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第二章极限与连续§2.1数列与函数的极限§2.2极限的性质与运算§2.3极限存在准则及两个重要极限§2.4无穷小量的性质与无穷小量的阶§2.5函数的连续性§2.6货币的时间价值第二章极限与连续§2.1数列与函数的极限§2.2极限的1§2.1数列与函数的极限一、数列的极限1、数列定义例如:§2.1数列与函数的极限一、数列的极限1、数列定义例如:2
数列作为一种特殊的函数(整标函数),具有函数的某些特性,如单调性、有界性等.数列作为一种特殊的函数(整标函数),3单调数列:有界数列:单调数列:有界数列:4单调且有界的数列称为单调有界数列.单调且有界的数列称为单调有界数列.52.数列的极限由前面的例子有···················2.数列的极限···················6····················7微积分第二章极限与连续课件8因此上段中所列举的数列中有注意如果定义中的常数A不存在,则称数列发散或没有极限.因此上段中所列举的数列中有注意如果定义中的常数A不存在,则称9二、函数的极限1、时,函数的极限二、函数的极限1、时,函数的极限10x0y(0,1)x0y(0,1)112、时,函数的极限2、时,函数的极限123.时,函数的极限记作:注意或对函数,当无限增大时,函数值无限趋近于常数A,则称常数A为当时,函数的极限.3.时,函数的极限记作:注意或13如:x0y(0,1)如:x0y(0,1)14微积分第二章极限与连续课件155.左极限5.左极限166.右极限6.右极限17例4:例4:18解:解:19微积分第二章极限与连续课件20微积分第二章极限与连续课件21时函数的极限是否存在,与在处是否有定义无关,只与在的空心邻域内定义有关注意例如:函数在时的极限为函数在处的极限为函数在处的极限为222yAx123时函数的极限是否存在,与在处是否有定义无关,只与22微积分第二章极限与连续课件23作业P22:T3;P52:T9(2);T11(1),(2).先看书再做练习作业P22:T3;先看书24三、无穷小量与无穷大量1、无穷小量三、无穷小量与无穷大量1、无穷小量25例如:注:(1)无穷小量是极限为零的变量,不要把一个很小很小的数说成是无穷小量,常数中只有0是无穷小量.(2)说一个变量为无穷小量,必须指明自变量的变化趋势.(3)单侧也成立.例如:注:(1)无穷小量是极限为零的变量,不要把一个很小很小262、无穷大量2、无穷大量27如例:(1)无穷大量是具有绝对值无限增大这种变化趋势的变量,任何一个绝对值很大的数都不是无穷大量;(2)说一个变量为无穷大量,必须指明自变量的变化趋势.注:(3)单侧也成立.如例:(1)无穷大量是具有绝对值无限增大这种变化趋势的变量,28无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系29注意注意30§2.2极限的性质与运算一、极限的性质§2.2极限的性质与运算一、极限的性质31定理(局部比较性):定理(局部比较性):32二、极限的运算法则二、极限的运算法则33微积分第二章极限与连续课件34注:以上法则对任一自变量变化趋势均成立.注:以上法则对任一自变量变化趋势均成立.35定理(复合函数的极限):定理(复合函数的极限):36微积分第二章极限与连续课件37微积分第二章极限与连续课件38微积分第二章极限与连续课件39微积分第二章极限与连续课件40去零因子法去零因子法41微积分第二章极限与连续课件42微积分第二章极限与连续课件43“抓大头”“抓大头”44微积分第二章极限与连续课件45综合例6—8可得有理函数的极限运算公式综合例6—8可得有理函数的极限运算公式46微积分第二章极限与连续课件47例9:例9:48微积分第二章极限与连续课件49去零因子法去零因子法50微积分第二章极限与连续课件51微积分第二章极限与连续课件52P63:T7(6),(10);P64:T8(3);P94:T2(3),(5).