207全国2卷理科数学与2997

207全国2卷理科数学与2997207全国2卷理科数学与2997207全国2卷理科数学与29972021年一般高等学校招生全国一致考试〔Ⅱ卷〕逐题分析理科数学一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。二、【题目1】(2021·新课标全国Ⅱ卷理1)1.3i〔〕1iA．12iB．12iC．2iD．2i【命题企图】本题主要察看复数的四那么运算及共轭复数的见解，意在察看学生的运算能力.【分析】解法一：常例解法解法二：对十法3i能够拆成两组分式数31，运算的结果应为abi形式，a31112〔分子十字1i111212相乘，1131〔分子对位之积差，分母为基层数字平方分母为基层数字平方和〕，b12121和〕.解法三：分别常数法解法四：参数法3i3iabi1i3iababiab3，解得a21abiab1b1i故3i2ii知识拓展】复数属于新课标必考点，考复数的四那么运算的年份好多，复数考点有五：1.复数的几何意义〔2021年〕；2.复数的四那么运算；3.复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数；复数的模【题目2】(2021·新课标全国Ⅱ卷理2)2.设会合1,2,4，xx24xm0．假定1，那么〔〕A．1,3B．1,0C．1,3D．1,5【命题企图】本题主要察看一元二次方程的解法及会合的根本运算，以察看考生的运算能力为目的.【分析】解法一：常例解法∵AB1∴1是方程x24xm0的一个根，即m3，∴Bxx24x30故B1,3解法二：韦达定理法∵AB1∴1是方程x24xm0的一个根，∴利用伟大定理可知：x114，解得：x13，故B1,3解法三：除去法∵会合B中的元素必是方程方程x24xm0的根，∴x1x24，从四个选项A﹑B﹑C﹑D看只有C选项知足题意.【知识拓展】会合属于新课标必考点，属于函数范围，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义相联合，会合考点有二：1.会合间的根本关系；2.会合的根本运算.【题目3】(2021·新课标全国Ⅱ卷理3)3.我国古代数学名著?算法统宗?中有以下问题：“眺望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的

2倍，那么塔的顶层共有灯〔

〕A．1

盏

B

．3

盏

C

．5

盏

D

．9盏【命题企图】本题主要察看等比数列通向公式

an及其前

n项和

Sn，以察看考生的运算能力为主目的.【分析】解法一：常例解法一座7层塔共挂了381盏灯，即S7

381；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的

2倍，即qa11qna112n2，塔的顶层为a1；由等比前n项和Sn1q1可知：S7381，解得q12a13.解法二：界限效应等比数列为递加数列，那么有an1Sn，∴a8S7381，解得a12.9，∴a13.【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，此中必有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所占分值较大，在高中讲课中列为重点解说内容，也是全局部学生的难点，主假如平时讲课题型难度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能惹起注意；考试主线特别清楚，1.等差数列通向公式an及其前n项和Sn；2.等比数列通向公式an及其前n项和Sn.【题目4】(2021·新课标全国Ⅱ卷理4)4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部所得，那么该几何体的体积为〔〕A．90B．63C．42D．36【命题企图】本题主要察看简单几何体三视图及体积，以察看考生的空间想象能力为主目的.【分析】解法一：常例解法从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一局部而节余的局部，详细图像以下：切割前圆柱切割中切割后几何体从上图能够清楚的可出节余几何体形状，该几何体的体积分红两局部，局部图以下：从左图可知：剩下的体积分上下两局部暗影的体积，下边暗影的体积为VSh，r3，h4，∴V136；上边暗影的体积V2是上面局部体积的一半，即V21V3，V3与V1的比为高的比〔同2V3底〕，即V33V1，V23，故整体积V0V2V163.V12724第二种体积求法：V3Sh54，其他同上，故整体积V0V2V163.【知识拓展】三视图属于高考必考点，几乎年年考三视图，题型一般有五方面，1.求体积；2.求面积〔表面积，侧面积等〕；3.求棱长；4.视图实质察看〔推测视图，张开图，空间直角坐标系视图〕；5.视图与球体综合联立，此中前三个方面考的好多.2x3y30【题目5】(2021·新课标全国Ⅱ卷理5)5.设x，y知足拘束条件2x3y30，y30那么z2xy的最小值是〔〕A．15B．9C．1D．9【命题企图】本题主要察看线性规划问题，以察看考生数形联合的数学思想方法运用为目的，属于过渡中档题.【分析】解法一：常例解法2x3y30依据拘束条件2x3y30画出可行域〔图中暗影局部〕,作直线l:2xy0，平移直y30线l，将直线平移到点A处Z最小，点A的坐标为6,3，将点A的坐标代到目标函数Z2xy，可得Z15，即Zmin15.yl解法二：直接求法C2x+3y-32x-3y+3=关于关闭的可行域，我们能够直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种=0选其最小的

