为取得最大值时直线l2k．2

的斜率为【例高考天津卷椭

2ya2

的左焦点为

，右顶点为A

，离心率为．知A

是抛物线y2p0)

的焦点，

到抛物线的准线

l

的距离为．求椭圆的方程和抛物线的方程；设l上点，Q关于轴称，直线椭圆相交于点B

（B

异于点A

），直线BQ

与

x

轴相交于点D

．若△APD

的面积为

，求直线的方程．【答案】（1）

2

4y3

2

，

y

2

x

．（）6y【解析】

，或y

．试题分析：由于A

为抛物线焦点，

到抛物线的准线l的离为

11，则，又椭圆的离心率为，出a,b2

，得出椭圆的标准方程和抛物线方程A(1,0)

直

方程为设xmy

，解出P、

两点的坐标，把直线AP

方程和椭圆方程联立解出点标，写出所直线方程求出点

的坐标后据△APD

的面积为

解方程求出，出直线AP试题解析

的方程．的坐标为(,0)

c依题意，

，1，a，得，c，p2，于是22

．所以，椭圆的方程为

2

4y3

2

，抛物线的方程为

y4

．（Ⅱ解设线方程为xmym

与线

l的方程

x

联立，可得点P(

2，Q)m

．将xmy

与

4y3

2

联立，消去

x

，整理得(34)20

解

或

y

mm2

由B

异于点

可点

(

m2)由)m2mm

，可

得

直

线

的

方

程

为(

2)mmm

，

令y0

，解得

x

2mm

2，故D(．所以m2m|AD32

．又因为△的面积为

，

故

2m|

，

整

理

得6|m，解得m

，所以m．所以，直线AP的方程为36

，或x6

．III理论基·解题原理考一椭与相合问圆与的结合点有：（1）圆的几何性质与椭圆相联系；）用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系．考二

双曲线圆

结的题由于双曲线具有渐近线，故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点．圆本身所具有的几何质在探索等量关系也经常考查，进而求解双曲线的几何性质，如离心率的求解．圆与双曲线的结合点有：）用圆的性质解决双曲线的关问题；2圆的切线与双曲线相联系；考三

抛物线圆相结合的题．圆与抛物线的结合点有：1）圆的性质与抛物线相结合；2抛物线的性质与圆的相联系．IV题型攻略·度挖掘【考试方向】这类试题，可以是选择题、填空题，难度中等，也可以是解答题，这是难度大，为压轴题．【技能方法】灵活运用圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质解决问题．【易错指导】解题过程中最容易出现以下错误：其一是不能正确地运用导数的几何意义求抛物线上点的切线斜率，进而导致出现错误；其二是不能正确地找出直线与圆的位置关系即切线与过切点的半径垂直的论，从而导致无法求解．V．一反三触类旁通考一椭与相合问【例】设

,Q

分别为

x

和椭圆

10

上的点，则

Q

两点间的最大距离是______________．【答案】

62【点评】本题通过圆的性质将P两点间的最大距离可以转化为圆心到椭上的点的最大距离再加上圆的半径进行解决．【例】【湖南师大附中模拟】已知椭圆C的心在原点，离心率为(xy的圆心．

22

，其右焦点是圆E：求椭圆C的准程；如图，过椭圆上位于轴侧的一点作圆的条线，分别交轴点M、N．推断是否存在点

P

，使

|

？若存在，求出点

P

的坐标；若不存在，请说明理由．【分析由已知条件分别求出

,

的值，而b2

，代入求出椭圆的方程假设存在点

P

满足题意，设点

(x,y)x）M(0,)N(0,n)0

，利用条件求出直线PM方，根据圆心E到0000线PM的离为，求出与点P坐之间的关系，同理求出n与P坐之间的关系，利用韦达定理求出

m,mn

的表达式，算出MN，求出P点标．【解析设圆方程

y0)a22

半距为

因为椭圆的右焦点是圆的心则c，因为椭圆的离心率为

22，则，22从而2

2

2

2

，故圆C的程为22

2

．由此可知，m，方程(x

的两个实根，所以

m，，x0MN|m(m)mn

x000(x(x2000

．因为点

(,)00

在椭圆C上，则

20，y22

，则

|MN

2x2(x200(2(x0

4，令(x(30

，00x00x则

(x2)

，为，则y0

0

2

，即22

，故存在点

(

)

