留学生-第二章概率论与数理统计

第二章 §2.1 量的概念与离散型 §2.20-1分布和二项分§2.3泊松分§2.4 量的分布函§2.5连续型 §2.6均匀分布和指数分§2.7正态分§2.8 量的函数的分§2.1随 常见的示数的(定量的)：候车人数 、示性的(定性的)：硬币 、天气情况、中心问题：能否将所有试验结果都数量化处 𝑿=

𝑿=𝒇(𝒆为S上的单值函数𝑿为实数定义：设随机试验E的样本空间𝛀=如果对任意的基本事件𝒆𝛀，有一个实数𝑿𝒇(𝒆)与之对应，称𝑿为 量。(随试验结果而变的量𝑿为 量 常见 量类离散型 量 如：候车人数 点连续型 量 如 、降雨引例抛一枚硬币，观察 的 情况；𝑺=记录某区域某时刻骑行小黄车的人数；𝑺*𝟎𝟏𝟐 离散型 量的分布 量𝑿的所有可能取值为𝒙𝒌,(𝒌=𝟏,𝟐,⋯).𝑿取各个可能值的概率，即事件*𝑿=的概率，为𝑷𝑿= = 𝒌=𝟏,𝟐,⋯ 由概率的定义，𝒑𝒌满足如下两个 𝒑𝒌≥𝟎,𝒌=𝟏,𝟐,∞

𝒑𝒌=我们称(1)式为离散型 量𝑿的分布律，也可表示⋯⋯⋯⋯§2.2(0-1)设 量𝑿只可能取0与1两个值，它的分布律𝑷𝑿= =𝒑𝒌𝟏−𝒑𝟏−𝒌,𝒌=𝟎, 𝟎<𝒑<𝟏则称𝑿服从以𝒑为参数的(𝟎−𝟏)分布或两点分布1.9.0.4例2.商店里有10张同类CD片，其中6 (二 试验、二项分定义：设试验E只有两个可能结果：𝑨和𝑨，则称E(Bernoulli)试验.设𝑷𝑨=𝒑𝟎<𝒑<𝟏)，此时𝑷𝑨=𝟏𝒑将E独立重复地进行𝒏次，则称这一串重复的独立试验为𝒏重试验.例如独立重复地抛硬币𝒏次，每次只有两个可能的结果 (二 试验、二项分问题：以𝑿表示𝒏重试验中事件𝑨发生的次数，求随𝑿所有可能取值为𝟎𝟏𝟐𝒏由于各次试验是相互独立的，因此事件𝑨在指定的𝒌次试验中发生，在其他𝒏−𝒌𝒑⋅𝒑⋅…⋅𝒑⋅𝟏−𝒑⋅𝟏−𝒑⋅…⋅𝟏−𝒑=𝒑𝒌𝟏−𝒑这种指定的方式共有𝑪𝒌

种，它们是两两互不相容的 故在𝒏次试验中A发生𝒌次的概率为𝑷𝑿= = 𝟏−𝒑𝒏−𝒌,𝒌=𝟎,𝟏,⋯,显然且

𝑷𝑿= ≥𝟎,𝒌=𝟎,𝟏,⋯,

𝑷𝑿=

𝑪𝒌𝒑𝒌𝟏−𝒑𝒏−𝒌 𝒑+𝟏−𝒑𝒏=若 量𝑿的分布律𝑷𝑿= =𝑪𝒌𝒑𝒌𝟏−𝒑𝒏−𝒌,𝒌=𝟎,𝟏,𝟐,⋯,则称𝑿服从参数为𝒏,𝒑的二项分布，记为𝑿~𝒃(𝒏,例3：独立射击𝒏次，设每次为𝒑，𝟎<𝒑<𝟏，设命中𝑿次，(1求𝑿的概率分布律；(2求至少有一次命中由 𝑿𝒊 则每一个𝑿𝒊都服从(0-1)分布，且具有相同的分布律01𝟏−其中𝒊=𝟏,𝟐,⋯,𝒏，𝒏 𝑿=𝑿𝟏+𝑿𝟐+⋯+ “小概率事件在大量试验这也告诉我们决小概率事“小概率事件在大量试验这也告诉我们决小概率事§2.3泊松分 量𝑿的所有可能取值为𝟎,𝟏,𝟐,⋯，而取各个值的概率𝑷𝑿= ,𝒌=𝟎,𝟏,𝟐,⋯其中𝝀是常数，则称𝑿服从参数为𝝀的泊松分布，记为6例6：设某汽车停靠站候车人数𝑿~𝝅(𝝀)，𝝀=𝟒.求至少已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率𝒏𝒑=𝝀则对于任一固定的非负整数𝒌有

𝟏−

𝒏−𝒌

即当二项分布的 很大，而p很小时，泊松分布可作二项分布的近似。通常当𝒏≥𝟐𝟎𝒑≤𝟎𝟎𝟓时即可用此应用准则：现实生活中，只要满足三该事件是小事件间是相互独立的，不会相互影；(3)事件发生的则对该类事件可利用泊松分布进行分析、预测作 第1,4 第3,4,5 第1§2.4 引例（法医鉴定分布定义：设𝑿是一个 量，𝒙是任意实数，函𝑭 =𝑷𝑿≤𝒙 −∞<𝒙<称为X的概率分布函数，简称分布函数几何意分布性质𝟎≤𝑭 ≤𝑭(𝒙)单调非减𝑭 =𝟎，𝑭 =0例4：设𝑿0求𝑿的分布函数𝑭(𝒙)及𝑷𝑿≥𝟏的值-例5-求𝑿的分布函数𝑭(𝒙)及 𝑿≤𝟏,

