高教版中职数学(拓展模块)《刘徽与海岛算经》课件

刘徽制作者：林依然刘徽制作者：林依然1刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，被称为布衣数学家。中国古典数学理论的奠基者之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。刘徽刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期2

鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作中国数学史上的“牛顿”。

刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位，成为中国传统数学理论体系的奠基者之一。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少3方田《九章算术》粟米衰分少广

商功均输

盈不足

方程

勾股《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明

以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成

方田《九章算术》粟米衰分少广商功均输盈不足4据《隋书·律历志》称：“魏陈留王景元四年（２６３）刘徽注《九章》”。他在长期精心研究《九章算术》的基础上，采用高理论，精计算，潜心为《九章》撰写注解文字。他的注解内容详细、丰富，并纠正了原书流传下来的一些错误，更有大量新颖见解，创造了许多数学原理并严加证明，然后应用于各种算法之中，成为中国传统数学理论体系的奠基者之一。如他说：“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”。又说：“析理以辞，解体用图。庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。”其精髓是言必有据。九章算术注据《隋书·律历志》称：“魏陈留王景元四年（２６３）刘徽注《5《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现刘徽集各家优秀思想方法,并加以创新而用于数学研究,使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化,并上升到了一个新的阶段,他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表,也堪称是世界数学泰斗。九章算术注《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.逻辑思想、重验6割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这可视为中国古代极限观念的佳作

徽率（徽术）157/50即3.14

刘徽的割圆术圆周率计算上的有所突破，有赖于有效方法的诞生，这种方法就是割圆术。刘徽经过深入研究，他发现圆内接正多边形边数无限增加时，多边形周长可无限逼近圆周长，从而创立了“割圆术”。

割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆7刘徽的割圆术

刘徽的割圆术8割圆术刘徽在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。

割圆术刘徽在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明9《海岛算经》

《海岛算经》是三国时代魏国数学家刘徽所著的测量学著作，原为《刘徽九章算术注》第九卷勾股章内容的延续和发展，名为《九章重差图》，附于《刘徽九章算术注》之后作为第十章。唐代将《重差》从《九章》分离出来，单独成书，按第一题“今有望海岛”，取名为《海岛算经》，是《算经十书》之一。刘徽《海岛算经》“使中国测量学达到登峰造极的地步”[1]，使“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年”（美国数学家弗兰克·斯委特兹语）[2]

《海岛算经》是中国最早的一部测量数学事着，亦为地图学提供了数学基础。《海岛算经》《海岛算经》是三国时代魏国数学家刘徽所著的测量10《海岛算经》

《海岛算经》共九问。都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论。《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的。“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸；１里＝180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。

在白撰《海岛算经》中，刘徽提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。

1望海岛2望松生山上3南望方邑4望深谷5登山望楼6南望波口7望清渊8登山望津9登山临邑《海岛算经》《海岛算经》共九问。都是用表尺重复11今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末三合。问岛高及去表各几何？答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表里数。翻译：假设测量海岛,立两根表高均为5步,前后相距1000步,令后表与前表在同一直线上,从前表退行123步,人目著地观测到岛峰,从后表退行127步,人目著地观测到岛峰,问岛高多少岛与前表相距多远？

由于前表去岛的距离不能直接测量，刘徽用同样高度的表杆前后测量，表杆与地面垂直，人眼贴地，望表杆顶和岛上山顶对齐，这时测得人眼和前表杆的水平距离叫“前表却行”DG=123步；再将表杆往后移动，两彪杆间距称为“表间”=1000步，依法测出“后表却行”FH=127步。表高=CD,前表却行=DG后表却行=FH相多=FH-DG表间=DF岛高=AB前表去岛远近=BD依法得岛高AB=CDxDF/(FH-DG)+CD前表去岛远近BD=DGxDF/(FH-DG)《中国数学大系》一书中评价《海岛算经》：“使中国测量学达到登峰造极的地步。在西欧直到16，17世纪，才出现二次测量术的记载，到18世纪，才有了三、四次测量之术，可见中国古代测量学的意境之深，功用之广”。刘徽《海岛算经》的测量术，实比欧洲早一千三百至一千五百年。今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三12总结:刘徽的数学成就一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：

①在数系理论方面

用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。

②在筹式演算理论方面

先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。

③在勾股理论方面

逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。

④在面积与体积理论方面

用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。

总结:刘徽的数学成就一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理13二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：

