圆锥曲线测试A卷

第二章A卷A1圆锥曲线【名师点金】1．能分析动点所满足的几何条件，根据动点满足的条件指定动点的轨迹图形，会用椭圆、双曲线和抛物线的定义判定曲线的形状。2．利用运动变化的观点思考解决问题，利用数学研究运动变化的现实世界，运用画图操作探究与椭圆、双曲线、抛物线定义相近的点的轨迹。【双基再现】1．★已知点，且有，则点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．线段D．两射线2．★一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处晚，则爆炸点所在曲线为（）A．椭圆B．双曲线C．线段D．圆3．★若的周长为16，且，则顶点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线4．★★已知定直线和的一定点，过点且与相切的圆的圆心的轨迹是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．直线5．★已知双曲线的两个焦点为，则双曲线的焦距为。6．★★★点与点的距离比它到直线的距离小1，求点的轨迹。【变式教学】7．★★★（教材习题2。1第1题的变式）已知中，，，成等差数列，求点的轨迹。8．★★★（教材P22练习2的变式）已知定点和定直线，动圆过且与直线相切，求圆心的轨迹。【实践演练】9．★★★已知以为圆心、半径为的一个圆内有一个定点且，如果圆过定点且与圆相切，求圆心的轨迹。10．★★★是两个定点，以为一条底边作梯形，使的长为定值，与的长之和也是定值，则点的轨迹是什么曲线？A2椭圆的标准方程【名师点金】1．掌握由椭圆定义推导标准方程的方法，在推导过程中学会解析几何运算中整体运算和字母轮换的运算方法，提高运算能力和准确性。2．要记牢椭圆的标准方程，知道椭圆的方程形式因焦点的位置不同而不同，知晓标准方程中的字母的具体含义，并能熟练将其与椭圆的图形中的线段相对应。3．会根据题意用常用的直接法的待定系数法求椭圆的标准方程，对于焦点位置不明的椭圆，可设其方程为来避免讨论。【双基再现】1．★焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．2．★若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．★方程表示的曲线是（）A．到定点的距离之和等于的点的轨迹B．到定点的距离之和等于的点的轨迹C．到定点的距离之和等于的点的轨迹D．到定点的距离之和等于的点的轨迹。4．★★若椭圆经过点，，其焦点在轴上，则该椭圆的标准方程为。5．★★设是椭圆上的一个点，是椭圆的焦点，如果点到点的距离是，那么点到点的距离是。6．★★★椭圆的焦距为，则=。【变式教学】7．★★★（教材P25例2变式）将圆上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程。8．★★★（教材P26练习2（3）变式）已知椭圆的两焦点为和，并且过点，求椭圆的方程。【实践演练】9．★★★已知椭圆经过点，，求椭圆的标准方程。10．★★★求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。A3椭圆的标准方程【名师点金】1．进一步熟悉椭圆的标准方程，从标准方程中得出长轴长、短轴长和焦距时，要注意与半长轴长、半短轴长及半焦距区分。3．在求椭圆的标准方程时，常用的是方程组思想，即两个方程解两个求知数，所以要能从题目所组的条件中列出两个关于的等式是解题的关键。【双基再现】1．★椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是（）A．B．C．D．2．★已知两椭圆与的焦距相等，则的值为（）A．B．C．D．3．★如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．4．★已知椭圆的两焦点为，为短轴的一个端点，则的外接圆的方程是。5．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为。6．★★已知椭圆的左焦点到直线的距离为，求椭圆的方程。【变式教学】7．★（教材P26练习2的变式）求下列椭圆的焦距。（1）；（2）。8．★★（教材P26习题2。2练习4的变式）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围。【实践演练】9．★★★已知椭圆的长轴是短轴的倍，且过点，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程。10．★★★已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两个焦点的距离分别为和，过作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。A4椭圆的几何性质【名师点金】1．掌握椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点等)，熟练掌握两种不同形式的方程的几何性质的不同之处和相同之处。2．离心率：，越接近于时椭圆越接近于圆，越接近于时，椭圆越扁。3．注意灵活运用椭圆的几何性质。【双基再现】1．★一个椭圆的半焦距为，离心率，那么它的短轴长是（）A．B．C．D．2．★若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为，离心率为，则该椭圆的方程为（）A．B．或C．D．或3．★若椭圆的离心率为，则的值是（）A．B．C．D．4．★从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．★★椭圆与椭圆具有相同的（）A．长轴长B．