数字地形测量学课件第三章-测量误差基本知识

《数字地形测量学》编写小组第三章测量误差基本知识主讲老师：联系电话：电子邮件：《数字地形测量学》《数字地形测量学》编写小组第三章测量误差基本知识主讲老师第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念一、测量误差产生的原因二、测量误差的分类与处理原则三、偶然误差的特性§3.1测量误差概念一、测量误差产生的原因§3.1测量误差概念一、测量误差产生的原因产生测量误差的三个因素：仪器原因—仪器精度的局限性,轴系残余误差等；人的原因—判断力和分辨力的限制,经验缺乏等；外界影响—气象因素如温度变化,风力,大气折光等

。结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件—上述三大因素总称为观测条件观测精度—在观测条件基本相同的情况下进行的观测，称为“等精度观测”；否则，称为“不等精度观测”。§3.1测量误差概念一、测量误差产生的原因产生测量误差的三个因素：结论：观测误差二、测量误差的分类与处理原则（一）系统误差

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果误差的出现在符号(正负号)和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。

按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统误差、偶然误差和粗差。§3.1测量误差概念二、测量误差的分类与处理原则（一）系统误差在相同的观测

钢尺尺长误差Dk

钢尺检定,尺长改正

钢尺温度误差Dt

钢尺检定,温度改正

水准仪视准轴误差

i

中间法水准,前后视等距

经纬仪视准轴误差C

盘左盘右观测,取平均值

对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施§3.1测量误差概念对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施§3.1

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。（三）粗差

由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为“粗差”(俗称错误)，应避免和舍弃粗差。（二）偶然误差§3.1测量误差概念在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符（四）误差处理原则粗差—细心观测，用多余观测和几何条

件来发现，将含有粗差的观测值剔除。系统误差—找出发生规律，用观测方法和加改正值等方法抵消。偶然误差—用多余观测减少其影响，利用几何条件检核，用“限差”来限制。§3.1测量误差概念（四）误差处理原则粗差—细心观测，用多余观测和几何三、偶然误差的特性偶然误差的定义

设某一量的真值为X，对该量进行n

次观测，得n个观测值，产生n个真误差l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值与观测值之差定义为“真误差”,真误差属于偶然误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中,在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道真值,例如三角形三个内角之和为180°(真值),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和的真误差(称为三角形角度闭合差)。§3.1测量误差概念三、偶然误差的特性偶然误差的定义l1,l2,…,l

多次观测中寻找偶然误差的规律：

对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和

(i+i+i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：i

=180°–

(

i

+

i+

i)观测数据统计结果列于表5-1,据此分析三角形内角和的真误差i

的分布规律。§3.1测量误差概念多次观测中寻找偶然误差的规律：§3.1测量误

表3-1

偶然误差的统计误差区间

dΔ"负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000§3.1测量误差概念表3-1偶然误差的统计误差区间偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差不超过一定数值；渐降性：误差绝对值小的出现的频率大，误差绝对值大的出现的频率小；对称性：绝对值相等的正负误差频率大致相等；抵偿性：当观测次数无限增大时，由于正负相消，偶然误差的平均值趋近于零。用公式表示为：三角形闭合差的频率直方图§3.1测量误差概念偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差不超过一定数值

正态分布曲线以及标准差和方差

在统计理论上如果观测次数无限增多(n→∞)，而误差区间dΔ又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的曲线，在统计学中称为偶然误差的“正态分布曲线”,其数学方程式为：式中参数σ称为“标准差”,其平方σ

2

称为“方差”,方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：标准差的计算式：§3.1测量误差概念正态分布曲线以及标准差和方差在统计理论上如果观测次第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准一、中误差用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，用标准差计算式求得的称为“中误差”，其计算式为：选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭合差，分别按上式在表5-2中计算中误差，得到：第1组:

m1=

±2.7″第2组:

m2=

±3.6″可见第1组的观测精度高于第2组。§3.2衡量精度的标准一、中误差用标准差衡量测量观按观测值的改正值计算中误差表3-2§3.2衡量精度的标准按观测值的改正值计算中误差表3-2§3.2衡量精度的标准m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值误差的正态分布曲线的比较：m1=

2.7m2=

3.6不同中误差的正态分布曲线§3.2衡量精度的标准m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；两组观测值误差

二、相对中误差三、极限误差

某些观测值的精度如果仅用中误差衡量，还不能正确反映其质量，例如，距离测量误差应与长度成正比。观测值的中误差除以观测量，称为“相对中误差”(简称相对误差)，例如200m距离的测距中误差为2cm,测距的相对误差为1∶10000;