Ox为最小值即可，点A的坐标为6,3，点B的坐标为6,3，点C的坐标为0,1，所求AB=值分-315，Zmax9.别为15﹑9﹑1，故Zmin解法三：隔板法第一看拘束条件方程的斜率拘束条件方程的斜率分别为2﹑2﹑0；33其次排序依据坐标系地点排序2﹑0﹑2；33再次看目标函数的斜率和y前的系数看目标函数的斜率和y前的系数分别为2﹑1；最后画初始地点，跳格，找到最小值点目标函数的斜率在第一格为

2,0之间，即为初始地点，y前的系数为正，那么按逆时针旋转，3最大值点，即2,2，第二个格为最小值点，即0,2，只要解斜率为0和2这两条线3333的交点即可，其实就是点A，点A的坐标为6,3，将点A的坐标代到目标函数Z2xy，可得Z15，即Zmin15.【知识拓展】线性规划属于不等式范围，是高考必考考点，常察看数学的数形联合能力，一般变化只在两个方向变化，1.拘束条件的变化；2.目标函数的变化；拘束条件变化从关闭程度方面变化，目标函数那么从方程的几何意义上变化，但本题型属于高考热门题型〔封闭的拘束条件，求的二元一次方程目标函数〕，本题型属于过渡中档题，只要多累积各题型解决的方法即可.【题目6】(2021·新课标全国Ⅱ卷理6)6.安排3名志愿者达成4项工作，每人最少达成1项，每项工作由1人达成，那么不一样样的安排方式共有〔〕A．12种B．18种C．24种D．36种【命题企图】本题主要察看根本计数原理的应用，以察看考生的逻辑分析能力和运算求解能力为主.【分析】解法一：分组分派之分人第一分组将三人分红两组，一组为三个人，有A336种可能，其他一组从三人在选调一人，有1C33种可能；其次排序两组前后在排序，在对位找工作即可，有

2A22种可能；合计有36种可能.解法二：分组分派之分工作工作分红三份有C426种可能，在把三组工作分给3个人有A336可能，合计有36种可能.解法三：分组分派之人与工作互动先让先个人个达成一项工作，有A4324种可能，剩下的一项工作在有3人中一人达成有C313种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以A222，合计有36种可能.解法四：占位法此中必有一个达成两项工作，选出这人，让其先占位，即有的两项工作