满足题设条件．【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立系解决问题．【例】已知椭圆：x

．（1）求椭圆

C

的离心率；（2

O

为原点

A

在椭圆

C

上

B

在直线

2

上

OB

判断直线

与圆

2y2的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1把椭圆

C

：

y

化为标准方程，确定

a

2

，

b

2

，利用

求得离心率；（2）设点Ax,y，B(t,2)，中由OB即OA，x、y表示t，当000

x00

分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离的半径比较而判断直线

与圆

y

的位置关系．（2）直线

AB

与圆

x

2

相切，证明如下：设点

x0

，

(t,2)

，其中

x0

，2y因为OB，以OA即txy，得tx0

，当

x时y0

t22

，代入椭圆

C

的方程得

t

，此时直线

AB

与圆

x2y

相切．当

x0

时，直线

AB

的方程为

yy0(x)，(y2)xx)y000

，圆心到直线AB的距离为

|x|0(y2x)00

2

，又

y2，t0

2yx0

0

，xx故

y2xyxy2002

0|xxxx2

．故此直线

AB

与圆

x2

相切．【跟踪练习】．【江吉安模拟】已知椭圆

W:

xyaa22

的离心率为，左顶点A

在圆:x

2

y

2

上．（Ⅰ）求椭圆

的方程；（Ⅱ）若点为圆上同于点A

的点，直线圆的一个交点为Q，否存在点

，使得PQ

？若存在，求出点

的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（I）

y164

；（II）不存在，理由见解析．（II）设点

Py1

2

，设直线AP

的方程为

，与椭圆方程联立得xy164

，化简得到

2

2

2

k

2

，因为-4方程的一个根，所以

1k

，所以

421k所以

2222PQ2k3k322222PQ2k3k322因为圆心到直线

的距离为

d

4k1k

，所以

AQ16

2

1681

2

．因为

PQAPAP

，代入得到821

2

，显然

，所以不存在直线

，使得

PQ

．．已知椭圆

2y+=1a

的左焦点为

，离心率为，M在椭圆上且位于第一象限，直线

FM

被圆

2+

b4

截得的线段的长为c

，

3

．（1）求直线

FM

的斜率；求椭圆的方程；设动点在椭圆上，若直线FP的率于，求直线OP（为点）的斜率的取值范围．【分析】(1)椭圆知识先求出

a,,c

的关系，设直线FM的方程为y(x)

，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率

的值；(2)由1)设椭圆方程为

23c22直线与椭圆方程联立，求出点M

的坐标，由

FM

433

可求出c

，从而可求椭圆方程；①当333①当333(3)设出直线：(

，与椭圆方程联立，求得t

6x

2，出

的范围，即可求直线

OP

的斜率的取值范围．(3)设点的标为(x,y)

，直线FP的斜率为t，

t

yx

，即

y(x(x

，与椭圆方程联立(x2y22

，消去，整理得

2

2t(

，又由已知，得

t

622

2

，解得

32

x

或

，设直线OP的率为，得

yx

，即

y(

，与椭圆方程联立，整理可得

22x2

．3x,2

时，有y(x0因此，于

22

，得

223m,②当

22时，有y(x，此m，是m

，得

3333333综上所述，直线

OP

的斜率的取值范围是

323．【福高考理】已知椭圆

E

2y2a2b

过点

e

．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线

lxmy

交椭圆E

于A

，B

两点，判断点

9,04

与以线段AB

为直径的圆的位置关系，并说明理由．22【解析】解一（）由已知得2

，解得

，所以椭圆的程

2y24

．201222122112201222122112故

GH

AB

2

m2

mm2

，所以

AB2

．故点

在以

为直径的圆外．解法二：（1同解法一．（2）设点

y12

，则

9y，GBx,

．由

my2

，得

，所以

y1

，y2

2

，12112512121211251212从而GA

95xymymy4

y12y2m2

m22516

16

，所以

GAGB．，不线，所以AGB锐角．故点

在以

为直径的圆外．4．

如图所示，已知

A

、

B

、

是长轴长为

的椭圆

E

上的三点，点

A

是长轴的一个端点，

BC

过椭圆中心

，且

，

BC

．（1）求椭圆的程；（2）在椭圆

E

上是否存点

Q

，使得

QBQA

？若存在，有几个（不必求出

点的坐标），若不存在，请说明理由；（3椭圆上于其顶点的一点P圆O:x

2y2

43

的两条线点分别为M、直在轴y轴的截距分别为、，明：

112n

为定值．【解析】：（1依题意知：椭圆的长半轴长a，

，222222解法二：设在椭圆E上存点，得，设Q0

，则QBQA0000

，即

3xy000

，①又

点Q在椭圆上x0

20

，②由①式得

y2x0

代入②式并整理得：

x20

x0

，③2222122221方程③的根判别式

，

方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存，且有两个；解法二：设点

y

3

，则

PM

1OM

，直线

PM

的方程为

x2

，化简得

xyy22

43

，④同理可得直线

PN

的方程为

xy3

43

把

P

点的坐标代入④得

xxy121xxy113

43

直线

的方程为

xx11

43

，令

y

，得

m

43x1

，令

x

得

n

43y1

，x1

4，y，又点P椭圆上3mm

，即

1n24

（定值）．【河正定中月考】已知椭C:

