第八章第7节多元函数极值及其求法

第七节多元函数的极值与最值第七节多元函数的极值与最值一、问题的提 1一元函数

y

(x)yy1x32x42实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子每瓶y元，则每天可卖

705x4y瓶地牌子的果汁806

7

瓶外地牌子的果取得最大收益？每天的收益

f(

y)(x1)(705

4y)(

1.2)(806

7y)求最大收益即为求二元函数的最大值3二、多元函数的极值和最

z

ex2y2

41、二元函数极值的定设函数z

f(

y)在点x0

y0的某邻若满足不等式fx,yfx0y0)，则称函数x0

y0

f(

y)

f(x0

y0)，则称函数在x0

y0有极极大值、极小值统称为极使函数取得极值的点称为极5例如 (0,0)有极小值 z(0,0)有极大值在点(0,0)无极值 x6对一元函数:2、多元函数取得极值的条定理1（必要条件设函数z

f(

y在点x0

y0)具有偏导数，且在点x0

y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零

fx(x0

y0)

fy(x0

y0)0.证不妨设z

f(

y)在点x0

则对于x0,y0)的某邻域内任(x,

y)(x0

y0

(

y)

f(x0

y0),7故当y

y0，x

x0

f(

y0)

f(x0

y0),

f(

y0)在x

x0处有极大值必 fx(x0,y0)0;类似地可

fy(x0

y0)0.如果三元函数u

f(

y,z)在点Px0

y0,z0具有偏导数，则它在P(x0件

y0z0)有极值的必要fx(x0

y0,z0)

fy(x0

y0,z0)0，fz(x0,y0,z0)0.8的点，均称为函数的驻点.注意

驻 极值 点(0,0)是函数z

xy的驻点但不是极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点2（充分条件设函数z

f(

y)在点x0

y0的某邻域内连续有一阶及二阶连续偏导数9又fxx0

y0)

fy(x0

y0)0，令fxxx0fyy(x0

y0)A，y0)C

fxy(x0

y0)Bf

在点x0

y0)处是否取得极值的条件如下

B2

当A

B2B2

例4.

f(

y)

x3

y33x2

3y2

9x解:第一步求驻点fx(

y)

3x2

6x9f解方程组f

y(

y)

3y2

6yfyy(xfyy(x,y)6yCB第二步判别

fxyfxy(x,y)fxx(x,y)6x

A12,

B0,

C6,AC

12

0

A

f(1,0)

5为极小

A12

B0,

AC

12(6)0

f(1,

例4

f(

y)

x3

y33x2

3y2

9(1,0(1,2)–3,0(–3,2)fyy(fyy(x,y)6yfxx(x,y)6x6,fxy(x,y)0,

A12

B0

C6AC

1260

f(3,

A12

B0

CAC

0

A0f(3,

例5.z

x3

z(x2解(0,0)ACB2zx3y3在(0,0y2y2并可能为zyox0zyox0

0时

z(x2

y2

z(0,0)因此

(x2

y2)2

(0,0

求函数z

f(

y)第一步

fx(x,y)

fy(

y)第二步对于每一个驻点x0y0，第三步定出ACB2的符号，再判定是否是极值3、多元函数的最求最值的一般方法将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.例 求二元函数z

f(

y)

x2y(4xy)在直线xy6xy轴所围成的闭区域上的最大值与最小值D 如图D先求函数在D内的驻点xxyDox

y)

2xy(4x

y)

x2yfy(

y)

x2(4x

y)

x2y得区域D内唯一驻点(2,1,f(2,14,

(

y)在D边界上的最值在边界

0和

0

(

y)0,在边界x

6上，即

6xxyDox

(

y)

x2(6

x)(2),由f

4x(

6)

2x20,得

0,x2

y6

x|x4f(4,2)比较后可

(2,1)