12C3C418中可能；剩下由剩下的两个人去达成，即有A222种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能.解法五：隔板法和环桌摆列第一让其环桌摆列，在插两个隔板，有C426种可能，在分派给3人工作有A336种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能.【知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有1.摆列组合；2.二项式定理，几乎两者是隔一年或隔两年交互出题，摆列组合这类排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，特别是利用二项式定理求某一项的系数更加突出.【题目7】(2021·新课标全国Ⅱ卷理7)7.甲、乙、丙、丁四位同学一同去处老师咨询成语比赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优异，2位优异，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我仍是不知道我的成绩．依据以上信息，那么〔〕A．乙能够知道四人的成绩B．丁能够知道四人的成绩C．乙、丁能够知道对方的成绩D．乙、丁能够知道自己的成绩【命题企图】本题察看推理与证明的有关知识，察看考生推理论证能力.【分析】解法一：假定法甲看乙﹑丙成绩，甲不知道自己的成绩，那么乙﹑丙成绩中有一人为优，一人为良；乙已经知道自己的成绩要么良，要么优，丙相同也是，当乙看到丙的成绩，必然知道自己的成绩，可是丙一定不知道自己的成绩；而丁同学也知道自己的成绩要么良，要么优，只有看到甲的成绩，才能判断自己的成绩，丁同学也必然知道自己的成绩，故只有乙﹑丁两位同学知道自己的成绩.解法二：选项代入法当我们不知道怎样下手,那么从选项下手，一一假定成立，来考证我们的假定能否成立，略【知识拓展】推理与证明近两年属于热门考题，2021年的第15题〔理〕﹑第16题〔文〕，今年的理〔7〕﹑文〔9〕，属于创新题，突出奇异，但题的难度不大，需要考生沉着的思考，抓住主要知识重点，从而能够迅速做题，属于中档题.【题目8】(2021·新课标全国Ⅱ卷理8)8.履行右边的程序框图，假如输入的1，那么输出的S〔〕A．2B．3C．4D．5【命题企图】本题察看程序框图的知识，意在察看考生对循环构造的理解与应用.【分析】解法一：常例解法∵S00，K01，a01，SSaK，aa，∴履行第一次循环：S11﹑a11﹑K12；履行第二次循环：S21﹑a21﹑K23；履行第三次循环：S32﹑a31﹑K34；履行第四次循环：S42﹑a41﹑K45；履行第五次循环：S53﹑a51﹑K56；履行第五次循环：S63﹑a61﹑K67；当K676时，停止循环，输出S63，故输出值为3.解法二：数列法nSnSn1nn1，裂项相消可得SnS11i；履行第一次循环：S11﹑1n，Knii2a11﹑K12，当Kn6时，n6即可停止，S61234564，即S63，故输出值为3.【题目9】(2021·新课标全国Ⅱ卷理9)9.假定双曲线C:x2y21〔a0，b0〕的a2b2一条渐近线被圆24所截得的弦长为2，那么C的离心率为〔〕x2y2A．2B．3C．2D．233【命题企图】主要察看双曲线的性质及直线与圆的地点关系，意在察看考生的转变与化归思想.【分析】解法一：常例解法依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为得圆心到

bx，依据直线与圆的地点关系可求a2b2b渐进线的距离为3，∴圆心到渐近线的距离为a，即a，解得e2.3b221ba1a解法二：待定系数法设渐进线的方程为ykx，依据直线与圆的地点关系可求得圆心到渐进线的距离为3，∴圆心到渐近线的距离为2k，即2k3，解得k23；因为渐近线的斜率与1k21k2离心率关系为k2e21，解得e2.解法三：几何法从题意可知：OAOO1O1A2，OO1A为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为，3因为ktan，可得k3，渐近线的斜率与离心率关系为k2e21，解得e2.解法四：坐标系转变法依据圆的直角坐标系方程：得极