2a0)ab2

的离心率为，原点

为圆心，圆的短半轴长为半径的圆与直线x6

相切．2323（1）求椭圆的准方程；（2直l:kx

与椭圆

相交于A

两点

ba

断

AOB

的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．x【答案】（1）；2）3

的面积为定值

．kx)2x(x)111

3(m223

)

kOA

OB

y3，1xx412

，yxx12

，

3(k)34(m243k2

，k

，8分1

x

xx2

4823k2

243k2

m

，

24AB3k

m

2

．．如图，已知椭圆C:

y(a0)ab

的离心率为，椭圆的左顶T圆心作圆2（

y

(r

设圆T椭圆C于点M时，取最小值为时y，故M时，取最小值为时y，故M,),又点M在T上代入圆的方程得r（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求TM的小值，并求此时圆T的程；（Ⅲ）设点P是椭上于MN的意一点，且直线MP，NP别与

轴交于点R，，O为标原点．试问；是否存在使

S

POS

POR

最大的点P，若存在求出点坐标，若不存在说明理由（II）点M与点N关于

轴对称，设M(y),(x,)

，不妨设y0，于点M椭圆C上，y

x4

，由已知

T(TMy),TN)

，TMxy)(y)x5(1(x)2，4

由于x

故当

815

，当

8355525

，故圆T的方程为：（

1325

；．【浙临海统练】已知抛物线

：

xy

，过焦点F的直线

l

与抛物线交于A,B

两点（A

在第一象限）．YB

F

AO

X（1）当

OFA

2

时，求直线l的方程；（2）点

t2)

作抛物线的线l与

x

2y

交于不同的两点M,N，F到l的距离为

，求

MNd

的取值范围．11【答案】（1）

y

x

；（）(0,]（2）由于

4

，因此y

x

故切线

l1

的方程为

yxt)