作业先看书再做练习P63:T7(6),(10);作业先看书53§2.3极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则及两个重要极限§2.3极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则及两个重54例1:例1:55微积分第二章极限与连续课件56XSinx/x±1.0±0.5±0.4±0.3±0.2±0.1±0.05±0.01±0.005±0.0010.841470980.958851080.973545860.985067360.993346650.998334170.999983390.999983330.999995830.99999983XSinx/x±1.00.8414709857第一个重要极限:应用夹逼定理可以证得.注意第一个重要极限:应用夹逼定理可以证得.注意58例2:解:例3:解:例2:解:例3:解:59推广:注意(1)上下形式要一致;(2)凑的形式在所给自变量的变化趋势下的趋向要与重要极限的趋向一致即趋于0.推广:注意(1)上下形式要一致;60例4:解:例5:解:例4:解:例5:解:61例6:例6:62练一练求下列各组极限解答练一练求下列各组极限解63微积分第二章极限与连续课件64定理:单调有界数列必有极限定理:单调有界数列必有极限65例7:解:先证数列存在极限由数学归纳法知{xn}为单调递增数列
例7:解:先证数列存在极限由数学归纳法知{xn}为单66
又由于
由数学归纳法知{xn}有上界,所以{xn}单调递增且有界,故n→∞时,极限存在.又由于由数学归纳法知{xn}有上界67
再求极限再求极限68第二个重要极限:1.幂指函数;2.底数是1与无穷小量之和;指数与底数中的无穷小量成颠倒关系.特点利用准则2,可以证明第二个重要极限推广:注意(1),(2)同前第二个重要极限:1.幂指函数;2.底数是1与无穷小量之和;指69例8:例9:例8:例9:70例10:例11:例10:例11:71§2.4无穷小量的性质与无穷小量的阶一、无穷小量的性质推论:有限个无穷小量的代数和还是无穷小量.注意无数个无穷小量的代数和不一定是无穷小量.§2.4无穷小量的性质与无穷小量的阶一、无穷小量的性质推论72推论:有限个无穷小量的乘积是无穷小量推论:常数与无穷小量的乘积是无穷小量.推论:有限个无穷小量的乘积是无穷小量推论:常数与无穷小量的乘73微积分第二章极限与连续课件74微积分第二章极限与连续课件75微积分第二章极限与连续课件76练一练求下列极限解答练一练求下列极限解77(3)(3)78作业P71:T2(3),(5);T3(1),(3);P77:T1(2),(3).先看书再做练习作业P71:T2(3),(5);先看书79作业讲评x0y首先要正确的识别题型,书写时极限号不可少写也不可多写。作业讲评x0y首先要正确的识别题型,书写时极限号不可少写也不80二、无穷小量的阶二、无穷小量的阶81注意注意82微积分第二章极限与连续课件83微积分第二章极限与连续课件84例13:例13:85例14:例14:86例15:例15:87常用的等价无穷小量常用的等价无穷小量88三、应用等价无穷小量代换求函数的极限三、应用等价无穷小量代换求函数的极限89在某些情况下用此法可简化运算.例16:在某些情况下用此法可简化运算.例16:90例17:例17:91例18:例18:92例19:例19:93补充三角函数的和差化积与积化和差补充三角函数的和差化积与积化和差94应用等价无穷小量代换可简化求极限的运算,但要注意遵循相应定理的条件.解:以下解法是错误的应用等价无穷小量代换可简化求极限的运算,但要注意遵循相应定理95正确的解法是:注意变量乘除关系可用无穷小量代替,其它运算关系用无穷小量代替尤其要慎重.正确的解法是:注意变量乘除关系可用无穷小量代替,96§2.5函数的连续性一、函数的增量§2.5函数的连续性一、函数的增量97注意注意98二、函数的连续性二、函数的连续性99微积分第二章极限与连续课件100微积分第二章极限与连续课件101例1:例1:102微积分第二章极限与连续课件103微积分第二章极限与连续课件104例2:例2:105