24，可得极坐标方程4cos，由4cos2可x2y2角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以k3，3渐近线的斜率与离心率关系为k2e21，解得e2.解法五：参数法之直线参数方程如上图，依据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为ybx，能够表示点A的坐标a为2cos,2sin，∵cosa，sinb∴点A的坐标为2a,2b，代入圆方程中，cccc解得e2.【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容〔理科〕，一般与三角形﹑直线与圆﹑向量相联合，属于中档偏上的题，但跟着二卷回归基础的趋向，圆锥曲线小题固然处于中档题偏上地点，但难度逐年降落.【题目10】(2021·新课标全国Ⅱ卷理10)10.直三棱柱C11C1中，C120，2，CCC11，那么异面直线1与C1所成角的余弦值为〔〕A．3B．15C．10255D．33【命题企图】本题察看立体几何中的异面直线角度的求解，意在察看考生的空间想象能力【分析】解法一：常例解法在边BB1﹑B1C1﹑A1B1﹑AB上分别取中点﹑﹑G﹑H，并互相连结.由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线11所成的夹角为FEG或其补AB和BC角，经过几何关系求得EF2，FG5，22FH11，利用余弦定理可求得异面直线2AB1和BC1所成的夹角余弦值为10.5解法二：补形经过补形今后可知：BC1D或其补角为异面直线AB1和BC1所成的角，经过几何关系可知：BC12，C1D5，BD3，由勾股定理或余弦定理可得异面直线AB1和BC1所成的夹角余弦值为10.5解法三：建系成立如左图的空间直角坐标系，A0,2,1，B10,0,0，B0,0,1，C13,1,022∴BC13,1,1，10,2,122BA∴cosB1ABC1210B1ABC1525解法四：投影平移-三垂线定理设异面直线AB1和BC1所成的夹角为3利用三垂线定理可知：异面直线AB1和BC1所成的夹角余弦值为10.5【知识拓展】立体几何地点关系中角度问题向来是理科的热门问题，也是高频考点，证明的方法大概有两个方向：1.几何法；2.建系；几何法步骤简短，但不易想到；建系简单想到，但计算量偏大，平常复习应注意各方法优势和缺少，做到胸中有数，方能事半功倍.【题目11】(2021·新课标全国Ⅱ卷理11)11.假定x2是函数2x1`的极小值为〔〕f(x)(x的极值点，那么f(x)ax1)eA.1B.2e3C.5e3【命题企图】本题主要察看导数的极值见解及其极大值与极小值判断条件，意在考查考生的运算求解能力.【分析】解法一：常例解法∵fxx2ax1ex1∴导函数fxx2a2xa1ex1∵f20∴a1∴导函数fx2xx1x2e令fx0，∴x12，x11当x变化时，fx，fx随变化状况以下表：+0-0+极大值极小值从上表可知：极小值为f11.【知识拓展】导数是高考重点察看的对象，极值点的问题是特别重要考点之一，大题﹑小题都会察看，属于压轴题，但难度在逐年降低.【题目12】(2021·新课标全国Ⅱ卷理12)12.ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，那么PA(PBPC)的最小值是〔〕A.2B.3C.423D.1【命题企图】本题主要察看等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数目积，意在察看考生转变与化归思想和运算求解能力【分析】解法一：建系法连结OP，OA0,3，OB1,0，OC1,0.PCPB2PO，∴POPAx,yx,3y2∴POPA223y233xyxy42∴POPA3，∴PAPCPB2POPA342∴最小值为32解法二：均值法∵PCPB2PO，∴PAPCPB2POPA由上图可知：OA22PAPO；两边平方可得3PAPO2PAPO∵∴

222PAPO，∴2POPA3PAPO2PAPCPB2POPA3，∴最小值为322解法三：配凑法∵PCPB2PO2222∴PAPCPOPAPOPAPOPAAO3PB2POPA222∴最小值为32【知识拓展】三角形与向量联合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大.二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。【题目13】(2021·新课标全国Ⅱ卷理13)13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，那么D．【命题企图】本题察看二项散布见解及其数字特点，意在察看学生的运算求解能力.【分析】解法一：一般解法随机变量X∽，DXnp1p【知识拓展】失散型随机变量是高考考点之一，随机变量散布是热门话题，正态分布和二项分布都以小题出现，且在基础题地点，难度较低，在平常复习时不宜研究难题.【题目14】(2021·新课标全国Ⅱ卷理14)14.函数fxsin2x3cosx34〔x0,〕的最大值是．2【命题企图】本题察看三角函数同角根本关系及函数性质—最值，意在察看考生转化与化归思想和运算求解能力【分析】解法一：换元法∵∴