≤𝑿

和𝑷𝟐≤𝑿≤𝟑的值一般地，设离散型 量𝑿的分布律𝑷𝑿= = 𝒌=𝟏,𝟐,由概率的可列可加性得𝑿的分布函𝑭 =𝑷𝑿≤ 𝑷*𝑿=+.§2.5连续型 §2.6§2.7连续型 量、概率密度函 𝑭 =𝑷𝑿≤ 𝒇𝒕 由定义可知，概率密度𝒇(𝒙)具有以下(非负性)𝒇 ≥(归一性 +∞𝒇𝒙𝒅𝒙=𝟏;（由性质2知，介于曲线𝒚=𝒇(𝒙)𝑶𝒙轴之间的面积等于对于任意实数𝒙𝟏𝒙𝟐(𝒙𝟏≤𝑷𝒙𝟏<𝑿≤𝒙𝟐 =𝑭𝒙𝟐 −𝑭

𝒇𝒕即表示X落在区间(𝒙𝟏𝒙𝟐]的概率𝑷*𝒙𝟏<𝑿≤等于区间(𝒙𝟏 =𝒇𝒙.（由该性质知，在𝒇(𝒙)𝒇

𝑭𝒙+ −𝑭(𝒙) 𝑷*𝒙<𝑿≤𝒙+

此形式与物理学中的线密度定义类似，这就是为什么称 𝒙为概密度的缘故。若不计高阶无穷𝑷𝒙<𝑿≤𝒙+ ≈𝒇𝒙 反之，若𝒇(𝒙)具备性质，，引入𝑮 𝒇𝒕𝒅𝒕，它是某一 布函数，则𝒇𝒙是𝑿的概率密度例6:设 量X具有概率密𝒇 𝟔−

𝟎≤𝒙<𝟏/𝟐≤𝒙≤𝟏

𝟎，其它例7:设 量X具有概率密𝒇 𝟐−𝟐

𝟎≤𝒙<𝟑≤𝒙≤𝟒𝟎(1)确定常数𝒌;(2)求𝑿的分布函数𝑭(𝒙);(3)求 𝟏<𝑿≤ 三种主要的连续型 若连续型 量𝑿具有概率密度函𝒇 𝒃−

𝒂<𝒙< 其则称𝑿在区间(𝒂,𝒃)上服从均匀分布，记为𝑿~𝑼(𝒂,若连续型 量𝑿的概率密度𝒇

𝜽

𝒙> 其他服从指数分布的 量𝑿具有 性，即对于任意𝒔,𝒕>𝟎,𝑷𝑿>𝒔+𝒕𝑿> =𝑷*𝑿>(三)态 若连续型 量𝑿的概率密度𝒇

𝟐𝝅

−𝒙−𝝁

−∞<𝒙<其中𝝁,𝝈(𝝈>𝟎)为常数，则称𝑿服从参数为𝝁,𝝈的正 (Gauss)分布，记为𝑿~𝑵(𝝁,𝝈𝟐).若𝑿~𝑵(𝝁𝝈𝟐)曲线关于𝒙=𝝁对称当𝒙=𝝁时取到最𝒇 分布函𝑭

−𝒕−𝝁

若𝑿~𝑵(𝝁𝝈𝟐)特别地，当𝝁=𝟎𝝈=𝟏时，称𝑿服从标准正态分布，𝝋

𝟐𝚽

𝟐

𝒆−𝟐𝒅𝒕由对称𝚽 =𝟏−𝚽𝒙相关标准正态分布函数值可查附表引理：若𝑿~𝑵(𝝁𝝈𝟐)𝒁=𝑿−𝝁~𝑵𝟎,𝟏若𝑿~𝑵(𝝁𝝈𝟐)，对于任意区间(𝒙𝟏𝒙𝟐],𝑷𝒙𝟏<𝑿≤例8：设𝑿~𝑵(𝟓𝟎,𝟏𝟎𝟎)，计算𝑷(𝟒𝟓<𝑿<𝟔𝟐)和𝑷(𝑿− ≤上𝜶设𝑿~𝑵(𝟎,𝟏),若存在一点𝒛𝜶𝑷𝑿>

𝝋𝒕𝒅𝒕=𝜶,𝟎<𝜶<则称点𝒛𝜶为标准正态分布的上𝜶分位点，且由对称性可𝒛𝟏−𝜶=−𝒛𝜶§2.8 量的函数的分例如，已知圆轴截面的直径𝒙的分布,如何求截面𝒚=𝟏𝝅𝒙𝟐的分基本思想：找出𝒀=𝒈(𝑿)已知 量𝑿等价的事件-01设𝒀=𝑿𝟐-01例10.设 量𝑿具有概率密

𝒙𝒇𝑿

𝟎<𝒙<求𝒀=𝑿𝟐的概率密度

例 证明：若𝑿~𝑵(𝝁,𝝈𝟐),𝒁=𝑿−𝝁~𝑵𝟎,𝟏一般，若已知𝑿的概率分布，𝒀=𝒈(𝑿)，求𝒀布的过程为若为离散型 量，则先写出𝒀的所有可能取