解析几何与微分几何SECTION9

§9空间曲线一、曲线的基本概念与公式［曲线的方程与正向］曲线方程的形式曲线的正向交面式〈参数式，U为任矢量式J（顷）=[F(3,Z)=O中0,y,z)=oX=x(t)X=x(s)y=y(O或<y=y(s).z=z(/)[z=z(s):意参数，s为曲线的弧长)r=r(，域/•=，($)x(0i+y(t)j+Z(0k,t,s同上)，（或s）增加时，曲线上一点运动的方向［活动标架的三个单位矢量］t为单位切线矢量,方向与曲线的正向一致；〃为单位主法线矢量，它指向曲线的凹方;b为单位副法线矢量,b=tx〃.mb构成右手系（图7.18）.这三个矢量称为曲线在点M的活动标架（或叫动标三面形、伴随三面形，也叫活动标形）.［活动标架所在直线和平面的方程］设M为（xogo）（图7.18）.1°切线过曲线上两点N,M的直线NM,当N-M时的极限位置.其方程为参数式匕旦=匚^=二^（以/为参数）X。光Zo式中x0表示11在点M0O,），O,ZO）处的值，等等.参数-可以取为弧长s,这时用,i-0表示必，笙笙dr矢量式r=rQ+Af（以t为参数）式中*表示半在点Wo,vo,zo）处的值，2为另一个参数.at交面式式中F表示？在M点的值，等等.2。法面与切线垂直的平面（通过M的法面上一切直线都称为曲线在M的法线）.其方程为参数式X。Qf））+y00小）+Z。（z-zo）=o（以t为参数）式中也可取弧长s为参数.矢量式（r-ro）r=0（以，为参数）x-x。y—），oZ-Z。交面式F、F、.F.=0?o*0①、。①x%）3°密切面通过曲线上三点M,P,N作一平面，当N,PtM时，平面的极限位置（切线在密切面上）.其方程为工一孔）?-JoZ—Zo参数式％j0舄=0（以f为参数）%9oZo式中X。表示学在M点的值，等等，参数，也可取为弧长S.df-矢量式（（5）户。"）=0（以t为参数）4。主法线法面与密切面的交线.其方程为参数式光Z。ZoAo*0y0mnnIImif一>f-.vo-z-z。（以/为参数）式中1=%zo2参数式光Z。ZoAo*0y0mnnIImif一>f-.vo-z-z。（以/为参数）式中1=%zo2。万*0jo，m=,n=y0z°z。X。礼JoX-X。（以S为参数）*表示扫在点心的值，等笙ds-矢量式r=ro^AfQx（rQxr0）r=ro十〃"式中人为另一个参数.5。副法线垂直于密切面的直线.其方程为参数式（以/为参数）（以S为参数）二^=（以/为参数）Imn式中顷J1如（1）式定义.矢量式roFo+m。x%）（以，为参数）6。从切面通过切线与副法线的平面.其方程为Imn席（s&）+如）」无）+1愆-私）=0（以s为参数）矢量式（（r-r0）r0（r0xro））=0（以，为参数）（，-尸。）片=0（以$为参数）［曲率与挠率的定义与公式］公式与意义1Sn*MNds曲率半径1k表示包含点M的部分曲线偏离直线的程度，也是切线方向对于弧长的转动率时=血】|旦，亚=|妇I1^\MN\ds11挠率半径n*MNds曲率半径1k表示包含点M的部分曲线偏离直线的程度，也是切线方向对于弧长的转动率时=血】|旦，亚=|妇I1^\MN\ds11挠率半径1r=—KX表示包含点M的部分曲线偏离平面曲线的程度.K=0的曲线是平面曲线.时是曲线在点M挠率爪的绝对值，它等于副法线方向对于弧长的转动率.挠率x的符号：当点M沿曲线的正向移动时，矢量祟与〃反向，ds则K取正号，反之取负号（图向）(b)［曲率与挠率的计算公式］1°曲率参数式（尸+尹+日3矢量式2。挠率的绝对值参数式矢量式k=Jx〃2+y〃2+广（以S为参数）W或罕（以5k=\rn\（以s为参数）xyZx（尸+尹+日3矢量式2。挠率的绝对值参数式矢量式k=Jx〃2+y〃2+广（以S为参数）W或罕（以5k=\rn\（以s为参数）xyZxyzxyzk-(x2+)「+3)3Vy'z'X")，〃z”X”ymZm"7ft\x^+y+z|(沂)||(g)|对叮(rxr)~|中略

k-（以，为参数）（以s为参数）（以，为参数）（以S为参数）式中s为弧长，t为任意参数，〃”’表示对s求导，〃・〃表示对t求导［雪列-弗莱纳公式（或基本公式）］dZndn-tb（\bn—I■dsp'dspT'dsT式中mb为活动标架的三个基本单位矢量w为曲率半径《为挠率半径.这组公式的特点就是基本矢量顷力关于弧长s的导数可以用，,〃力的线性组合来表达，它的系数组成一个反对称方阵：p

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p【o0T这组公式与宜=t合并起来描述了点M在曲线上移动时活动标架的运动规律.ds把活动标架看作一个刚体，就是当M沿曲线移动时，M的活动标架好象刚体那样绕M转动.这时把s看作时间，则根据运动学的原理可以得出活动标架的瞬时转动速度的表达式为C0=Kt+Kb这表明转动矢量落在从法面上.这个瞬时转动矢量称为达布矢量.它仅分解为两个矢量和Kb，因此活动标架的瞬时转动可以看作两个转动之和.一个转动对应于®，按转动速度的定义,它绕着方向为心的轴转动；另一个绕着方向为M的轴转动.因此得到曲率与挠率的运动学意义：曲线的曲率等于活动标架绕着副法线的转动支量，挠率等于绕着切线的转动支量.最后，由口=冲+炒可以验证，空间曲线的雪列-弗莱纳公式就是rd/——=a）xtdsd〃——=fijxndsdb「——=a）xbds这就是雪列-弗莱纳公式的运动学意义.［基本定理与自然方程］在一闭区间a<s<b上给定任意两个连续函数雄）和k（s）,其中轮）>0，则除了空间的位置差别外，唯一地存在一条空间曲线，它以s为弧长，可雄）为曲率,K⑸为挠率.方程组k=k（s）,k=k（s）称为空间曲线的自然方程.二、螺旋线的方程与图形［一般螺旋线］与柱面母线的交角为定角（。）的空间曲线称为一般螺旋线（或定倾曲线）.这种曲线具有性质：1°曲率与挠率的比等于常数伙小血】。）.2°切线与一固定方向的交角为定角（。）.3。主法线与一固定方向垂直.4。副法线与一固定方向的交角为定角

［圆柱螺旋线］一动点绕一直线作等速转动，并沿这直线作等速移动，则称这个动点的轨迹为圆柱螺旋线（图7.19）,其参数方程为x=acQsO<y=osin。Z=土b。==±oQcot/72勿式中。=以，”为角速度，h称为螺距"称为螺旋角，式中对右螺旋线取正号，对左螺旋线取负号，如果以弧长S为参数,其方程为图7.19x=acos—==yla2+b2・s

=asui-.图7.19Ja2+b2bsZ=±t=曲率与挠率都是常数：k=—^,爪==

a2+b2a2+b［圆锥螺旋线］与一圆锥面母线的交