106注意注意107微积分第二章极限与连续课件108微积分第二章极限与连续课件109例3:例3:110作业先看书再做练习P77:T5(2),(4);P95:T6作业先看书P77:T5(2),(4);111在点处连续以上三个条件只要有一条不满足,即在点处间断,为函数的间断点.间断点的分类:第一类间断点特点:左、右极限都存在在点处不连续.函数三、函数的间断点及其分类可去间断点;跳跃间断点;在点处连续以上三个条件只要有一条不满足,即在点处间断,为函数112例如.函数在的邻域内有定义.又如函数在处,-1xyo1为跳跃间断点.例如.函数在的邻域内有定义.又如函数在处,-1xyo1为跳跃113可去间断点无论在点处是否有定义,通过补充定义或重新定义 得函数若为的跳跃间断点,为在点处的跳跃度.则 在点处连续,称为的连续延拓.可去间断点无论在点处是否有定义,114例4:解:图象:xy011○●重新定义:·例4:解:图象:xy011○●重新定义:·115例5:讨论函数 在处的连续性xy1-10○○例5:讨论函数 在处的连续性xy1116求f(x)的表达式,并求出它的间断点解:
求f(x)的表达式,并求出它的间断点117第二类间断点特点:左、右极限至少有一个不存在.无定义,从而间断.因称为函数的第二类间断点.第二类间断点又分无穷间断点和振荡间断点第二类间断点特点:左、右极限至少有一个不存在.无定义,从而间118例7:解:因为在处没有定义,所以不连续是的间断点图象:xy0称 为函数的是第二类间断点.(无穷间断点)例7:解:因为在119例8:讨论函数 在处的连续性解:因为 在处无定义,从而间断.所以为的第二类间断点(无穷间断点).图象:例8:讨论函数 在120例8:讨论函数在x=0处的连续性解:函数 在点x=0处没有定义从而间断;当x→0时,函数值在-1与+1之间变动无限多次,所以点x=0称为函数 的第二类间断点(振荡间断点)图象:例8:讨论函数在x=0处121四、连续函数的运算四、连续函数的运算122证:
证:123微积分第二章极限与连续课件124微积分第二章极限与连续课件125例9:例9:126例10:例10:127例12:例12:128微积分第二章极限与连续课件129例13:例13:130例14:例14:131例如,在上连续单调递增,在[-1,1]上也连续单调递增.其反函数例如,在上连续单调递增,在[-1,1]上也连续单调递132的连续区间为的连续区间为133例15:例15:134例16:例16:135例17:例17:136微积分第二章极限与连续课件137微积分第二章极限与连续课件138注意注意139练一练解答练一练解140五、闭区间上连续函数的性质如图所示:f(x)在点ξ1及ξ2处取 得最大值M,而在ξ3=b处 取得最小值m.x0mybaMξ1ξ2ξ3此定理表明:如果f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点ξ1∈[a,b]使f(ξ1)=M,至少存在一点ξ3∈[a,b]使f(ξ3)=m.此处是充分条件,但缺一不可,如果f(x)不是在闭区间[a,b]上连续,则定理的结论就不一定成立.五、闭区间上连续函数的性质如图所示:x0mybaMξ141例如,函数开区间(0,1)内连续,但在该区间内无最大值和最小值.
又如,
[0,2]上该函数也无最大值和最小值.
例如,函数开区间(0,1)内连续,但在该区间内无最大值和最小142再如:(非必要)再如:(非必要)143微积分第二章极限与连续课件144此定理也是充分条件,但缺一不可,如果f(x)不是在闭区间[a,b]上连续,则定理的结论也不一定成立.例如,
又如,
由前面讨论知该函数有最大值和最小值,当然有界.(非必要)再如:此定理也是充分条件,但缺一不可,如果f(x)不是在闭区145bxξ3ξ2ξ1a0f(a)f(b)Cybxξ3ξ2ξ1a0f(a)f(b)Cy146表明:连续函数的函数值一定取遍介于端点函数值中间的每一个值,不会漏掉任何一个.推论:闭区间上连续函数必取得介于其最大值、最小值之间的任何值.推论(零值定理):表明:连续函数的函数值一定取遍介于端点函数值中间的每一个值,147xba0yξ1ξ2ξ3xba0yξ1ξ2ξ3148例18:例18:149例19:例19:150例20:证明:用反证法由零值定理知例20:证明:用反证法由零值定理知151P88:T5(2),(6);P89:T6(5),(8);T8.作业先看书再做练习P88:T5(2),(6);作业先看书152练一练解答练一练解153例21:
对任意的必存在一点证:使令,则使故由零值定理知,存在即当时,取或,则有证明:例21:对任意的必存在一点证:使令,则使故由零值定理知1542.6货币的时间价值