离心率C．顶点D．焦点6．★★求椭圆的长轴长和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标及准线方程。【变式教学】7．★★★（教材P30练习3（1）的变式）椭圆比椭圆焦点在轴上的椭圆更接近于圆，求的范围。8．★★★（教材P30练习4的变式）设是椭圆的一个焦点，是短轴，，求这个椭圆的离心率。【实践演练】9．★★★设是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值。10．★★★设椭圆中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并椭圆上到点的距离等于的点的坐标。A5椭圆的几何性质【名师点金】1．直线与椭圆的位置关系的问题，可以通过讨论椭圆和直线联立的方程组实数根的个数来确定。2．直线与椭圆相交，设两交点分别为，则直线被椭圆截得的弦长。2．进一步掌握椭圆的性质进而达到灵活运用的程度【双基再现】1．★给定四条曲线:①；②；③；④。其中与直线仅有一个交点的直线是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④2．★已知直线和椭圆有两个公共点，则的取值范围（）A．B．C．D．3．★设是椭圆的两个焦点，=，弦过点，则的周长为（）A．B．C．D．4．★★已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．★★已知斜率为的直线过椭圆的焦点，且与椭圆交于两点，则线段的长是。6．★★已知椭圆的焦点分别为和，长轴长为，设直线交椭圆于两点，求线段的中点坐标。【变式教学】7．★★★（教材P31思考与运用9题的变式）已知圆柱的底面半径为，与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为。8．★★★（教材P31思考与运用10变式）已知点与椭圆的左焦点和右焦点的距离之比为，求点的轨迹方程。【实践演练】9．★★★已知直线交椭圆于、两点，椭圆与轴正半轴交于点，的重心恰好在椭圆的右焦点上，求直线的方程。10．★★★分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，求的值。A6双曲线的标准方程【名师点金】1．掌握双曲线的标准方程的推导方法，进一步熟悉双曲线的定义及应用。2．应当牢记双曲线的标准方程，熟悉标准方程中的含义以及它们之间的关系，并注意与椭圆相区别。【双基再现】1．★“”是方程表示双曲线的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．★已知双曲线方程是，那么它的焦距是（）A．B．C．D．3．★★若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A．B．C．D．4．★★已知双曲线的焦点分别为、，且经过点，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．5．★★已知双曲线的焦点在轴上，且，，则它的标准方程为。6．★★根据下列条件，求双曲线的标准方程。（1）与双曲线有公共焦点，且过点；（2）经过点和点【变式教学】7．★★（教材P34练习3的变式）已知双曲线的一个焦点为，求的值。8．★★（教材P34习题2。3练习5的变式）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，求的范围。【实践演练】9．★★已知双曲线的一个焦点坐标为，双曲线上一点到的距离的差的绝对值等于，求双曲线的标准方程。10．★★已知椭圆的标准方程为：，一个过点的双曲线的长轴的端点为椭圆的焦点，求双曲线的标准方程。A7双曲线的标准方程【名师点金】1．求双曲线的标准方程的方法主要有：定义法和待定系数法，其中定义法要紧扣两个定义；面待定系数法主要用的是方程组的思想，关键是找到关于的等量关系。2．在求双曲线标准方程的过程中，焦点的位置决定了双曲线的标准方程的类型，如果知道焦点的位置，或能够根据已知条件确定焦点在哪个坐标轴上，则双曲线的标准方程只有一种形式；如果不知道焦点的位置，则要分类讨论，也可设方程的形式为来避免讨论。【双基再现】1．★已知双曲线的焦点为，弦过且在双曲线的一支上，若，则等于（）A．B．C．D．不能确定2．★平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于的点的轨迹是（）A．B．C．D．3．★若，则关于的方程所表示的曲线是（）A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的椭圆C．焦点在轴上的双曲线D．焦点在轴上的双曲线4．★双曲线上一点到点的距离为，那么该点到的距离为（）A．B．C．D．5．★★（2022年江苏省高考题）已知双曲线中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A．B．C．D．6．★★求以椭圆的两顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程。【变式教学】7．★★★（教材P34习题2。3练习3的变式）椭圆与双曲线且有相同的焦点，求值。8．★★★（教材P34习题2。3练习4的变式）求过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的方程。【实践演练】9．★★★★已知直线与标准型双曲线交于两点，点与构成以为斜边的等腰直角三角形，求双曲线的方程。10．★★★★给出问题：设是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，点到焦点的距离等于，求点到的距离，某同学的解答如下：双曲线的实轴长为，由即，得。试问该同学的解答是否正确？