fx23x0,22sinx3cosx，sinxcosx142fxcos2x3cosx14设tcosx，t0,1，∴fxt23t14函数对称轴为t3，∴fxmax10,12【知识拓展】此类问题属于热门题型，2021年二卷〔文11〕﹑2021年和2021广西卷均出现此题型，解决方法相同，但二卷近几年不会再出了.【题目15】(2021·新课标全国Ⅱ卷理15)15.等差数列an的前n项和为Sn，n1．a33，S410，那么1Skk【命题企图】本题主要察看等差数列通向公式an及其前n项和以及叠加法乞降，【分析】解法一：常例解法∵S410，a2a3a1a4，∴a2a35∵∵

a33，∴a22∴annna1an∴Sn2∴1211Snnn1Snnn122nn1n112n∴Sn211n1i1nn12nN∴Sn,ni1n1【知识拓展】本题不难，属于察看基础见解，但有一局部考生会扔掉nN这个条件，此处属于易错点.【题目16】(2021·新课标全国Ⅱ卷理16)16.F是抛物线C:y28x的焦点，是C上一点，F的延伸线交y轴于点．假定为F的中点，那么F．【命题企图】本题主要察看抛物线的定义及直线与抛物线的地点关系，意在察看考生的转变与化归思想运算求解的能力【分析】解法一：几何法∵点M为线段NF的中点∴xM1∴∴

MFxM23NF2MF6【知识拓展】本题从抛物线定义下手，定比分点求坐标，这是基础见解题，课本习题常有练习.三、解答题：共70分。解赞同写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必然作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。〔一〕必考题：共60分。【题目17】(2021·新课标全国Ⅱ卷理17)17.〔12分〕ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(AC)8sin2B．2(1)求cosB(2)假定ac6,ABC面积为2,求b.【命题企图】本题察看三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第〔Ⅰ〕中，利用三角形内角和定理可知ACB，将sin(AC)8sin2B转变为角B的方程，思想方向有两个：①利用降幂公式化简28sin2B，sin2B，联合sin2Bcos2B1求出cosB；②利用二倍角公式，化简sinB22两边约去sinB，求得tanB，从而求得cosB.在第〔Ⅱ〕中，利用〔Ⅰ〕中结论，22利用勾股定理和面积公式求出ac、ac，从而求出b．〔Ⅰ〕【根本解法1】由题设及ABC,sinB8sin2B，故2上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=015解得cosB=1〔舍去〕，cosB=【根本解法2】由题设及ABC,sinB8sin2B，所以2sinBcosB8sin2B，又sinB0，22222B11tan2B15，cosB2所以tan4B17212tan2〔Ⅱ〕由cosB=15得sinB8，故SABC1acsinB4ac171721717又SABC=2，那么ac2由余弦定理及ac6得所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵巧利用三角形的边角关系进行“边转角〞“角转边〞，其他要注意c,ac,a2c2三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢送．【题目18】(2021·新课标全国Ⅱ卷理18)18.〔12分〕淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量比较学|科网，收获时各随机抽取了100个网箱，丈量各箱水产品的产量〔单位：kg〕某频次直方图如下：〔1〕设两种养殖方法的箱产量互相独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,预计A的概率；〔2〕填写下边列联表，并依据列联表判断能否有99%的掌握以为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法〔3〕依据箱产量的频次散布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的预计值〔精确到0.01〕【命题企图】概率统计,独立查验等知识的综合运用【根本解法】〔Ⅰ〕旧养殖法的箱产量低于50kg的频次为0.012×5+0.014×5+0.024×5+0.034×5+0.040×5=0.62，因为两种养殖方法的箱产量互相独立，于是P〔A〕=0.62×0.66=0.4092〔Ⅱ〕旧养殖法的箱产量低于50kg的有箱，新养殖法的箱产量不低于50kg的有箱，获得2×2列联表以下：