，化简得

txy则圆心（0，-1）到

l1

的距离为

1

|1|t

，且

d1

，故2

，则

MN|2

|

2，则点到l距离t2，则t4

，今

t24t225mttt4t22

mt

2

(1,16)则

m

]故(0,]2m

．．图所示，已知

A

、

B

、

C

是长轴长为

的椭圆

E

上的三点，点

A

是长轴的一个端点，

过椭圆中心

O

，且

，

BC

．（1）求椭圆

E

的方程；2222,032222222,03222（2）在椭圆

E

上是否存点

Q

，使得

QBQA

？若存在，有几个（不必求出

Q

点的坐标），若不存在，请说明理由；（3椭圆上于其顶点的一点P圆O:x

2y2

43

的两条线点分别为M、直在轴y轴的截距分别为、，明：

112n

为定值．（2）解法一：设在椭圆

E

上存在点

Q

，使得

QB

，设

Q0

，则QBQA0000

，即点

Q

在直线

上，

点

Q

即直线

与椭圆

E

的交点，直线

过,0

，而点椭圆

在椭圆的部，

满足条件的点

Q

存在，且有两个；解法二：设在椭圆

E

上存在点

Q

，使得

QB

，设

Q0

，则QBQA0000

，即

3xy000

，①又

点Q在椭圆上x0

20

，②由①式得

y2x0

代入②式并整理得：

x20

x0

，③方程③的根判别式

56

，

方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存，且有两个；（3法一点

xy

M是O的切知OMMP，2212222122ON

，

、

M

、

P

、

四点在同一圆上，且圆的直径为OP，则心为

y1,122

，其方程为

y

2

2y114

，即

x

2

2

y1

，④即点

M

、

满足方程④，又点

M

、

都在圆

O

上，M、坐也满足圆O方程x

2

y

2

43

，⑤⑤

④得直线

MN

的方程为

xx11

43

，令

y

，得

m

43x1

，令

x

得

n

43y1

，x1

4，，又点P在圆E上3

4

，即

1324

（定值）；考二双线圆结的题【例】已知点(,0)(

是双曲线

a

的左焦点，离心率为e过且行双曲线渐近线的直线与圆xy交于点，点在抛物线y上则e2

=（）A

B5

C．

52

D．

【答案】D【点评】本题将双曲线的渐近线与圆的位置关系联系到一起，从而确定点P的标，进而建立等量关系求解双曲线的离心率．【例】已知双曲线

xa2

的左右焦点分别为

F、F1

，

为双曲线的中心，

P

是双曲线右支上的点，F1

的内切圆的圆心为

I

，且圆

I

与

轴相切于点

A

，过

F2

作直线

PI

的垂线，垂足为

B

，若

e

为双曲线的离心率，则)A

|OA

B

||

C．

|

D．|与OB关系不确定【答案】C【例】已知双曲线

xa2

的左右点分别为F、F1

，

为双曲线的中心，

P

是双曲线右支上的点，

F12

的内切圆的圆心为

I

且圆

I

与

轴相切于点

A

，过

F2

作直线

PI

的垂线，垂足为

B

，若

e

为双曲线的离心率，()A

|OA

B

||

C．

|

D．|与OB关系不确定【答案】C【跟踪练习】河定州市上学期期中过双曲线

x

2

y

的右支上一点

分向圆C：x+4)1

+y

和圆

C

：

(x22作切，切点分别为M，，则|PMPN|

的最小值为（）AB．．D．【答案】B【解析】由题可知，

|PM

PN||2PC2

，因此|PM||2．故选B．

(||)2(|PC||121

【届南长沙一中高三月考五】已知双曲线

x20,22

的左、右焦点分别为F、F，12过

F

作圆

x22

的切线分别交双曲线的左、右两支于点

、

，若

||

，则双曲线的渐近线方程为（）A

y

B

y2

．

yx

D．

y【答案】C．2018河武邑调研已知双曲线C:

x的顶点为，为标原点，以为圆a0200202002心的圆与双曲线的渐近线交于两点P，Q．PAQOQOP，双曲线的心率为_________【答案】

．曲线

:

ba2

的右焦点为

F(,0)

，以原点为圆心

为半径圆与双曲线在第二象限的交点为A，此圆在A点处的切线的斜率为【答案】

33

，则双曲线C的离心率________．【解析】设切点

A

为

(xy)

20，则03

2

3c2y，入4a

22

b2

，化简得：c4aa2(42c3

c

．．知点F、为曲线C：x

yb

22

过F作直于x的直线，在x轴上方交双曲线于，FO的程是x1

2

y

2

2

．求双曲线方程；过双曲线任意一点P作双曲线两条渐近线的垂线垂足分别为、P，PP的；12（3）过圆上意一点Qy0

0

作圆

的切线l

交双曲线C于A、B两点，中点为M，证：AB2OM

．解：（）设

M

的坐标分别为

(

2,0),(2

y)012011201因为点

M

在双曲线

C

上，所以

1

2

0b2

，即

y0

2

，所以

在

中F30212

0

，

MF

，所以

MF

……2分由双曲线的定义可知：

MFMF2故双曲线

C

的方程为：

2

……4分（3）由题意，即证：OAOB．设

A(x),B()11

，切线l方程为：

xyy0

……11①当

y0

时，切线

l

的方程代入双曲线

C

中，化简得：(2y

)x

x

所以：

x1

0(2y0

2

(2y,xx)y22)0又

yy12

x))1002x(x)xyy00

200

2

……13分所以

……15分②当

y0

时，易知上述结论也成立．所

……16综上，，以

．．圆

xy24

的切线与x正半轴y轴半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线

:1

2y2a

过点P且心率为．（1）求

C

的方程；（2）椭圆

C

2

过点且与

C

有相同的焦点，直线

l

过

C

2

的右焦点且与

C

2

交于A，两，若以线段AB为直径的圆心过点P，求l的程．【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知

C

2

的焦点坐标为

(3,0),(3,0)

，由此

C

2

的方程为

x21

y221

，其中

b1

．由

P(2)

在

C

2

上，得

22311

，11显然，不是直线=0设l的程为=+

3

，点

A(y),B(xy1my由2y26

得

(m

2

2)y

2

3my

，又

yy1

3mm是方程的根，因此y2

，考三抛线圆结的题时，才能使玻璃球触及杯底．【例】一个酒杯的轴截面是开向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的璃球，当玻璃球的半径r最取【答案】1

