二轮难题复习 平面向量压轴解答题 （教师版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页二轮难题复习平面向量压轴解答题1．平面向量的概念名称定义记法零向量长度为0的向量叫做零向量0单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量a＝b说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量a∥b规定：零向量与任何向量都平行0∥a说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量2.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．3．向量a与b的夹角已知两个非零向量a和b.作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.4．平面向量的数量积(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．5．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.6．利用数量积求长度(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).7．利用数量积求夹角设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).8．三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).(2)O为△ABC的重心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)).(4)O为△ABC的内心⇔aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.例题1．我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”，定义.（1）若，，且，，计算，的值；（2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；（3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.【答案】（1），；（2）4；（3）.【解析】【分析】（1）根据定义直接计算即可得出答案；（2）根据题意，得仅有1个1或3个1，再分仅有1个1时，仅有3个1时，时，三种情况分类讨论即可得出结论；（3）根据时，，则，得只有3种情况，，且成对出现，从而可得出答案.【详解】解：（1），；（2）设，，，时，为奇数，则仅有1个1或3个1，时，为偶数，①当仅有1个1时，，为使为偶数，则，即不同时为1，此时，共4个元素，②当仅有3个1时，，为使为偶数，则，即不同时为0，此时，共4个元素，③当时，则，不符题意，舍去，综上所述，集合中元素个数的最大值为4；（3），，时，，则，则只有3种情况，，且成对出现，所以B中最多有个元素，.【点睛】本题主要考查了向量的新定义及集合间的关系，考查了分类讨论思想及分析问题的能力，难度较大.例题2．对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知､､均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.【答案】（1）；（2）是向量组，，，…，的“向量”，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据“向量”的定义，列不等式，求的取值范围；（2）分为奇数和偶数两种情况说明是向量组，，，…，的“向量”；（3）首先由､､均是向量组，，的“向量”，变形得到，设由由条件列式，变形为，转化为求的最小值.【详解】解：（1）由题意，得：，则解得：（2）是向量组，，，…，的“向量”，证明如下：，当为奇数时，，故即当为偶数时，故即综合得：是向量组，，