500m距离测距中误差也为2cm，则测距相对误差为1∶25000；后者精度高于前者。

根据正态分布方程式，可以表示误差出现在微小区间dΔ的概率：§3.2衡量精度的标准

二、相对中误差三、极限误差某些观测值的精度如果仅用

将上式积分，得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率。设以k倍中误差作为区间,则在此区间中误差出现的概率：分别以k=1,k=2,k=3代入上式，可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、2倍中误差、3倍中误差的概率：

由此可见，大于2倍中误差出现的概率小于5％，大于3倍中误差出现的概率小于0.3％。因此，测量工作中以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“允许误差”或“限差”。§3.2衡量精度的标准将上式积分，得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.3算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值在相同的观测条件下，对某一量进行n次观测，观测值为li

(i=1～n),取其算术平均值作为该量的最可靠的数值（故也称“最或然值”）：算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然误差的特性来证明：§3.3算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值证明算术平均值是最或然值按真值计算各个观测值的真误差：将上列等式相加，并除以n,得到：故算术平均值比较接近于真值，而成为最可靠的数值：§3.3算术平均值及观测值的中误差证明算术平均值是最或然值按真值计算各个观测值的真误差：将上列二、观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称改正值)

v

:对［vv]求极小值：算术平均值符合最小二乘法原理取改正值总和：说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。§3.3算术平均值及观测值的中误差二、观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”三、观测值的精度评定在同样观测条件下对某一量进行n次观测，求得算术平均值及观测值的各个改正值v，据此计算观测值的中误差：对比按真误差Δ计算中误差的公式：两者差别仅在于以（n－1）代替n，以代替真值X：两式取总和并顾及偶然误差的相消性，可以证明：因此可以按观测值的改正值计算中误差§3.3算术平均值及观测值的中误差三、观测值的精度评定在同样观测条件下对某一量进行n次观测，求算术平均值计算的实用公式由于各个观测值相差很小，为计算方便令其数值的相同部分为l0

,差异部分为Δl，即li

=l0+Δli

,算术平均值的实用公式：按各个观测值的改正值计算观测值中误差的公式：§3.3算术平均值及观测值的中误差算术平均值计算的实用公式由于各个观测值相差很小，按观测值的改正值计算中误差的算例

（一段水平距离的多次观测）

次序观测值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv(cm2)

算术平均值及观测值中误差1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017(m)观测值中误差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26

§3.3算术平均值及观测值的中误差按观测值的改正值计算中误差的算例

（一段水平距离的多次计算算术平均值及其中误差的小结：已知真值X,进行n次观测，则计算观测值的真误差与中误差。真值不知,则进行n次观测，计算算术平均值、改正值及其中误差。中误差：真误差：中误差：改正值：算术平均值：§3.3算术平均值及观测值的中误差计算算术平均值及其中误差的小结：已知真值X,进行n次观测，则第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.4

误差传播定律一、观测值的函数测量所采集的数据(量)并非都是直接观测值，而是观测值的函数。观测值的误差使其函数也具有一定的误差。例如：和差函数—例如算术平均值例如斜距改平例如分段量距相加例如图上量长度,化为实地长度倍函数—线性函数—一般函数—§3.4误差传播定律一、观测值的函数和差函数—例如算术平二、一般函数的中误差举例说明：矩形地块，量长度a、宽度b，求其面积P。面积是观测值长度a和宽度b的函数，函数式为：对函数式中的自变量a、b求偏微分:将微分元素以偶然误差Δi代替面积误差(图中阴影面积)具有直观的几何意义§3.4

误差传播定律二、一般函数的中误差举例说明：矩形地块，量长度a、宽度b，对于上述地块的长度和宽度进行n次观测：上列n个等式平方后取其总和，并除以n,得到：根据偶然误差的抵偿性，得到：按照中误差的定义，上式可改写为求面积中误差公式：§3.4

误差传播定律对于上述地块的长度和宽度进行n次观测：上列n个等式平方后取其对于一般函数（包括和差函数、倍函数、线性函数）：误差传播定律—

一般函数的中误差计算式中xi为自变量(独立观测值)，设mi

为观测值的中误差，Z

为独立变量的函数。则Z

的中误差为：式中为各个变量的偏导数。§3.4

误差传播定律对于一般函数（包括和差函数、倍函数、线性函数）：误差传播定律三、线性函数和倍函数的中误差线性函数：自变量的偏导数：按照误差传播定律，得到线性函数的中误差：算术平均值也属于观测值的线性函数，根据误差传播定律：§3.4