，杯深，在杯内放一玻【解析】建立如图所示的直角坐标系，酒杯所在抛物线的方程设为x

py(p，为过点，所以

p20,p，

x(0

．玻璃球触及杯底，就是小球的截面圆yr)与抛物线2y且仅有一个交点，即原点由

r)

r与x

2消x得yr

因为有且仅有一个交点，即原点，所以rr

即半径r大取．【例】【重庆模拟】已知椭圆

xC：

22

6离心率为，距为3

22

，抛物线:py2

的焦点

是椭圆

C

的顶点．（Ⅰ）求与C的标准方程；1（Ⅱ）设过点

的直线l

交

C

2

于

,

两点，若

C1

的右顶点

在以

PQ

为直径的圆内，求直线l

的斜率的取值范围．【分析（）椭圆

C

的焦距为

c2

，

a

，得椭圆的标准方程，得到抛物线焦点，可得抛物线方程（）联立直线与抛物线方程结合韦达定理得

x4，A在以PQ直径的圆2内

AP

，得结果．（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：

kx

，设点

11

y22

，联立得x4

，由韦达定理得

x412

，

x12

．A在以为径的圆内APx2xx321

x2

，3k0

．【例】已抛物线

E:2p

的准线与交于点，过点M圆

C:(22

的两条切线，切点为A、，

||

．求抛物线E方程；过抛物线E上点N作C的两条切线，切点分别为P，，，（O原点）三点共线，求点N的标．【解析】：（Ⅰ）由已知得－

，，C，0)．设AB与x轴交于，由圆的对称性可知，AR＝

2．2224上一个动点，为2224上一个动点，为圆xy于是CR＝AC－

＝

，所以CM＝

AC＝＝，＋＝，p＝2．sin∠∠CAR2故抛物线E的程为＝x．y

y

N

QO

x

O

Cx【跟踪练习】．四双流模拟】已知P为物线

y

上一个动点，当点P到Q的离与点到物线的准线的距离之和最小，点P的坐标为（）A

B

．

D．

【答案】A【2018河郑州模拟】已知抛物线

y

2

x

，点Q是

C:x

x0

上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x距离为，A5B．4C．3D．【答案】

PQ

的最小值为（）【吉长春模已知点

是抛物线

2

上一点，

O

为坐标原点，若

A,B

是以点M

为圆心，OA的为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO为等边三形，则的是．【答案】

．已知圆

C:)yr的圆心为抛物线2

的焦点，直线

xy

与圆

C

相切，则该圆的方程为___________________．(与O：【答案】

xy2图物E

：

22

相交于

，

两点点

的横坐标为

劣弧AB

上动点

0

作圆

O

的切线交抛物线

于

，

D两，分别以

，D为点作抛线E

的切线l，l，l与l相于M．12（Ⅰ）求的；（Ⅱ）求动点M的迹方程．【注意问题】求出轨迹方程后注意范围，不符合的点．．已知抛物线：

y2px(p0)

的焦点为，线y与y轴交点为P，的交点为Q且p58(将上式代入并理得ççç÷骣珑(将上式代入并理得p58(将上式代入并理得ççç÷骣珑(将上式代入并理得

54

PQ|

．（I求的程；（II）过F的线

l

与C交于，两点，若AB的直平分线

l

与C较于M两，，，B，N四在同一圆上，求

l

的方程．【解析】：（I）Q(x)，入y

=2

，得=

8p8,PQ=,QF==p2p

．由题设得+=?，得=-2p

（舍去）或=，∴C的程为x

；（II）由题设知l与标轴不垂直，故可设l

的方程为xmy+

m0

入

=4

得

--40

(

则

y=4m,y=-4

故AB的点为D

+1,),AB=

+1y-=

+1)

又l¢的率为,\l

¢的方程为=-

1y2m+=4y-2m

+)

设yBx(

)

则y+=-

4m

,yy=-4(m+3)

MN的点为

E

++3,-

2

÷÷

14+)m,MN==m

+

．由于MN垂平分线

AM,BN

四点在同一圆上等价于

1AEBEMN2

从而

+DE=

MN即4+1)桫

4(m)(m+)m

，化简得m2-1=0

，解得=1

或m-

．所求直线l

的方程为--1=0

或x+-1=0

．．知抛物线：5．4

y

2px(p0)

的焦点为F，直线y4与y轴交点为P，与C的点为Q且（I求的程；（II）过F的线

l

与C交于，两点，若AB的直平分线

l

与C较于M两，，，B，N四在同一圆上，求

l

的方程．为=-

1y2m+=4y-2m

+)

设yBx(

)

则ççç÷珑珑鼢鼢2ççç÷珑珑鼢鼢2y+=-

4m

,yy=-4(m+3)MN的点为

E

++3,-

2

÷÷

14+)m,MN==m

+

．由于MN垂平分线AB

AM,BN

四点在同一圆上等价于

1AEBEMN2

从而

+DE=

MN即4m

+1

骣+桫

鼢+m

m

+m

+1

，化简得

-=0

，解得=1

或m-

．所求直．线l的程为--=0x+-1=0考四椭、曲、物与