若正确，请说明依据，若不正确，请说明理由。A8双曲线的几何性质1【名师点金】1．熟记双曲线的几何性质，结合图形，熟练掌握焦点在轴上的双曲线的几何性质，另一种形式的方程的双曲线的几何性质与第一种类似，只需将性质中含有的地方换成，换成即可。双曲线的几何性质与椭圆有相似的地方，可以在对比中进行学习。2．共渐近线的双曲线是以为渐近线的双曲线，它的方程可写成，用这一形式可简化过程。【双基再现】1．★双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．2．★★如果双曲线经过点，渐近线的方程为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．3．★★已知是双曲线的左焦点，是双曲线上第三象限内的任意一点，则斜率的取值范围是（）A．B．C．D．4．★★★已知是双曲线的两个焦点，是过点且垂直于实轴所在直线的双曲线的弦，，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．★★★若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为。6．★★★已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。（1）求此双曲线的方程；（2）若点在双曲线上，求证：。【变式教学】7．★★（教材P39习题2。3练习2（1）的变式）求焦距为，的双曲线的标准方程。8．★★（教材P39习题2。3练习3的变式）已知的双曲线与椭圆有相同焦点，求双曲线的方程。【实践演练】9．★★★过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求此双曲线的离心率。10．★★★设点到点的距离之差为，到轴的距离与到轴的距离之比为，求的取值范围。A9双曲线的几何性质2【名师点金】1．直线与双曲线的位置关系，在二次项系数不为的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，不同的是：直线与双曲线只有一个公共点时不一定相切。2．要注意，数形结合是很好的数学方法，图形能提供思路方法，但不具有严密性，解析几何是用代数研究几何图形的性质，要用严格的推理运算。【双基再现】1．★★直线与曲线相交于两点，则直线的倾斜角的范围是（）A．B．C．D．2．★★直线与双曲线只有一个公共点，则的值有（）A．个B．个C．个D．无数多个3．★★★给出下列曲线：①；②；③；④。其中与直线有交点的所有曲线是（）A．①③B．②④C．①②③D．②③④4．★★★设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（）A．B．C．D．5．★★★过原点与双曲线交于两点的直线的斜率的取值范围是。6．★★★★直线与双曲线的左支交于两点，另一直线过点和的中点，求直线在轴上的截距的取值范围。【变式教学】7．★★（教材P39习题2。3练习6的变式）求经过点且的双曲线的标准方程。8．★★★★（教材P39习题2。3练习7的变式）试证明：椭圆与曲线有相同的焦点。【实践演练】9．★★★过点的直线交双曲线于两个不同的点，是坐标原点，直线与的斜率之和为，求直线的方程。10．★★★已知双曲线的两条渐近线都过坐标原点，且都与以点为圆心，为半径的圆相切，又该双曲线的一个顶点是点关于直线的对称点。（1）求此双曲线的方程；（2）若直线过点，且与直线垂直，在双曲线上求一点，使到此直线的距离为。A10抛物线的标准方程1【名师点金】1．熟练掌握四种形式的抛物线的标准方程，会根据方程判别抛物线的焦点的位置，体验数形结合的记忆方法，结合图形记住焦点所在位置对应的标准方程，熟悉其中字母的含义：焦点到准线的距离。2．求抛物线的标准方程常用的是方法是待定系数法或轨迹法，为避免开口不一定而分成或两种情况求解的麻烦，可以改成或。【双基再现】1．★抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．2．★★顶点在原点，焦点在轴上，且过点的抛物线的方程是（）A．B．C．D．3．★★经过点的抛物线的标准方程是（）A．B．或C．D．4．★★★动点到直线的距离减去它到的距离的差等于，则点的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．★★抛物线的弦垂直于轴，若的长为，则焦点到的距离为。6．★★★求分别满足下列条件的抛物线的方程。（1）过点；（2）焦点在。【变式教学】7．★★（教材P42练习1（1）的变式）求抛物线的焦点坐标和准线方程。8．★★★（教材P42练习3变式）求过点的抛物线的标准方程。【实践演练】9．★★★已知抛物线方程的焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为，求抛物线的标准方程和的值。10．★★★直角三角形的三个顶点在抛物线上，直角顶点为原点，所在直线的方程为，斜边长为，求抛物线的方程。A11抛物线的标准方程2【名师点金】1．学习中应当注意总结出图形与方程及焦点的对应规律，抛物线的标准方程二次项系数为，方程的另一端一次项的系数是或，焦点在一次项字母对应的轴上，一次项系数为正，在正半轴；一次项系数为负，在负半轴。准线在原点的另一侧，图形开口将焦点包含在内。2．抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，为。其它类似。【双基再现】1．★抛物线顶点在坐标原点，焦点在轴上，其上一点到焦点的距离为，则抛物线的方程为（）A．B．C．D．2．★★过抛物线的焦点作直线交抛物线于，如果，那么等于（）A．B．C．D．3．★★是抛物线上任意一点，点到焦点的距离是（）A．B．C．D．4．★★是抛物线上一点，若到焦点的距离为，那么点的坐标为。5．