货币的时间价值是指由于时间的推移在不同时点上价值量的变化。货币的时间价值量的大小取决于三个基本因素,即本金、期限、利息率。货币的时间价值通常用终值与现值表现。终值:期末本利和现值:本金2.6货币的时间价值货币的时间价值是指由于时间的1551.单利单利计息是指计算利息时,只按本金和规定的利息率计算利息,每期的利息不再加入本金内重复计算利息。设现值(本金):利息:期利率:期数:终值:则利息终值现值1.单利单利计息是指计算利息时,只按本金和1562.复利复利计息是指计算利息时把每期的利息加入本金内重复计算利息。设现值(本金):期利率:期数:终值:则终值现值2.复利复利计息是指计算利息时把每期的利息1573.连续复利连续复利计息是指计息期限无限缩短,即期数趋于无穷。设现值(本金):年利率:第t年末的分期复利终值:一年中的均匀计息期数:第t年末的连续复利终值:3.连续复利连续复利计息是指计息期限无限缩158则第一期末的终值则第一年末的终值第二期末的终值第二年第一期末的终值则第一期末的终值则第一年末的终值第二期末的终值第二年第一期末159第t年末的连续复利终值:则第t年末的终值第二年第二期末的终值则第二年末的终值第t年末的连续复利终值:则第t年末的终值第二年第二期末的终值160第二章极限与连续§2.1数列与函数的极限§2.2极限的性质与运算§2.3极限存在准则及两个重要极限§2.4无穷小量的性质与无穷小量的阶§2.5函数的连续性§2.6货币的时间价值第二章极限与连续§2.1数列与函数的极限§2.2极限的161§2.1数列与函数的极限一、数列的极限1、数列定义例如:§2.1数列与函数的极限一、数列的极限1、数列定义例如:162
数列作为一种特殊的函数(整标函数),具有函数的某些特性,如单调性、有界性等.数列作为一种特殊的函数(整标函数),163单调数列:有界数列:单调数列:有界数列:164单调且有界的数列称为单调有界数列.单调且有界的数列称为单调有界数列.1652.数列的极限由前面的例子有···················2.数列的极限···················166····················167微积分第二章极限与连续课件168因此上段中所列举的数列中有注意如果定义中的常数A不存在,则称数列发散或没有极限.因此上段中所列举的数列中有注意如果定义中的常数A不存在,则称169二、函数的极限1、时,函数的极限二、函数的极限1、时,函数的极限170x0y(0,1)x0y(0,1)1712、时,函数的极限2、时,函数的极限1723.时,函数的极限记作:注意或对函数,当无限增大时,函数值无限趋近于常数A,则称常数A为当时,函数的极限.3.时,函数的极限记作:注意或173如:x0y(0,1)如:x0y(0,1)174微积分第二章极限与连续课件1755.左极限5.左极限1766.右极限6.右极限177例4:例4:178解:解:179微积分第二章极限与连续课件180微积分第二章极限与连续课件181时函数的极限是否存在,与在处是否有定义无关,只与在的空心邻域内定义有关注意例如:函数在时的极限为函数在处的极限为函数在处的极限为222yAx123时函数的极限是否存在,与在处是否有定义无关,只与182微积分第二章极限与连续课件183作业P22:T3;P52:T9(2);T11(1),(2).先看书再做练习作业P22:T3;先看书184三、无穷小量与无穷大量1、无穷小量三、无穷小量与无穷大量1、无穷小量185例如:注:(1)无穷小量是极限为零的变量,不要把一个很小很小的数说成是无穷小量,常数中只有0是无穷小量.(2)说一个变量为无穷小量,必须指明自变量的变化趋势.(3)单侧也成立.例如:注:(1)无穷小量是极限为零的变量,不要把一个很小很小1862、无穷大量2、无穷大量187如例:(1)无穷大量是具有绝对值无限增大这种变化趋势的变量,任何一个绝对值很大的数都不是无穷大量;(2)说一个变量为无穷大量,必须指明自变量的变化趋势.注:(3)单侧也成立.如例:(1)无穷大量是具有绝对值无限增大这种变化趋势的变量,188无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系189注意注意190§2.2极限的性质与运算一、极限的性质§2.2极限的性质与运算一、极限的性质191定理(局部比较性):定理(局部比较性):192二、极限的运算法则二、极限的运算法则193微积分第二章极限与连续课件194注:以上法则对任一自变量变化趋势均成立.