100×0.62=62箱，不低于100×0.66=66箱，低于

50kg50kg

的有的有

3834箱产量

<50kg

箱产量≥

50kg

合计旧养殖法新养殖法

6234

3866

100100合计

96

104

200所以K2

6.635，所以有

99%的掌握以为箱产量与养殖方法有关。〔III

〕依据箱产量的频次散布直方图，新养殖法的箱产量不低于

50kg的频次为0.038×5+0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.66>0.50，不低于55kg的频次为0.046×5+0.010×5+0.008×5=0.32<0.50，于是新养殖法箱产量的中位数介于50kg到55kg之间，设新养殖法箱产量的中位数为x，那么有〔55-x〕×0.068+0.046×5+0.010×5+0.008×解得x=52.3529所以，新养殖法箱产量的中位数的预计值52.35。【知识拓展】第一，先表示事件，再写出其发生的概率，将未知事件用事件表示，依据事件间的关系，求出未知事件的概率.统计的根本源理是用样本估计整体.独立性查验，先填2*2列联表，再计算,与参照值比较，作出结论；中位数的计算要依据中位数以左其频次和为50%.求面积和计算频次.【题目19】(2021·新课标全国Ⅱ卷理19)19.〔12分〕如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，ABBC1AD,BADABC90o,E是的中点.2PD〔1〕证明：直线CE//平面PAB〔2〕点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45o，求二面角M-AB-D的余弦值【命题企图】线面平行的判断，线面垂直的判断，面面垂直的性质，线面角、二面角的求解【标准答案】〔1〕证明略；〔2〕105【根本解法1】〔1〕证明：取PA中点为F，连结EF、1因为BADABC90，BCAD所以

AFBC

1AD因为

E是PD的中点，所以

EF

21

AD，所以

EF

2

BC2所以四边形EFBC为平行四边形，所以EC//BF因为

BF

平面

PAB，EC

平面

PAB所以直线

CE//平面

PAB〔2〕取AD中点为O，连结OC、OP因为△PAD为等边三角形，所以POAD因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD所以PO平面ABCD因为AOBC，所以四边形OABC为平行四边形，所以AB//OC所以OCAD以OC,OD,OP分别为x,y,z轴成立空间直角坐标系，如图设，那么P(0,0,3),A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0)，所以PC(1,0,3)BC1设M(x,y,z)，那么PM(x,y,z3)，AB(1,0,0)因为点M在棱PC上，所以PMPC(01)，即(x,y,z3)(1,0,3)所以M(,0,33)，所以BM(1,1,33)平面ABCD的法向量为n(0,0,1)因为直线BM与底面ABCD所成角为45，所以|sin45||cosBM,n||BMn||33|2|BM||n|(1)212(33)212解得12，所以BM(2,1,6)222ABmx0设平面MAB的法向量为m(x,y,z)，那么BMm2xy6z022令z1，那么m6,1)(0,2所以cosm,nmn110|m||n|6)2512(2所以求二面角MABD的余弦值105【根本解法2】〔1〕证明：取AD中点为O，连结OC、OE因为BADABC11AO90，BCAD所以BCAD，即BC22所以四边形OABC为平行四边形，所以OC//AB因为AB平面PAB，OC平面PAB所以直线OC//平面PAB因为E是PD的中点，所以OE//PA因为PA平面PAB，OE平面PAB所以直线PA//平面PAB因为PAABA，所以平面OCE//平面PAB因为CE平面PAB所以直线CE//平面PAB〔2〕同上【知识拓展】线面平行的证明一般有两个方向，线面平行的判断或面面平行的性质。角的求解多借助空间直角坐标系，需要注意两个问题：〔1〕题中没有现成的三条线两两垂直，需要先证明后建系；〔2〕m,n是指两个法向量的夹角，与二面角相等或互补，需要察看所求二面角是锐二面角仍是钝二面角【题目20】(2021·新课标全国Ⅱ卷理20)20.〔12分〕设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x221上，过做x轴的垂线，垂足为，2点P知足NP2NM.求点P的轨迹方程；设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【命题企图】椭圆，定值问题的研究；运算求解能力【根本解法】〔Ⅰ〕解法一：有关点法求轨迹：设Mx0,y0，Nx0,0,Px,y，那么：NPxx0,y,NM0,y0.又NP2NM,所以：xx0,y20,y0，那么：xx,y2y.00在椭圆C上，所以：x22又Mx0,y00y01。2所以：x2y22.解法二：椭圆C的参数方程为：x2cosysin