★★若是抛物线的焦点，点的坐标是，点在抛物线上运动，当最小时，点的坐标是。6．★★★已知抛物线的焦点落在轴上，且截直线所得弦长为，求此抛物线的标准方程。【变式教学】7．★★★（教材P42练习2的变式）求抛物线的焦点坐标。8．★★★（教材P42练习4（4）的变式）若抛物线的焦点到准线的距离为，求抛物线的方程。【实践演练】9．★★★★抛物线的顶点在原点，其准线过双曲线的一个焦点，又若抛物线与双曲线相交于点，，求此两曲线方程。10．是抛物线上垂直于轴的一条弦，是抛物线上一点，直线与轴交于点，过的直线交轴于，求证：抛物线的顶点平分线段。A12抛物线的几何性质1【名师点金】1．在学习中要能够熟练掌握抛物线标准方程形式下抛物线的焦点、准线的方程，掌握直线与抛物线的位置关系的判断，能够解决相关弦中心、弦长、弦解等问题的解法；2．抛物线上的点到焦点的距离称为焦半径，在解题中常常根据定义转化为到准线的距离，转化成点到直线的距离，这往往能使运算简便；3．直线与抛物线的位置关系问题和椭圆及双曲线相比，有相同的地方，但也有不同的，如焦点弦问题，可灵活地运用定义加以解决，而不一定用两点间距离来求。【双基再现】1．★是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则=（）A．B．C．D．2．★★抛物线上到直线的距离最短的点的坐标是（）A．B．C．D．3．★★★设顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上的一点到焦点的距离为，则的值为（）A．B．C．D．4．★抛物线的焦点到准线的距离是（）A．B．C．D．5．★★★已知抛物线的一条弦，，所在的直线与轴交于点，则=。6．★★★已知抛物线，过点引一弦，使它恰好在点被平分，求这条弦所在的直线的方程。【变式教学】7．★★（教材P44练习1（2）的变式）抛物线的顶点在原点，准线方程是，求抛物线的方程。8．★★（教材P44练习2的变式）抛物线上一点到焦点的距离为，求该点的坐标。【实践演练】9．抛物线顶点在原点，以轴为对称轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为，求抛物线的方程。10．过点的直线与抛物线交于两点，若线段中点的横坐标为，求。A13抛物线的几何性质2【名师点金】1．在解决与抛物线相关的最值问题时，常用的方法有几何法和代数法，几何法是利用定义结合图形来解决，常常会用到三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，折线长大于线段的长等等。而代数法是指把要求的量写成某个变量的函数式，然后将之转化为函数的最值问题；2．在求范围问题时也有以下几个常用解决方法：数与形相结合（几何）、判别式法、函数求最值的方法。【双基再现】1．★★过点作直线，使它与抛物线有且只有一个公共点，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条2．★★设点A为抛物线上一点，点B的坐标为，且，则点的横坐标的值为（）A．B．C．D．3．★★已知点是抛物线上一动点，点在轴上的投影是，点的坐标是，则的最小值是（）A．B．C．D．4．★★★已知点是抛物线上一点，点到抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）A．B．C．D．5．★★★抛物线上的点到直线的距离的最小值是。6．★★★★已知抛物线的一个内接三角形的一顶点在原点，三条高线都通过抛物线的焦点，求这个三角形的外接圆的方程。【变式教学】7．★★（教材P44习题2。4练习2的变式）抛物线上一点到焦点的距离为，求该点的坐标。8．★★★经过抛物线的焦点作一直线，和抛物线相交于，求的长。【实践演练】9．设点求抛物线上的点到点的距离的最小值。10．设为抛物线上位于轴两侧的两点。（1）若，证明直线恒过一个定点；（2）若，为钝角，求直线在轴上截距的取值范围。A14圆锥曲线的共同性质1【名师点金】1．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义：平面内到一个定点和到一直线的距离之比等于常数的点的轨迹。当时，轨迹是椭圆；当时，轨迹是抛物线；当时，轨迹是双曲线。其中定点称为焦点，定直线称为准线，常数称为离心率。2．椭圆、双曲线和抛物线三者统一定义中出现了点与点之间的距离和点和线之间的距离，但平时在解题时可能并不是直接给出的，有时要经过适当的变形整理后才能发现，这需要对两点间距离公式和点到直线的距离公式的格式相当熟悉。【双基再现】1．★★平面上到定点和到定直线的距离相等的点的轨迹为（）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆2．★★★已知动点的坐标满足，则动点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对3．★★为定直线外一定点，以为焦点，为相应准线的椭圆有（）A．个B．2个C．3个D．无数个4．★★★椭圆上一点到其左准线的距离为，那么点到该椭圆右焦点的距离是（）A．15B．12C．10D．85．★★★设为抛物线上任一点，为焦点，则以为直径的圆与轴的位置关系是。6．★★★椭圆的离心率为，长轴长为，在椭圆上有一点到左准线的距离为，求点到右准线的距离。【变式教学】7．★★★（教材P45例1的变式）已知点到定点的距离与它到直线的距离之比为常数，求点的轨迹。8．★★★（教材P46练习（1）的变式）求的准线方程。【实践演练】9．★★★若双曲线的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求离心率的取值范围。10．★★★已知为双曲线右支上一点，分别为左右焦点，若，试求点的坐标。A15圆锥曲线共同的性质2【名师点金】1．