误差传播定律三、线性函数和倍函数的中误差线性函数：自变量的偏导数由于是等精度观测,因此m1

=

m2

=

…

=

mn

=

m由此可见，算术平均值的中误差比观测值的中误差小倍。如果线性函数只有一个自变量：,则成为倍函数，其中误差为：上式中的系数k，即为误差扩大的倍数。§3.4

误差传播定律由于是等精度观测,因此m1=m2=…=mn=函数式为：D=500

d实地距离和量距中误差为：该距离及其中误差可以写成：

例：量得比例尺为1∶500的地形图上两点间长度d

=134.7mm,图上量距中误差为

0.2mm,换算为实地距离D

和量距中误差mD。§3.4

误差传播定律函数式为：D=500d该距离及其中误差可以写成：其他线性函数，例如和差函数：其中误差均为：和差函数的中误差计算方式也可用于多种独立误差来源的观测值中误差的计算。例如用测角仪器观测水平方向时，同时受到对中、瞄准、读数、仪器误差、大气折光等误差影响，观测水平方向的偶然误差是这些误差的代数和：故观测水平方向的中误差为：其他线性函数，例如和差函数：其中误差均为：和差函数的中误差计第一步：写出包含各个自变量(独立观测值)的函数式第二步：写出全微分式(计算对各个自变量的偏导数)第三步：按误差传播定律写出中误差关系式注意：误差传播定律只适用于将各个独立观测值作为自变量。如果观测值之间是相关的，则得到的结果将是不严格的。函数式：函数中误差：§3.4

误差传播定律-小结第一步：写出包含各个自变量(独立观测值)的函数式函数式：函数例1、距离测量的精度光电测距的误差来源有：仪器误差、气温气压测定误差、仪器对中误差、倾斜改正垂直角测定误差等。这里仅讨论前二者，即仪器频率调制误差d

f、测定相位的误差dΔφ

以及气象测定误差影响折射率d

n。斜距测定的函数式对各个自变量求偏导数得到真误差关系式§3.4

误差传播定律-应用例1、距离测量的精度光电测距的误差来源有：仪器误差、气温气用误差传播定律得到光电测距中误差的估算式：上式根号内第一项为测定相位误差的影响，它与距离长短无关，称为“常误差a”；第二、第三相为气象测定误差与频率误差的影响，它们均与距离长度成正比，称为“比例误差b”。因此,光电测距的误差估算式：

上式常作为测距仪本身的精度指标，a

的单位为mm，b为百万分率，即每公里的毫米数(mm

/

km)。§3.4

误差传播定律-应用用误差传播定律得到光电测距中误差的估算式：上式根号内第一项为例2、角度测量的精度

DJ6级经纬仪和6秒级全站仪一测回方向观测值中误差m

=±6″，水平角为两个方向观测值之差，故一测回水平角观测的中误差为：

一测回水平角取盘左盘右角度的平均值，故半测回水平角值的中误差为：盘左、盘右水平角值之差的中误差为：以2倍中误差作为极限误差为±34″(一般规定40″)§3.4

误差传播定律-应用例2、角度测量的精度DJ6级经纬仪和6秒级全站仪一测回多边形水平角观测角度闭合差的规定

多边形内角(水平角β)之和在理论上应为(n-2)180°,由于水平角观测中的偶然误差，产生角度闭合差：每个角度的测角中误差为mβ

,则n个角度之和的中误差:以2倍中误差作为极限误差,则n边形的角度的允许闭合差

例：设水平角观测的中误差mβ

=±18″,则三角形的允许角度闭合差：§3.4

误差传播定律-应用多边形水平角观测角度闭合差的规定每个角度的测角中误差为mβ例3、水准测量的精度

水准测量高差测定的计算式h

=

a

-

b,设用S3水准仪在水准尺读数的中误差m

=

±

1

mm，则一次测定高差的中误差：两次测定高差之差Δh

=

h1-

h2

,则高差之差的中误差：

以2倍中误差作为极限误差,则允许的高差之差为±4

mm§3.4

误差传播定律-应用例3、水准测量的精度水准测量高差测定的计算式h=水准路线高差测定的精度

在一条附合水准路线进行水准测量,共设n个测站,其高差的总和：设水准尺读数误差为m,每次高差测定中误差为mh,则线路的高差总和的中误差：设水准线路长度为L,各测站前、后视平均长度为d,单位长度的高差测量中误差为m0,则：，，L以公里为单位m0为每公里高差测量中误差§3.4

