高中数学教学论文 关于两平面向量平行的第三组充要条件的探究

aabaaabax,))ebee关两面量行第组要件探如图所示，平行四边形ABCD中，E、分是AD和上的点，

19

，E

D

F

COA

BDF

1DC，AF与交，求7AF

这道题是我上初中时看到的当由于好奇就它抄下来自己做一下料想我用自己知道的知识来解它，就是解不出来。后来等自己教书了，教过向量这章内容后了解题方法。我们在上初中时，学过△的这样一个知识eq\o\ac(△,，)三边上的中线交于一点，此点叫△的重心重到△顶点的距离等于到对边中点距离的2倍如，ABC中DEF分是BC、AC、AB边的中点，则AD、BE、CFA

交于一点，设为G。这个G点eq\o\ac(△,叫)ABC的重心，且有AGBGCG2GDGEGF

。这个比值2可以作辅助线求出来，试想一下，若F

E

D、E不是中点，比如

AE15

，G

，的值又如何计算GD呢？再用作辅助线的方法来计算是非常困难的的了。B

D

C我们仔细观察这两道题，其实是一个题型，那么有没有解决这个题型的有效方法呢？大家知道，若，b//=，。是两向量平行（共线）的第一组充要条件；若

，122

，则

b//ay121

，这是两平面向量平行（共线）的第二组充要条件；若

，，、不1123121线，

、

、

、

R，则由

//

能推出什么呢？由第一组充要条件可

知，

abaee)(abaee)()0420ba0ee)b(ebeABaBEBO

//

=

，

所

以

有=3212

因为、3114

不共线，所以只有

，31

42

43

，反过来，也可以由

//，以在这里，由//431

，这又是两平面向量平行（共线）的一个新的充要条件，我把它叫作两平面向量平行（共线）的第三组充要条件。其实，若把第三组中的、设为单位向量，且使⊥，则根据平面向量的1坐标定义可知时的标就为，的坐标就为

,3

)4

由两平面向量平共线）的第二组充要条件也可以推出

043

。从这可以体会出，第三组充要条件是第二组充要条件的推广二组充要条件是第三组充要条件的特殊情形把平面向量平（线的第三组充要条件再一遍若

112

，32

，、12不共线，、、、R，由b//a323

。那么，这个充要条件对解决△中的求比值问题有用吗？我们试想一下，我先把要求的这个比值设出来，假设设成m，设出eq\o\ac(△,中)eq\o\ac(△,)的一组基向量，在eq\o\ac(△,中)eq\o\ac(△,)找一对平行（共线）向量，把这对平行（共线）向量都用基向量表示出来，到表示平行（共线）向量的参数中去，那么用平面向量平行（共线）的第三组充要条件后，就可以构造只的程，就可以求出，从而达到上述问题的解决。举个具体例子，如图eq\o\ac(△,，)ABC中D、F分是BC、AC、AB边上点，有AE1BD1，5BC7AO求。OD

，、交O点，

A

EOB

D

CAOAO解：设=m，则，以AOODm

，再设=，=，找到一组平行（共线）向量、，

abBEBAAEbBABOAOabBEBAAEbBABOAO下面把BE

、BO用

、

分别表示出来，=+=

+

15

=

+

15

，=+=

+

mm=a+mm

(ABBDm1=+(+BC)=+[a+(BAAC)mm7

]=

m161+[+(]=a+[am77

]6m(b=77m1由//(77mAO所以=OD

m=

看，这道题就这样解决了，利用两平面向量平行（共线）的第三组冲要条件解决了。