在熟练掌握圆锥曲线的共同性质的同时也要注意它们的区别：椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在轴上的椭圆或双曲线，准线方程便是，中心在原点，焦点在轴上的椭圆和双曲线的准线方程是。2．在熟练掌握共同性质的基础上，要能利用它将曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化，即会求圆锥曲线的焦半径，由于焦半径对椭圆、双曲线、抛物线各不相同，即使是一种圆锥曲线，因焦点的位置不同形式也不同，所以不要死记，要有应用中推导。3．解题中要重视数形结合思想的运用。【双基再现】1．★如果椭圆的两条准线之间的距离是这个椭圆焦距的两倍，那么这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2．★★中心在原点，准线为，离心率为的椭圆的方程为（）A．B．C．D．3．★★若双曲线的一条准线恰好是圆的一条切线，则等于（）A．B．C．D．4．与★★椭圆有相同的准线，且离心率为的双曲线的方程为（）A．B．C．D．5．★★★椭圆的焦距为，准线之间的距离是，则椭圆的标准方程是。6．★★★设是椭圆的一个焦点，相应准线为，离心率为。（1）求椭圆的方程；（2）求过另一焦点且倾斜角为的直线被曲线所截得的弦长。【变式教学】7．★★（教材P46练习（2）的变式）求曲线的离心率。8．★★★（教材P47习题2（5）的变式）求的焦点坐标、离心率和准线方程。【实践演练】9．★★★已知椭圆，能否在椭圆上位于轴左侧的部分找到一点，使其到左准线的距离为点到两个焦点的距离的等比中项？说明理由。10．★★★★在双曲线的一支上有不同的三点，它们与点的距离依次成等差数列。（1）求的值；（2）求证：线段的垂直平分线经过某一定点，并求出定点的坐标。答案部分A11、解析：∵=，∴点在线段上，所以选2、解析：由题意炮弹所在的点到点的距离减去它到点的距离的差是与声音速度的积，是个定值，∴爆炸点所在的曲线为双曲线。选B。3、解析：∵的周长为16，∴，又∵，∴，即点到两定点的距离为定值（），符合椭圆的定义，故选B。4、解析：∵圆与直线相切且过点，设圆心为，则到直线的距离和到定点的距离都等于圆的半径，即到一定点与到一定直线的距离相等，符合抛物线的定义，故选A。5、解析：∵两焦点之间的距离称为双曲线的焦距，∴双曲线的焦距为。故填：。6、解析：由题意，∵点与点的距离比它到直线的距离小1，∴点到点与它到直线的距离相等，按照抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线。7、解析：∵，且成等差数列，∴，又∵，∴，即点到两定点和的距离之和为一定值，且这个定值大于和的距离，∴根据椭圆的定义，点的轨迹是一个椭圆，但是由于当三点在一条直线上时，不能构成三角形，∴点的轨迹是一个以，为焦点的椭圆，但要去除掉两个点。名师点金：原题是证明点在椭圆上运动，而变式是求点的轨迹，两者解法一致，均采用设点的坐标后利用圆锥曲线的定义得到点的轨迹为一椭圆，两者只是在题型上有所区别。8、解析：此题应分两种情况讨论：①当点在直线上时，这样的点是不存在的；②当点不在直线上时，根据抛物线的定义，点的轨迹是一条抛物线。名师点金：动圆过点，所以等于半径，另外，直线与圆相切，故到直线的距离等于半径，所以到的距离与到直线的距离相等，且点不在直线上，这符合抛物线的定义，但在此变式中要注意判别定点与定直线的位置关系。9、解析：∵，设切点为，则由题意，得，又∵，∴点的轨迹是以为焦点的椭圆。10、解析：在上截取，为平行四边形，，和的长度和为定值，即到的距离之和为定值，且，∴点的轨迹是椭圆。A21、解析：显然，此题中并没有讲明椭圆的焦点在哪个轴上，题中也没有条件能够得出相应的信息，所以本题中椭圆的标准方程应有两种情况，所以可以先排除选项和，又由于，，∴，所以选D。2、解析：∵方程表示焦点在轴上的椭圆，将方程改写为，∴有，解得：，故选。3、解析：从方程可以看出，这是一个椭圆的标准方程。它的焦点在轴上，，∴，∴焦点的坐标应为，排除，，，∴选D。4、解析：∵椭圆的焦点在轴上，∴可设方程为，又∵，∴，而椭圆过点，把点的坐标代入，得，∴，故椭圆的标准方程是。5、解析：由椭圆的定义可知：，又∵，∴。填。6、解析：焦点在轴上时，∵，，由，得，∴，得，焦点在轴上时，∵，，由由，得，∴，得，综上得：。7、解：设所得曲线上任一点坐标为，圆上的对应点的坐标为，则由题意可得，因为，所以，即。这就是变换后所得的曲线的方程，它表示一个椭圆。名师点金：原题是保持横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，所得的是焦点在轴上的椭圆，变式中保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，所得的是焦点在轴上的椭圆，另外，本题的变式还有很多，如：横坐标与纵坐标同时缩小、同时扩大及一个缩小而另一个扩大等。8、解析：由题意，椭圆的焦点在轴上，可设其方程为，焦点为和，∴，∴，∴椭圆方程可改写为，把点的坐标代入后解得：，∴，∴椭圆的方程为：。名师点金：把原题中的焦点在轴上换成了焦点在轴上并将这一条件与焦距为合写成一个条件：两焦点为和，再通过代入一点得出椭圆的方程。虽然两者的本质都是利用待定系数法求椭圆的方程，但是变式对能力的要求更高。9、解析：不能确定椭圆的焦点在哪个轴上，若焦点在轴上，可设方程为，将点，分别代入方程得，看成是和的二元一次方程组，解得，椭圆方程为，若焦点在轴上，可设方程为，把两点的坐标代入后同样可以得到（舍去），∴所求椭圆的方程为：。10、解析：椭圆可先化为：，焦点为、，且过点，而点到、的距离之和为：==，∴，，，椭圆方程为。A31、解析：的周长为，而，∴=，又∵两点都在椭圆上，∵由椭圆的定义得：==，故选A。2、解析：先将化为标准方程：，∴焦点坐标为：和，∴焦距为，，①若焦点在轴上，则，∴，，解得；②若焦点在轴上，则，∴，，解得：。