四川省成都市青白江区2023届高三上学期零点五诊文科数学试卷+答案

青白江区高2020级“零点五诊”考试数学试题（文科）注意事项：1.全卷满分150分，考试时间120分钟.2.在作答前，务必将姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方.3.选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚.4.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.5.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等.第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则A. B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】求出B中不等式的解集确定出B，求出A与B的交集即可．【详解】，由B中不等式变形得：，

解得：，即，

∴A∩B=，

故选A．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得，因此，.故选：A.3.若点是角的终边上一点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，点是角的终边上一点，根据三角函数的定义，可得，则，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知命题：“且”是“”的充要条件；命题：，曲线在点处的切线斜率为，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断命题p，利用导数的几何意义求出判断命题q，再借助真值表判断作答.【详解】若且，则有，反之，若，如且，而且不成立，即“且”是“”的充分不必要条件，于是得p是假命题，由求导得：，由得：，即存在，曲线在点处的切线斜率为，q是真命题，是真命题，是假命题，A不正确；是假命题，是假命题，B不正确；是假命题，C不正确；是真命题，是真命题.故选：D5.已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则（）A.1 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义，可以求出点M的坐标即可.【详解】由题意得，，所以焦点为，准线为又因为，所以M的y坐标为2，则x坐标为所以故选：C6.我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（）A.120 B.200 C.240 D.400【答案】D【解析】【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，当时，，当时，取得最小值240，当时，，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，故选：D7.函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域，利用导数研究函数的单调性，可得答案.【详解】由，则可知其定义域为，故可排除B和D；，令，解得，当时，，即，则，故函数在上单调递减，故选：A.8.若函数，则不等式的解集是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，分类讨论，根据对数函数的性质，即可求解不等式的解集，得到答案.【详解】由函数，可知，当时，令，解得；当时，令，即，解得，所以不等式的解集.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用问题，其中解答中根据函数的解析式，分类讨论和利用对数函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想的应用，以及推理与运算能力，属于基础题.9.在四边形中，，，则A.5 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算化简.利用向量数量积的运算性质即可得到结论.【详解】【点睛】本题考查向量的线性运算和向量数量积的运算性质，属基础题10.若直线与曲线有公共点，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直线经过原点，画出曲线，通过图形临界位置的分析即可得出实数的范围.【详解】当时，直线为轴与曲线显然有公共点.时，经过原点，斜率为，曲线为圆心（2，2）半径为2的上半圆.当直线经过半圆的右端点A恰好有公共点，逆时针旋转至轴满足题意，如下图.由于故，解得，综上故选：D.11.已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义求出与，然后在中，利用余弦定理求出，再根据面积公式及二次函数的知识即可求解.【详解】解：因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有，又，所以，，设，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以面积的最大值是，故选：A.12.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用函数的导数讨论函数的单调性.【详解】令，，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x，y满足约束条件则的最大值是________．【答案】8【解析】【分析】画出可行域，利用几何意义求解的最大值.【详解】画出可行域，如图阴影部分所示，显然当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为.故答案为：814若向量满足，则_________.【答案】【解析】【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案【详解】∵∴∴.故答案为：.15.在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为____________．【答案】【解析】【分析】先在等边三角形中求出，外接圆半径，根据几何关系确定外接球球心位置，列勾股定理方程确定该三棱锥的外接球的半径.【详解】因为，所以为等边三角形，所以，等边外接圆的半径为，如图，三棱锥外接球球心为，半径为，设球心到平面的距离为，外接圆圆心为，连接，则平面，取中点，所以，又平面，所以//，则四边形是矩形，所以在和中，由勾股定理可得，解得：，表面积.故答案为：16.在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若；则当角A最大时，的面积为______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理与余弦定理，整理等式，可得，根据余弦定理结合重要不等式，求得当角A最大时，的值，结合三角形面积公式，可得答案.【详解】由，，根据正弦定理以及余弦定理，则可得，整理可得，即，根据余弦定理，可得，由，当且仅当等号成立，可得，由函数在上单调递减，则当时，取最大，故，则.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．【答案】（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣12n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数等比数列∴设其公比q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q="2"∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．18.为切实加强新时代儿童青少年近视防控工作，经国务院同意发布了《综合防控儿童青少年近视实施方案》．为研究青少年每天使用手机的时长与近视率的关系，某机构对某校高一年级的1000名学生进行无记名调查，得到如下数据：有40%的同学每天使用手机超过1h，这些同学的近视率为40%，每天使用手机不超过1h的同学的近视率为25%．（1）从该校高一年级的学生中随机抽取1名学生，求其近视的概率；（2）请完成2×2列联表，通过计算判断能否有99.9%的把握认为该校学生每天使用手机的时长与近视率有关联．每天使用超过1h每天使用不超过1h合计近视不近视合计1000附：，．0.150.100.050.0250.0100.00l2.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）；（2）列联表见解析，有99.9%的把握.【解析】【分析】（1）根据题意，结合古典概型计算公式进行求解即可；（2）根据题中数据，完成列联表，结合卡方计算公式进行求解判断即可.【小问1详解】该校高一年级近视的学生人数为1000×40%×40%＋1000×60%×25%＝160＋150＝310，从该校高一年级的学生中随机抽取1名学生，其近视的概率为；【小问2详解】2×2列联表为：每天使用超过1h每天使用不超过1h合计近视160150310不近视240450690合计4006001000，所以有99.9%的把握认为该校学生每天使用手机的时长与近视率有关联．19.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，.（1）证明：：；（2）点在棱上，且，若三棱锥的体积为，求实数的值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，由此能证明PD⊥AB．（2）设点M到平面ACD的距离为，由求出，由求得实数的值【详解】（1）证明：取AD的中点O，连OC,OP∵为等边三角形，且O是边AD的中点∴∵平面底面，且它们的交线为AD∴∴∵∴∴（2）设点M到平面ACD的距离为∵∴∴∵∴【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.已知椭圆的离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据离心率及短轴长及求出，，求出椭圆方程；（2）先考虑直线AB斜率不存在时的值，再考虑直线AB的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立后得到两根之和，两根之积，从而求出，从而求出的取值范围.【小问1详解】，，∴，又，即，解得：，，椭圆的标准方程为；【小问2详解】当直线AB的斜率不存在时，，不妨设，则当直线AB的斜率存在时，设，由，恒成立，故，∴，综上：，故的取值范围为．21.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围．【答案】（1）函数在区间，上均单调递减（2）【解析】【分析】（1）利用导数在函数单调性中的应用，即可得到结果；（2）根据题意，将原不等式转化为，即；再根据（1），可知在单调递减，将原问题转换为在，两边同取自然对数，采用分离参数法可得在上能成立，再利用导数求出函数的最值，即可得到结果.【小问1详解】解：的定义域为因为，所以．令，则，所以函数在区间单增；在区间单减．又因为，所以当时，所以函数在区间，上均单调递减；【小问2详解】解：当，时，所求不等式可化为，即，易知，由（1）知，在单调递减，故只需在上能成立．两边同取自然对数，得，即在上能成立．令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，所以，又，故的取值范围是．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的极坐标方程；（2）射线，和曲线分别交于点，，与直线分别交于，两点，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，可得直线的极坐标方程，根据，可得曲线的直角坐标方程；（2）法一：将射线转化为直角坐标方程