4为最大值f(4,2)64为最小值7求z

x

x2y2(x2

y21)2x(xy)解由zx

(x2y2

(x2

y21)2y(xy)zy

(x2y2

22得驻点(22

,1)和

1

1),2222

x xx xy

y22z(2

,1) 1

z(

1

1)1222222222222

1，最小值为12无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.2 积为2m3的有盖长方 解: 长,宽分别为x,ym,则高为2 xA

xy

yx

xx

2xyx

x0y0

2yx2

(32,32Ay

2xy2

根据实际问题可知最小值在定义域内应存在此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为

, 32时 323三、条件极 日乘数实例：小王有200元钱，他决定用来 种急需物品：计算机磁盘 磁带，设x张磁盘 磁带达到最佳效果效果函数

U(

y)

ln

y．设每张盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这元以达到最佳效果问题的实质Uxylnx

y在8x10y200下的极值点无条件极值

条件极值对自变量除定义域限制外条件极值的求法

(x,y)

下z

f

y)的极值方法 代入

(x,y)

下z

f

y)的极化 从条化

(x,

0

y

(x)求一元函数z

f(

(x))

(x,

0下z

f

分析

(x,y)

y

(x)则问题等价于一元函数z

f

极值问题,

dydzf

dy d

d

yd

ffx

f

yy

fyy

(x,

0下求函数z

f

y)的极值

xxf

xy F

f

y)

(x,y)xFx

fxfy

x y

辅助函数F称 日(Lagrange)函数利 推推u

f

yz)

y,

0,

y,

0 F

f

y,

1

y,z)

y,Fx

fx1x

2xFy

fy1

2y

Fzfz1

2z F

要设计一个容量为V0的长方体开口 ,试问解

x,

z分别表示长,宽,高

xyz在条件xyzV0

S2(xz

yz)

xy最小令F2(xzyz

xy(xyzV0Fx2z

yyz

Fy2z

xxz Fz2(xy)xy FxyzV0 得x

y2z 2V

0V 0V0由题意可知合理的设计是存在的,因此,当高为 4 10将正12分成三个正数xyzux3y2z为最大F

y,z)

x3y2z

(x

y

F3x2y2z

2x3yzFzx x

y

解得唯一驻点

422

11在第一卦限内作椭球

y22a2 b22

z2 c2 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的面体体积最小，求切点坐标设Px0

y0z0为椭球面上一点令F

y,z)

2a2 b22

z2c2

则

|P

2x0a2

|P

2y0b2

2z0c过Px0y0z0x0(xa2

x0)b2

(y

y) z0c2z0

(zz0)0,

xx0yy0z

a2 b2 c2a2 b2 c2x ，y ，z 1

a2b2c

xyz6

6

y0z0x在条件

y y

zz

1求V

a2b2c2

的最小值a b2 c

6

y0令u

ln

ln

lnz0G(x0

y0,z0

x2 y2 z2ln

ln

ln

(a2

b2

c2

Gy

0y由y a2

y2y c2

,112x0xa xxa300300y1y

b2y0 b 可

y0 00

2z0

33z

32 32y2 z2 0

0 01a2

b2 c2

333(abc)时333

abc.323四、内容小结四、内容小结第一步利用必要条件在定义域内找驻点

z

(x,

y),

一般问题 日乘数法

z

(x,

(x,

0下的极值

第一步找目标函数, 确定定义域(及约束条件)第二步判别练习与思考1

f(x0

y)

f(

y0)在x0

y0点均取得极值f(

y)在点x0

y0)是否也取得极值解答不是 例

f(

y)

x2

y2,当x

0

f

y)

y2(0,0取极大值当y

0时

f(x,0)

x2(0,0取极小值f

y)

x2

y2(0,0不取极值22、A13B(422

1(x

y

C,△ABC面积S△最大 解答提示则

C(x,i3xi3x1j1yk00

C 12

3y10

(0,2

3y10)2SC 2

AB B

C

2

x3y108x

9y236

x0

y0得驻 对应面 比较可知，点C与E重合时三角形面积最大 不同，第一个工厂生 件产品和第二个工厂生件产品时的总成本是;解：根据题意是

x

2x5y

y

代入F

4y5x

125 xy xy

375yy工厂生产37