综上，或。3、解析：先将椭圆方程化为标准形式：，∵椭圆的焦点在轴上，∴有：，解得：。4、解析：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴的外接圆的圆心就是原点，半径为，∴的外接圆的方程为：。5、解析：设，，则---①；又为直角三角形，∴，又∵，∴，∴---②；由①和②解得：，∴。6、解析：椭圆方程可化为：，，∴左焦点为，由解得：，∴所求的椭圆方程为。7、解析：（1）∵，，∴，∴，即的焦距为。（2）由得，∵，∴，即，∴，即的焦距为。名师点金：与原题相比，变式要求的是焦距（即），变式的目的是为了帮助区分焦距和焦点坐标及半焦距。8、解析：由题意得，∴，解得。名师点金：与原题中的焦点在轴上相比，变式中焦点在轴上，相应地求得的的范围发生了变化，另外，本题也可以改成：方程表示椭圆，求的范围，则相应地应分两种情况，所得的的范围恰好是原题的解集与变式解集的并集。9、解析：解法一：若椭圆的焦点在轴上，设方程为由题意得：，解得，∴椭圆方程为；若焦点在轴上，设方程为，由题意得：，解得，∴椭圆的方程为，综上得：椭圆的方程为：或。解法二：设椭圆的方程为：，则由题意得：或，解得：或，所以椭圆的方程为：或。10、解析：设两焦点为，且，，由椭圆的定义知：，∴。∵，∴由题意知为直角三角形，在中，，∴，∴，∴，∴。因为焦点可以在轴上，也可能在轴上，∵椭圆的方程为或。A41、解析：,∴,∴,∴,∴短轴长为。(此题要注意：短轴长为，是半短轴长)。2、解析：此题没有表明焦点位置，所以必有两解，排除，又长轴长为，∴，∴，故选。3、解析：此题没有表明焦点位置，故必有两解，排除，若，则，此时，，∴，∴，再排除，故选。4、解析：由题意得：，∴，∴，∴，即，∴，∴。∴选。5、解析：∵，不妨设，∴，，∴，与前者相同，∴选。6、解析：把已知方程化为标准方程，这里，，因此椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，焦点坐标为，，椭圆的四个顶点为，，，，准线方程为：。7、解析：由于是焦点在轴上的椭圆，∴①，又将化为标准方程得：，∴，∴，又在椭圆中，，，，∴，由于椭圆比椭圆焦点在轴上的椭圆更接近于圆，∴，即，解得：。名师点金：原题可以通过画简图来进行辨别，也可以通过离心率来比较，而变式是利用离心率的大小来求参数的范围，在求解的过程中还要特别注意作为椭圆，对也有限制，故变式是一个新颖的好题，当然也可以这样来变：直接给出两者的离心率的关系，求的范围而不用“更接近于圆”这一说法，其实质是一样的。8、解析：由题意得，∴，解得：。名师点金：原题实际上是变式的特殊情况。变式中的解法是利用来求解的，其实也可以直接利用余弦定理来求解：∵，从而求解出的值。另外还可以利用、和短轴的端点形成角，从而求离心率，其做法是类似的。9、解析：由定义得①，由三角形的性质②，当、、共线时取“=”号，①+②得，∴，同样，，设，，==，当时，最大为，当时，最小，为。10、解析：设所求椭圆方程为，由得①，设椭圆上任一点的坐标为，点到点的距离为，则，且=，其中。如果，则当时，取得最大值，解得（舍去），如果，则当时，取得最大值=，解得：，由可得椭圆上到点的距离等于的点为。A51、解析：首先：①为圆，圆到直线：的距离为=，∴①与有一个交点，排除；再由消得：，，∴②与有两个公共点，排除，故选。2、解析：由消得，由得，∴，∴或，故选。3、解析：∵，∴，，∴，的周长为，故选。4、解析：∵，，再由椭圆的定义知：，∴，又，而，设所对的角为，则，∴，故为直角三角形。∴选。5、解析：，，，，，，不妨设过右焦点，则，由消得：，∴=，∴=。6、解析：设椭圆的方程为：，由题意得：，于是，所以椭圆的方程为：，由得，因为二次方程的差别式，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设，，则，，故线段的中点坐标为。7、解析：设椭圆的长轴长为，短轴长为，则，∴，又，∴，∴，∴，∴。名师点金：变式以与底面成角的平面取代了原题中与底面成角的平面，两者的解法是一致的，另外，本题的一般形式是：圆柱的底面半径为，与圆柱的底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则椭圆的离心率为。8、解析：由知：两焦点的坐标分别为：，设，则由题意知：，即，化简得：，这就是点的轨迹方程。名师点金：原题和变式可以合写为：已知点与点，的距离之比为一定值，求点的轨迹方程，这里要分开进行讨论。9、解析：椭圆化为，椭圆与轴交于点，右焦点为，设中点为，为三角形BMN的重心，则，即，∴，∴为的中点，设，，则，两式相减得：=，∴直线的方程为，代入椭圆方程，经检验得，∴直线的方程为。10、解析：设，由是正三角形，知点的坐标为。∴，∴，所以。又点在椭圆上，∴，即。∴，又，∴，即。∴。A61、解析：当但是时，方程不表示双曲线，而若表示双曲线，则，∴，∵，又∵，∴是表示双曲线的必要不充分条件，故选。2、解析：，，∴，∴，∴，故双曲线的焦距为，故选3、解析：∵方程表示双曲线，∴，∴，解得，故选。4、解析：，又点到和的距离之差的绝对值为，∴=，∴，∴，又焦点在轴上，∴双曲线的方程为。故选。5、解析：∵双曲线的焦点在轴上，∴可设其方程为，∵，∴，∴，解得，∴，∴双曲线的方程为。6、解析：（1）方法一：双曲线的焦点为，==，∴，，方程为，方法二：∵焦点为，，只须，，因此可设双曲线的方程为，将点代入得或，将舍去，所以所求方程为。（2）方法一：若焦点在轴上，设方程为①，将点的坐标代入方程解得（舍去）。若焦点在轴上，设方程为②，将点的坐标代入方程解得，∴所求双曲线的方程为：。方法二：设所求双曲线的方程为：，将点的坐标代入方程得：，∴所求双曲线的方程为：。7、解析：∵焦点在轴上，由得，∴，∴，，∴，∴。名师点金：由原来的焦点在轴上变为变式中的焦点在轴上，同时题型也由原来的选择变为现在的解答题。