①割圆术与圆周率

他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。

②刘徽原理

在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。

③“牟合方盖”说

在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。

④方程新术

在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。

⑤重差术

在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。

二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项14告往知来，举一反三异辞触类而长，靡所不入出入相补，各从其类刘徽的数学学习理论告往知来，举一反三刘徽的数学学习理论15谢谢！谢谢！16的基本撒即可都不恐怖方式打发第三方士大夫阿萨德按时风高放火发给发的格式的广东省都是方式方式方式度过度过发的发的的基本撒即可都不恐怖方式打发第三方士大夫阿萨德按时风高放火17OK的十分肯定会说不够开放的时间快发红包国剧盛典冠军飞将啊所发生的方便的科级干部看电视吧高科技的设备科技发布十多年开放男可视对讲你疯了放到疯狂，饭，看过你的飞，给你，地方干部，密保卡价格不好看积分班上课的积分把控时代峻峰不看电视OK的十分肯定会说不够开放的时间快发红包国剧盛典冠军飞将啊所18刘徽制作者：林依然刘徽制作者：林依然19刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，被称为布衣数学家。中国古典数学理论的奠基者之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。刘徽刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期20

鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作中国数学史上的“牛顿”。

刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位，成为中国传统数学理论体系的奠基者之一。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少21方田《九章算术》粟米衰分少广

商功均输

盈不足

方程

勾股《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明

以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成

方田《九章算术》粟米衰分少广商功均输盈不足22据《隋书·律历志》称：“魏陈留王景元四年（２６３）刘徽注《九章》”。他在长期精心研究《九章算术》的基础上，采用高理论，精计算，潜心为《九章》撰写注解文字。他的注解内容详细、丰富，并纠正了原书流传下来的一些错误，更有大量新颖见解，创造了许多数学原理并严加证明，然后应用于各种算法之中，成为中国传统数学理论体系的奠基者之一。如他说：“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”。又说：“析理以辞，解体用图。庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。”其精髓是言必有据。九章算术注据《隋书·律历志》称：“魏陈留王景元四年（２６３）刘徽注《23《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现刘徽集各家优秀思想方法,并加以创新而用于数学研究,使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化,并上升到了一个新的阶段,他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表,也堪称是世界数学泰斗。九章算术注《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.逻辑思想、重验24割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这可视为中国古代极限观念的佳作

徽率（徽术）157/50即3.14

刘徽的割圆术圆周率计算上的有所突破，有赖于有效方法的诞生，这种方法就是割圆术。刘徽经过深入研究，他发现圆内接正多边形边数无限增加时，多边形周长可无限逼近圆周长，从而创立了“割圆术”。

割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆25刘徽的割圆术

刘徽的割圆术26割圆术刘徽在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。

割圆术刘徽在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明27《海岛算经》

《海岛算经》是三国时代魏国数学家刘徽所著的测量学著作，原为《刘徽九章算术注》第九卷勾股章内容的延续和发展，名为《九章重差图》，附于《刘徽九章算术注》之后作为第十章。唐代将《重差》从《九章》分离出来，单独成书，按第一题“今有望海岛”，取名为《海岛算经》，是《算经十书》之一。刘徽《海岛算经》“使中国测量学达到登峰造极的地步”[1]，使“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年”（美国数学家弗兰克·斯委特兹语）[2]

《海岛算经》是中国最早的一部测量数学事着，亦为地图学提供了数学基础。《海岛算经》《海岛算经》是三国时代魏国数学家刘徽所著的测量28《海岛算经》

《海岛算经》共九问。都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论。《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的。“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸；１里＝180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。

在白撰《海岛算经》中，刘徽提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。

1望海岛2望松生山上3南望方邑4望深谷5登山望楼6南望波口7望清渊8登山望津9登山临邑《海岛算经》《海岛算经》共九问。都是用表尺重复29今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末三合。问岛高及去表各几何？答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表里数。翻译：假设测量海岛,立两根表高均为5步,前后相距1000步,令后表与前表在同一直线上,从前表退行123步,人目著地观测到岛峰,从后表退行127步,人目著地观测到岛峰,问岛高多少岛与前表相距多远？

由于前表去岛的距离不能直接测量，刘徽用同样高度的表杆前后测量，表杆与地面垂直，人眼贴地，望表杆顶和岛上山顶对齐，这时测得人眼和前表杆的水平距离叫“前表却行”DG=123步；再将表杆往后移动，两彪杆间距称为“表间”=1000步，依法测出“后表却行”FH=127步。表高=CD,前表却行=DG后表却行=FH相多=FH-DG表间=DF岛高=AB前表去岛远近=BD依法得岛高AB=CDxDF/(FH-DG)+CD前表去岛远近BD=DGxDF/(FH-DG)《中国数学大系》一书中评价《海岛算经》：“使中国测量学达到登峰造极的地步。在西欧直到16，17世纪，才出现二次测量术的记载，到18世纪，才有了三、四次测量之术，可见中国古代测量学的意境之深，功用之广”。刘徽《海岛算经》的测量术，实比欧洲早一千三百至一千五百年。今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三30总结:刘徽的数学成就一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：

①在数系理论方面

用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。

②在筹式演算理论方面

先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。

③在勾股理论方面

逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。

④在面积与体积理论方面

用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。

总结:刘徽的数学成就一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理31二是在继承的基础