注:以上法则对任一自变量变化趋势均成立.195定理(复合函数的极限):定理(复合函数的极限):196微积分第二章极限与连续课件197微积分第二章极限与连续课件198微积分第二章极限与连续课件199微积分第二章极限与连续课件200去零因子法去零因子法201微积分第二章极限与连续课件202微积分第二章极限与连续课件203“抓大头”“抓大头”204微积分第二章极限与连续课件205综合例6—8可得有理函数的极限运算公式综合例6—8可得有理函数的极限运算公式206微积分第二章极限与连续课件207例9:例9:208微积分第二章极限与连续课件209去零因子法去零因子法210微积分第二章极限与连续课件211微积分第二章极限与连续课件212P63:T7(6),(10);P64:T8(3);P94:T2(3),(5).作业先看书再做练习P63:T7(6),(10);作业先看书213§2.3极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则及两个重要极限§2.3极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则及两个重214例1:例1:215微积分第二章极限与连续课件216XSinx/x±1.0±0.5±0.4±0.3±0.2±0.1±0.05±0.01±0.005±0.0010.841470980.958851080.973545860.985067360.993346650.998334170.999983390.999983330.999995830.99999983XSinx/x±1.00.84147098217第一个重要极限:应用夹逼定理可以证得.注意第一个重要极限:应用夹逼定理可以证得.注意218例2:解:例3:解:例2:解:例3:解:219推广:注意(1)上下形式要一致;(2)凑的形式在所给自变量的变化趋势下的趋向要与重要极限的趋向一致即趋于0.推广:注意(1)上下形式要一致;220例4:解:例5:解:例4:解:例5:解:221例6:例6:222练一练求下列各组极限解答练一练求下列各组极限解223微积分第二章极限与连续课件224定理:单调有界数列必有极限定理:单调有界数列必有极限225例7:解:先证数列存在极限由数学归纳法知{xn}为单调递增数列
例7:解:先证数列存在极限由数学归纳法知{xn}为单226
又由于
由数学归纳法知{xn}有上界,所以{xn}单调递增且有界,故n→∞时,极限存在.又由于由数学归纳法知{xn}有上界227
再求极限再求极限228第二个重要极限:1.幂指函数;2.底数是1与无穷小量之和;指数与底数中的无穷小量成颠倒关系.特点利用准则2,可以证明第二个重要极限推广:注意(1),(2)同前第二个重要极限:1.幂指函数;2.底数是1与无穷小量之和;指229例8:例9:例8:例9:230例10:例11:例10:例11:231§2.4无穷小量的性质与无穷小量的阶一、无穷小量的性质推论:有限个无穷小量的代数和还是无穷小量.注意无数个无穷小量的代数和不一定是无穷小量.§2.4无穷小量的性质与无穷小量的阶一、无穷小量的性质推论232推论:有限个无穷小量的乘积是无穷小量推论:常数与无穷小量的乘积是无穷小量.推论:有限个无穷小量的乘积是无穷小量推论:常数与无穷小量的乘233微积分第二章极限与连续课件234微积分第二章极限与连续课件235微积分第二章极限与连续课件236练一练求下列极限解答练一练求下列极限解237(3)(3)238作业P71:T2(3),(5);T3(1),(3);P77:T1(2),(3).先看书再做练习作业P71:T2(3),(5);先看书239作业讲评x0y首先要正确的识别题型,书写时极限号不可少写也不可多写。作业讲评x0y首先要正确的识别题型,书写时极限号不可少写也不240二、无穷小量的阶二、无穷小量的阶241注意注意242微积分第二章极限与连续课件243微积分第二章极限与连续课件244例13:例13:245例14:例14:246例15:例15:247常用的等价无穷小量常用的等价无穷小量248三、应用等价无穷小量代换求函数的极限三、应用等价无穷小量代换求函数的极限249在某些情况下用此法可简化运算.