软件学生会学习部试卷-线性代数第一章是常数项称式1.1.1为个方

§1.1Gauss消元一般的n元线性方a11x1a

+a12x ++a22x2+

+a1nxn+a2nxn

== am

+am2x2+

+amnxn

=其中x1,x2

,

是未知数

1,2

是常数项。称式(1.1.1)为m个程n个未知数的线性方程组非齐次线性方程组

b1b2,bm齐次线性方程组：若b1b2,

a11x1a21x1

a12x2+a22x2+

+a1nxn =+a2nxn = am1x1

am2x2+

+amnxn =线性方程组的一个解：n元有序

c1c2,cn代入线性方(1.1.1)，即

x1

x2

c2,

xn

cn若(1.1.1)的所有方程变为恒等式式具体解（特解）：解集合中一个特定元解的存在性：解集合是否为空一般的n元齐次线性方程组a11

a1nxna a

a22

a2nxn

am2

amnxn对齐次线性方程组，有非零解解不唯一例

2x2

2x22x4 求解线性方程组：Gauss消元提示：改进已学过的加减消元法求解线性方程组例求解线性方程2

(1)2 23 3

2231(1)

(B1(2)(1)

3

2

2

(2)

(B(4)(1)

2

4

5

(3) 2

5

(3)(2)(4)(2)

3

2(B334(3)

2x33

2 9

(B4 由最后这个阶梯形方程组通过依次回代x1

x2

上述求解线性方程组有两个过程:消元与回代消元过程对方程组进行了如下三种类型的变换以一个非零数乘某个方程（以i

替换i把一个方程的常数倍加到另一个方程上（以

k

i互换两个方程的位置（ij相互替换称上述三种变换为方程组的初等变换上述三种变换都是可逆若

i

(B),

(B)

i

(

(B),

(B)

(

ik

(B),

(B)

ik

(定理1.1.1方程组的初等变换把一个线性消元时约定例 例

x x

x3

注消元的目的就是把原方程组化为阶梯形方22

2

2

64

3 4 4

8 2 2

可简记

A 3 1 2 这个数阵就是矩阵矩阵的定m×n个数

i

构成的m行n列的矩形

a22am

a2n称为mn矩阵.简称mn矩阵.记ammamamaa

. ij

ij 元素是复数的矩阵称为复矩阵ai

,

是aij

mn

的第i行a2·

是a

的第j列··amj

m因此 位

m

的第i行j列称之为矩

mn

(i,j)——元矩阵A,B,C,…abcaibj,aijbija11x1a

+a12x ++a22x2+

+a1nxn+a2nxn

== am

+am2x2+

+amnxn

=令

a22

犏a犏

ma

性方程性方程 A= 犏am am am 注非齐次线性方程组由其增广矩阵唯一确定。程组的三种初等变换对应增广矩阵的下列三种变换

以数k

0乘以某一行的所有

记作Ri´把某一行所有元素的k上去（第j行的k倍加到第i行上,记作Ri +kRj对调两行（对调i,上面三种变换称为矩阵的初等行变换方程组的初等增广矩阵的初等行变 解线性方程22

22

2x33 3x14x25x3

2~2

5 52 4 1 2A2 52 5 11200111120011121 0

x1

x2 x3 2

x3 (2,k

Ri

R 将矩阵A化为B记为A→B，不能记为A＝B阶梯型方程组的增广矩阵也有阶梯的特征。零行在所有非零行的下面。随着行标的增大，每个非零行的首非零元这样形状的矩阵称为阶梯形矩阵阶梯形矩阵

10 零元（称之为主元）．显然,以阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组一定也是阶梯形方程组.因此只要把增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵,即可得所求的阶梯形方程组,从而完成消元过程.法的关键是把增广矩阵用初等行变换化为阶梯形定理1.1.2任一矩阵可通过有限次初等行变初等A初等A增广矩~线性方程回一般阶梯形方回一般阶梯形方程阶梯[C

2

2 2 3 3 解 1 R3(2) 1 R(1) 2 1 3 1 1

0 0x1x2x3取何值，都不会使第三个例

3

2 2 2 4

3 3 4 5

解

8

12A 3 2 1行 0 1 0

3

2 2

3

令

k21

x5

则由(2)可唯一地确定

x1,x3,x11x4满足(21k2k5可任意取值，故由（3）式可知原x11

x2

7 24

1

3x2x5的值是任意取定的，故称之为自由未 解方程2233解 A1x2,x4x5

3 2

2x1x22x4 2x2

(x2,x4,x5为自由未知数 51245124另取x1x2,x4

3

x1

2

2x32x12

6 x

2取x3x4,x5 3

2

注:（1）通常总是取非主元未知数为自由未知(系数不是阶梯形矩阵主元的未知数阶梯形方程组不含“0=0”的方程犏a犏

a

a A= 犏 m m

m ~用初等行变换化为阶梯形矩阵

2r 2n B

dr

dr1 ~~

对应的阶

b1rxr

x x

2r x

2n

dr结情况1：dr1此时，0

dr

情况

dr1

r

b1rxr

x

2r

2n bnn dn

r

x

d

2r

2n

线性方程组解的存在性与唯定理把方程组化为同解的阶梯形方程组若方程组含方程,则方程组无解时,若r=n,则方程组有唯一解；若r<n,则方程组推论若齐次线性方程组中方程的个数少于未注此结论不能推广到非齐次线系数中有参数时，分析参数和解的关系例设有线性方程x1x2x3

x2x3x1

x2

问取何值时,有解?有无穷多个解解对增广矩B 1

2B

2

1 R1×(－1)+

R1×(－

1

2 1 1 12

1

2 123 11

112

00 00

2 当

时 1阶梯

B 0 3,其通解x11

x2xxxx

x2

x3为任意实数x3

当

时

1 1 12 112 B 2

1

2 这时又分两种情1)

x12

x2

x3

222时 4B 6 3 最后方程0例某大学数学系组织全校三年级学生进行数学建模比赛，比赛以组为单位进行。在分组过程中发现，若3个人一组，最后剩余2人，若5人一组，则最后余3人；若7人一组，最后也余2人。已知全校三年级学生人数在800到1000之间。问全校三年级学生有多少人？解:设全校三年级学生人数为x4，按三人一组可分x1组，按5人一组可分x2组，按7人一组可分为x3组，这里x1,x2,x3中均未记剩余。根据已知条件可得ï

2由此可得一般解ïíx2=- 因在此问题中，所涉及的数都是正整数，故我们只需讨论上述方程组的正整数解。为此，需要对解的一般表达式进行变形。x=x= ïïïíx2=ï -x1取正整数，x4只可能为5,8,11,14,17,26,x2取正整数，x4只可能为8,13, 28,x3取正整数，x4只可能为9,16,23,30,另外，3，5，7的最小公倍数是105x4

23

这里k可任意取值则方程的一般解可改写 x1= x2í x3x=ïx=

7+4+3+23+我们只需讨论

取非负整数的情况即由已

＃x

800

可得

977.此k=8k=

于是全校三年级学生数为863或968我们希望:零元素,非零元素尽可能是~阶梯形矩阵B有如下特点：主元为1~ 11 21 1 1 0 B ~为其