基本不等式练习

1．基本不等式eq\x(一)eq\x(层)eq\x(练)eq\x(习)1．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值为()A．10B．6eq\r(3)C．4eq\r(6)D．18eq\r(3)答案:D2．下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋eq\f(1,4))>lgx(x>0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)\f(1,x2＋1)>1(x∈R)解析：应用基本不等式：x，y∈R＋，eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x>0时，x2＋eq\f(1,4)≥2·x·eq\f(1,2)＝x，所以lg(x2＋eq\f(1,4))≥lgx(x>0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有eq\f(1,x2＋1)＝1，故选项D不正确．答案：C3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B，C，当a<0时，b<0时，明显错误．对于D，∵ab>0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.答案：D4．(2022·上海高考理科)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．解析：x2＋2y2＝x2＋(eq\r(2)y)2≥2x(eq\r(2)y)＝2eq\r(2)，所以x2＋2y2的最小值为2eq\r(2).答案：2eq\r(2).eq\x(二)eq\x(层)eq\x(练)eq\x(习)5．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：利用基本不等式转化为关于x＋y的不等式，求解不等式即可．∵2x＋2y≥2eq\r(2x＋y)，2x＋2y＝1，∴2eq\r(2x＋y)≤1，∴2x＋y≤eq\f(1,4)＝2－2，∴x＋y≤－2，即(x＋y)∈(－∞，－2]．答案：D6．若正数x，y满足x＋3y＝5xy.则3x＋4y的最小值是()\f(24,5)\f(28,5)C．5D．6解析：将已知条件进行转化，利用基本不等式求解．∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(3,x)))＝1.∴3x＋4y＝eq\f(1,5)(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(3,x)))＝eq\f(1,5)(eq\f(3x,y)＋4＋9＋eq\f(12y,x))＝eq\f(13,5)＋eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,y)＋\f(12y,x)))≥eq\f(13,5)＋eq\f(1,5)×2eq\r(\f(3x,y)·\f(12y,x))＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.答案：C7．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(z,xy)取得最小值时．x＋2y－z的最大值为()A．0\f(9,8)C．2\f(9,4)解析：含三个参数x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，∴eq\f(z,xy)＝eq\f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1.当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(4y,x)，即x＝2y时“＝”成立，此时z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2.∴当y＝1时，x＋2y－z取最大值2.答案：C8．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()\f(7,2)B．4C.eq\f(9,2)D．5解析：∵a＋b＝2，∴eq\f(a＋b,2)＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＝eq\f(5,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq\f(9,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(2a,b)＝\f(b,2a)，即b＝2a时，等号成立))，故y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为eq\f(9,2).答案：C9．设x，y∈R且xy≠0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))的最小值为________．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))＝5＋eq\f(1,x2y2)＋4x2y2≥5＋2eq\r(\f(1,x2y2)·4x2y2)＝9，当且仅当x2y2＝eq\f(1,2)时，等号成立．答案：910．设a＋b＝2，b>0，则eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)的最小值为________．解析：分a>0和a<0，去掉绝对值符号，用均值不等式求解．当a>0时，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(1,2a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(a＋b,4a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,4a)＋\f(a,b)))≥eq\f(5,4)；当a<0时，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(1,－2a)＋eq\f(－a,b)＝eq\f(a＋b,－4a)＋eq\f(－