例16:在某些情况下用此法可简化运算.例16:250例17:例17:251例18:例18:252例19:例19:253补充三角函数的和差化积与积化和差补充三角函数的和差化积与积化和差254应用等价无穷小量代换可简化求极限的运算,但要注意遵循相应定理的条件.解:以下解法是错误的应用等价无穷小量代换可简化求极限的运算,但要注意遵循相应定理255正确的解法是:注意变量乘除关系可用无穷小量代替,其它运算关系用无穷小量代替尤其要慎重.正确的解法是:注意变量乘除关系可用无穷小量代替,256§2.5函数的连续性一、函数的增量§2.5函数的连续性一、函数的增量257注意注意258二、函数的连续性二、函数的连续性259微积分第二章极限与连续课件260微积分第二章极限与连续课件261例1:例1:262微积分第二章极限与连续课件263微积分第二章极限与连续课件264例2:例2:265
266注意注意267微积分第二章极限与连续课件268微积分第二章极限与连续课件269例3:例3:270作业先看书再做练习P77:T5(2),(4);P95:T6作业先看书P77:T5(2),(4);271在点处连续以上三个条件只要有一条不满足,即在点处间断,为函数的间断点.间断点的分类:第一类间断点特点:左、右极限都存在在点处不连续.函数三、函数的间断点及其分类可去间断点;跳跃间断点;在点处连续以上三个条件只要有一条不满足,即在点处间断,为函数272例如.函数在的邻域内有定义.又如函数在处,-1xyo1为跳跃间断点.例如.函数在的邻域内有定义.又如函数在处,-1xyo1为跳跃273可去间断点无论在点处是否有定义,通过补充定义或重新定义 得函数若为的跳跃间断点,为在点处的跳跃度.则 在点处连续,称为的连续延拓.可去间断点无论在点处是否有定义,274例4:解:图象:xy011○●重新定义:·例4:解:图象:xy011○●重新定义:·275例5:讨论函数 在处的连续性xy1-10○○例5:讨论函数 在处的连续性xy1276求f(x)的表达式,并求出它的间断点解:
求f(x)的表达式,并求出它的间断点277第二类间断点特点:左、右极限至少有一个不存在.无定义,从而间断.因称为函数的第二类间断点.第二类间断点又分无穷间断点和振荡间断点第二类间断点特点:左、右极限至少有一个不存在.无定义,从而间278例7:解:因为在处没有定义,所以不连续是的间断点图象:xy0称 为函数的是第二类间断点.(无穷间断点)例7:解:因为在279例8:讨论函数 在处的连续性解:因为 在处无定义,从而间断.所以为的第二类间断点(无穷间断点).图象:例8:讨论函数 在280例8:讨论函数在x=0处的连续性解:函数 在点x=0处没有定义从而间断;当x→0时,函数值在-1与+1之间变动无限多次,所以点x=0称为函数 的第二类间断点(振荡间断点)图象:例8:讨论函数在x=0处281四、连续函数的运算四、连续函数的运算282证:
证:283微积分第二章极限与连续课件284微积分第二章极限与连续课件285例9:例9:286例10:例10:287例12:例12:288微积分第二章极限与连续课件289例13:例13:290例14:例14:291例如,在上连续单调递增,在[-1,1]上也连续单调递增.其反函数例如,在上连续单调递增,在[-1,1]上也连续单调递292的连续区间为的连续区间为293例15:例15:294例16:例16:295例17:例17:296微积分第二章极限与连续课件297微积分第二章极限与连续课件298注意注意299练一练解答练一练解300五、闭区间上连续函数的性质如图所示:f(x)在点ξ1及ξ2处取 得最大值M,而在ξ3=b处 取得最小值m.x0mybaMξ1ξ2ξ3此定理表明:如果f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点ξ1∈[a,b]使f(ξ1)=M,至少存在一点ξ3∈[a,b]使f(ξ3)=m.此处是充分条件,但缺一不可,如果f(x)不是在闭区间[a,b]上连续,则定理的结论就不一定成立.五、闭区间上连续函
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