此时要注意的是：题中的隐含条件使得，从而利用解出的值，另外，本题若改成半焦距为，则结果应有两种情况，即焦点在轴上和焦点在轴上的两种情况。8、解析：由题意得得。名师点金：与原题相比，变式在难度上有所降低，原题应有两种情况：焦点在轴和焦点在轴上的情况，而变式只有一种情况，另外，本题也可以改为：方程表示椭圆，求的取值范围。这时除了外，还应当注意到。9、解析：∵双曲线的焦点在轴上，所在设双曲线的方程为：，∵，，∴，∴，∴所求双曲线的方程为：。10、解析：方法一：由椭圆的标准方程为知：椭圆的长轴端点为和，所以，双曲线的焦点为，焦点在轴上且。设所求双曲线的标准方程为：，由双曲线的定义知，，∴=。∴，又，∴，。∴双曲线的标准方程。方法二：由椭圆的标准方程是，知椭圆长轴的端点为和，所以，双曲线的焦点为，焦点在轴上且。设双曲线的标准方程为：，又双曲线过点，∴，∴，∴，∴。又，∴舍去，∴，∴双曲线的标准方程。A71、解析：由双曲线的定义得,，两式相加得：，∴，又∵，∴，故选。2、解析：符合双曲线的定义，，∴，∴，又焦点在轴上，∴双曲线的方程为，故选。3、解析：法一：可以考虑用特殊值：∵，取，得，即，为焦点在轴上的双曲线，故选。法二：将方程化成，∵，∴，，∴方程表示的是焦点在轴上的双曲线。4、解析：∴，又焦点在轴上，∴焦点为，，∴，∴或，∴或。故选。5、解析：设双曲线方程为：，依题意得：。∴方程可化为：。由得。设，则。∵，∴，解得，故所求的双曲线方程为，∴选D。6、解析：椭圆的焦点为，，顶点、，，∴，而，∴，，故所求的双曲线的方程为。7、解析：由得，焦点在轴上，∴，，∴。名师点金：由原来的证明两曲线有相同的焦点转变为已知两曲线有个同的焦点，反过来求曲线中的参数，两者的难度是相当的，变式中由于双曲线的焦点位置确定，因而椭圆的焦点也随之确定，因而只有一种情况，若将两曲线有相同的焦点改为两曲线有相同的焦距，则就应当分两种情况进行讨论了。8、解析：由得，∴，，焦点，设双曲线方程为，则，解得，∴双曲线的方程为。名师点金：由于椭圆是中心对称图形，故变式与原题实际上是一样的。此题的另一种变式是把“具有相同的焦点”改成“具有相同的焦距”，此时应考虑到两种情况。9、解析：由题意得：两点在以为圆心，为半经的圆上，到的距离=。从而半径，圆的方程为。由得或。所以。设双曲线的方程为，把两点的坐标代入得：，∴。所以所求的双曲线的方程为：。10、解析：由定义，双曲线中，，，∴，当在同一直线上时取得“=”号，由得，在双曲线的左右支上时，，同理，，因此，根本不可能为，而只能为。A81、解析：将双曲线化为，以0代替1得：，即，即。故选。2、解析：∵双曲线的渐近线方程为，∴可设双曲线的方程为，。又双曲线过点，把点的坐标代入得，∴，∴双曲线的方程为，故选。3、解析：显然当时，点在轴上，不合题意，∴，这样可以排除，又时，点出现在第二象限，∴，排除，再取，符合题意，∴或，故选。4、解析：不妨设双曲线的方程为，令得，∴，又，而，∴，∴，∴，∴，两边同时除以得，∴，又∵，∴，∴，故选。5、解析：此题要分两种情况讨论：①焦点在轴上时，，以0代替1得：，∴，∴，∴，∴，∴；②焦点在轴上时，，以0代替1得：，∴，∴，∴，∴，∴，故填或。6、解析：（1）由离心率得，，设双曲线方程为，将代入得，∴此双曲线的方程为。（2）将代入双曲线方程，得，则。∴。7、解析：，∴，∴，当焦点在轴上时，方程为；当焦点在轴上时，方程为。名师点金：与原题相比，变式中少了“焦点在轴上”这一条件，所以应分焦点在轴和轴上两种情况展开讨论，变式的目的是要培养思维的严密性。另外，值得注意的是：原题与变式中都是给出焦距（即），要避免把焦距直接当成，从而出错。8、解析：由得，∴椭圆焦点（也就是双曲线的焦点）为，又，∴，∴，又焦点在轴上，∴双曲线的方程为。名师点金：改变了原题中焦点在上的椭圆为变式中的焦点在轴上的椭圆，解答的方法并没有区别，本题还可以改变为：已知离心率为的双曲线与椭圆有相同的顶点，求双曲线的方程。此时应有两种情况，也可以改成：求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程。9、解析：双曲线左焦点的坐标为，将代入双曲线的方程，同两点的坐标分别为，则半径为=，又以为直径的圆过右顶点，故半径为，即，∴，∴，∴，即，又，∴。10、解析：设，依题意得，即，---①，因此，点，三点不共线，得，∵，∴，因此点在以为焦点，实轴长为的双曲线上，故----②，将①式代入②式，解得，因为，所以，所以，所以的取值范围是：。A91、解析：由消去得，∵直线与相交于不同两点，设，则，即，解得，∴，∴直线的倾斜角的范围是，故选。2、解析：恒过点，即过右顶点，平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，又过点可以作双曲线的一条切线，∴这样的直线共有条。3、解析：与平行，∴①与没有公共点，排除项，观察项，发现只要验证③即可。由，消得，，∴③与有一个公共点，∴选。4、解析：设，∵，，∴，∵，∴，又在双曲线上，由定义知：，∴，∴，，故选。5、解析：将双曲线化为，∴渐近线的斜率为，∴。（注：此题若焦点在轴上，则应为两斜率之间。）6、解析：由方程组消去得：---①，设两点的坐标分别为和，由于直线与双曲线的左支交于，则方程①应有两个不大于的不等实数根，∵，则必有，故只须，∴即，又的中点为，所以直线的方程是，即，令得直线在轴上的截距为，又∵，∴。7、解析：∵，∴，又双曲线过点，∴双曲线的焦点在轴上，设其方程为（），则，∴，∴双曲线的标准方程为。名师点金：此题的答案与变式的答案是相同的，变式的目的是帮助掌握等轴双曲线的离心率为，另外，本题若改为：求经过点且两渐近线相互垂直的双曲线的方程，结果仍是一样的。8、解析：证明：当时，表示焦点在轴上的双曲线，，∴与椭圆有相同的焦点；当时，表示焦点在轴上的椭圆，，，∴，此时曲线也与有相同的焦点，综上，曲线与有相同的焦点。