〔为参数〕.设M2cos,sin，N2cos,0,Px,y，那么：NPx2cos,y,NM0,sin.又NP2NM,所以：x2cos,y20,sin，那么：x2cos,y2sin.那么：x2y22.〔Ⅱ〕解法一：设P2cos,2sin，Q3,y1,F1,0,那么OP2cos,2sin，OQ3,y1,PQ32cos,y12sin，PF12cos,2sin.又OPPQ1,所以：2cos,2sin32cos,y12sin32cos2cos22y1sin2sin21即：32cos2y1sin3.那么：PFOQ12cos,2sin3,y1332cos2ysin0.所以：PFOQ.即过P垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F。解法二：设Px1,y1，Q3,y2,F1,0,那么OPx1,y1，OQ3,y2,PQ3x1,y2y1，PF1x1,y1.又OPPQ1,所以：x1,y13x1,y2y13x1x12y1y2y121.又Px1,y1在x2y22上，所以：3x1y1y23.又PFOQ1x1,y13,y233x1y1y20.所以：PFOQ.即过P垂直于OQ的直线l过椭圆C的左焦点F。【题目21】(2021·新课标全国Ⅱ卷理21)21.〔12分〕函数f(x)ax2axxlnx,且f(x)0.〔1〕求a；〔2〕证明：f(x)存在独一的极大值点x0，且e2f(x0)22.【命题企图】本题察看函数的极值，导数的应用．【根本解法】(1)法一.由题知：f(x)xaxalnxx0，且f(x)0，所以：ax1lnx0.即当x0,1时，alnx；当x1,时，alnx；x1x1当x1时，ax1lnx0成立.令gxx1lnx，g'x11x1，当x0,1时，g'x0，xxlnx，即：lnxgx递减，gxg10，所以：x11.所以：a1；x1当x1,时，g'x0，gx递加，gxg10，所以：x1lnx，即：lnx1.所以：a1；x1综上：a1.法二.洛必达法那么由题知：f(x)xaxalnxx0，且f(x)0，所以：ax1lnx0.即当x0,1时，alnx；当x1,时，alnx；x1x1当x1时，ax1lnx0成立.lnx，g'x1x1lnx11lnx令gxxx2x2.x11x1令hx11，h'x111x.lnxx2xx2x当x0,1时，h'x0,hx递加，hxh10；所以g'x0，gx递减，gxlimlnxlimlnx'lim11.x1x1x1x1'x1x所以：a1；当x1,时，h'x0,hx递减，hxh10；所以g'x0，gx递减，gxlimlnxlimlnx'lim11.x1x1x1x1'x1x所以：a1；故：a1.〔1〕由(1)知：f(x)xx1lnx，f'x2x2lnx.x2x2lnx，那么'x21设x.当x0,1时，'x0；当x1,时，'x0.22所以x在0,1递减，在1,递加.22又e20，10，10，所以x在0,1有独一零点x0，在221,有独一零点1，且当x0,x0时，x0；当xx0,1时，x0；2当x1,时，x0.又f'xx，所以xx0是f(x)的独一极大值点.由f'x00得lnx02x01，故fx0x01x0.由x00,1得fx014.因为xx0是f(x)在0,1的独一极大值点，由e10,1，fe10得所以e2f(x0)22.〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，按所做的第一题计分。【题目22】(2021·新课标全国Ⅱ卷理22)22.[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4．〔