名师点金：原题为选择题，可以用特殊值进行验证：取得曲线，先排除，又由，，∴，故，排除，故选。但是变式为证明题，因而难度有所增大，另外变式中，随的值的不同，曲线可能为椭圆，也可能为双曲线，所以应当分情况进行讨论。9、解析：设直线的方程为代入中可得，当时，设，则，，又，∴，∴，于是有，解得，并验证这个结果是符合的约束的，∴直线的方程为。10、解析：（1）设双曲线的渐近线为，即，则，解得，故渐近线的方程为，关于直线的对称点为，是双曲线的一个顶点，故所求双曲线为。（2）直线的方程为，即，故所求点的坐标由决定，解得或。A101、解析：由得，焦点应在轴的负半轴上，故选。2、解析：∵抛物线过点，而点在第三象限，∴焦点在轴负半轴上，设抛物线为，把点坐标代入得：，∴，∴抛物线的方程为：，∴选。3、解析：此题必有两解，∵在第四象限，∴焦点在轴正半轴或轴负半轴上，∴排除，∴选。4、解析：∵动点到直线的距离减去它到的距离的差等于，∴点到直线的距离和到的距离相等，符合抛物线的定义，∴选。5、解析：由抛物线的方程知抛物线的焦点坐标为，弦垂直于轴，设，，则，因此，，解得，代入得，所以焦点到的距离为。6、解析：（1）因为在第二象限，所以抛物线开口向左或向上，设所求抛物线为或，∵过点，∴，∴或，∴抛物线的方程为或。7、解析：，∴，，又焦点在轴的负半轴上，∴焦点的坐标为准线的方程为。名师点金：本题与原式比较，在形式上有所变化，从原来的焦点在轴的正半轴上变为焦点在轴的负半轴上，故焦点和准线的位置与原来相比都相差了一个负号，另外此题还可以把换成，构成的新变式较原来相比难度上有所增加。8、解析：∵点在第四象限，∴标准方程可以是或，把点的坐标代入得，，∴所求的抛物线的方程为或。名师点金：这是一个从题型着手的变式训练，从原来的选择题变成了变式的解答题，难度上有所增加，当然在解法上也相应地发生了变化：原题可在采取将点代入进行检验，直接得出正确答案为。而变式只能采取待定系数法进行求解，同时要注意设方程的形式时要防止漏解，与原题相比有一定的难度。9、解析：不妨设抛物线的方程为，∵在抛物线上，∴，准线方程，∵，∴由抛物线的定义，到准线的距离，∴，∴抛物线方程为，令，得，∴。10、解析：设所求的抛物线方程为，，解得，∵，∴的方程为，由，解得，∴，∴，∴所求抛物线方程是。A111、解析：∵点到焦点的距离为，∴到准线的距离是，又到轴的距离为，∴准线为，∴，∴，∴抛物线的方程是：，∴选。2、解析：=，故选。3、解析：到焦点的距离等于到准线的距离，由于焦点在轴负半轴上，∴到准线的距离为，即到焦点的距离为，故选。4、解析：设，∵焦点在轴正半轴上，∴到准线的距离为=，∴，∴代入抛物线的方程得，∴，∴。5、解析：∵，∴点在的内部，如图所示，焦点，准线为，过作于，由抛物线的定义知：，∴，当三点共线时，最小，此时点的纵坐标为，在中，令，得，∴。6、解析：设抛物线方程为：与联立成方程组，消去，整理可得：，设弦的两点，根据弦长公式有=，∴或。∴所求抛物线方程为：或。7、解析：显然，，若，则，则，焦点为，若，则，，焦点在负半轴上为，综上，抛物线的焦点坐标为。名师点金：原题与变式有两点区别：①是题型发生了变化：从原来的选择题变成了解答题；②是原来明确的抛物线变成了含有参数的抛物线，这样一来就增强了题目的灵活性，对解题者提出了更高的要求。在解题的过程中要分情况进行讨论，但在讨论的过程中要注意与的关系，否则很容易出错。8、解析：有四种情况：，，。名师点金：从表面上看，变式较原题变得难了，因为题中引进了参数，但是实际上两者的难度是一样的，两者唯一的区别是数字“5”换成了“”，其他没有发生变化，解法也是一样的。这实际上告诉我们一个道理：平时的解题中不要被题目的外表所吓倒，实际上许多看似复杂的问题都是“纸老虎”。只要我们能认真掌握好基础知识，就能顺利解决。9、解析：由题意可设抛物线方程为，将，代入得，所求抛物线的方程为。其准线方程为，即双曲线的半焦距，∴----①，又-----②，由①②可得，所求双曲线的方程为。10、解析：由题意设，，，则直线的方程是，令，得点的横坐标，同理可得故，命题成立。A121、解析：∵，，，∴。故选。2、解析：由得，设直线，由消得，当时，代入抛物线的方程得，∴最近的点的坐标为。（注：此题也可以用点到直线的距离公式转化为函数求最值的问题）3、解析：∵抛物线关于轴对称，∴此题必有两解，排除，∵到焦点的距离为，∴到准线的距离为，又到轴的距离为，∴，∴，∴抛物线的方程式为，令，解得：，∴选。4、解析：焦点到准线的距离为，，∴，∴选。5、解析：，由消去得，∴。∴。6、解析：设弦所在直线与抛物线的交点为，则，两式相减得：，∴，∵，∴，即，又过，∴，即，又经把与联立消后发现，∴这样的直线存在，它是，（注：此种点差法要进行检验，此题也可用直线与抛物线联立后来解）7、解析：①当时，焦点在轴的负半轴上且，∴抛物线的方程为，②当时，焦点在，轴的正半轴上且，∴抛物线的方程为，综上，所求的抛物线的方程为。名师点金：虽然只是“3”换成了“”，但此时由于准线的位置的不确定，产生了焦点在轴的负半轴和正半轴上两种情况，因此要分情况进行讨论，但最后得到的方程却可以用一个式子来表示，这也说明：一旦顶点和准线确定，抛物线的方程也随之确定。8、解析：，∴，∴准线的方程为，又到焦点的距离等于它到准线的距离，∴到的距离为，∴它到准线的距离为，∴，代入得，∴，∴。名师点金：除了由原来的选择题变为解答题外，变式还由原来的已知点与焦半径变为已知焦半径，反过来求点的坐标。当然，由于抛物线的对称性，所求的点是两个，变式与原题貌似一对“反过程”，相映成趣。另外，我们还可以展开想象，当变成时，所求的点就只有一个原点了，我们还可以把题改编为：抛物线上到焦点的距离为的点有两个，求的范围，答案是。9、解析：设抛物线方程为，则其焦点为，将代入得，∴，，所求抛物线方程为。10、解析：设直线AB方程为，代入抛物线方程得，。解得，舍去，∴=。A131、解析：切线有两条(其中一条为轴)，平行于轴的一条，∴共有条，选。2、解析：此题中的B恰好