误差传播定律-应用水准路线高差测定的精度

在一条附合水准路线进行水准测量,共设上式说明：水准测量的精度与水准路线的长度的平方根成正比。水准测量的等级以每公里高差测量的中误差mo作为精度指标：水准测量等级一等二等三等四等

mo±1

mm±2

mm±6

mm±10

mm据此,可以按水准测量等级和设计水准路线长度,估算水准测量全程的高差中误差。例如,路线长5km的四等水准测量的精度：§3.4

误差传播定律-应用上式说明：水准测量的精度与水准路线的长度的平方根水准测量等级例4、坐标计算的精度

两点之间,如果已测定其水平距离D和方位角α,则可按下式计算其坐标增量：对观测值(自变量)D和α求偏导数,得到函数式的全微分：按误差传播定律,将上式转换为坐标增量的中误差表达式§3.4

误差传播定律-应用例4、坐标计算的精度两点之间,如果已测定其水平距离坐标增量的中误差:

上式右边根号内第一项为纵向误差,是由距离误差造成,第二项为横向误差,是由角度误差造成。由纵横坐标增量误差或纵横向误差，形成两点间的相对点位误差：§3.4

误差传播定律-应用坐标增量的中误差:上式右边根号内第一项为纵向误差,是由第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念一、不等精度观测与观测值的权§3.5加权平均值及其中误差

同一量的一系列等精度观测值可以取其算术平均值，而同一量的一系列不等精度观测值则应取其加权平均值。“权”(P)意为衡量轻重,观测值的中误差(m)小,则权大;反之则权小。定义权与中误差的平方成反比：C为任意常数。等于1的权称为“单位权”,权等于1的中误差称为“单位权中误差”(

mo

)。因此,权和中误差的另一种表达式为：一、不等精度观测与观测值的权§3.5加权平均值及其中误差

为了使“权”的概念简单明了，取一次观测、一个测回或单位长度（例如1km）等的测量误差作为单位权中误差。例如，以一测回的水平角观测中误差mβ为测角的单位权中误差,则n

测回取其算术平均值的角度中误差及其权为:又例如水准测量以一公里的高程测量中误差mo作为单位权中误差，则L(km)高差测量中误差及其权为：由此可知，水准测量的权是路线长度的倒数。§3.5加权平均值及其中误差为了使“权”的概念简单明了，取一次观测、一个测回或单二、加权平均值及其中误差对某一未知量进行一组不等精度观测：L1

,L2

,

…Ln

，其中误差为m1

,m2

,…mn

，观测值的权为p1

,p2

,…pn

。按照误差理论，此时应按下式取其加权平均值，作为该量的最或然值：由于同一量的各个观测值其数值都相近似，取其相同部分为Lo，差别部分为ΔLi

，则加权平均值:§3.5加权平均值及其中误差二、加权平均值及其中误差对某一未知量进行一组不等精度观测：

加权平均值的中误差加权平均值的计算式可以写成线性函数的形式：按误差传播定律，得到：加权平均值中误差及其权：§3.5加权平均值及其中误差加权平均值的中误差加权平均值的计算式可以写成线性函数的形式三、单位权中误差的计算根据：得到：取以上各式总和，并处以n，得到:以真误差Δi

代替中误差mi

,得到观测值的真值已知时，用真误差计算单位权中误差的公式：在真值未知时，用观测值的加权平均值x

代替真值X;用观测值的改正值vi

代替真误差Δi,得到按vi

计算单位权中误差的公式：§3.5加权平均值及其中误差三、单位权中误差的计算根据：得到：取以上各式总和，并处以n，加权平均值及中误差的算例组号测回数各组平均值LΔL权P

PΔL改正值VPv12324640°24′12″40°24′18″40°24′24″1218242462472144+8+2-4+16+8-24Σ122400加权平均值及其中误差

（按不同测回数观测的角度取加权平均值）§3.5加权平均值及其中误差加权平均值及中误差的算例组号测回数各组平均值LΔL权P加权平均值标准差的算例§3.5加权平均值及其中误差加权平均值标准差的算例§3.5加权平均值及其中误差第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念一、间接平差原理

如图，A点高程HA已知，观测了L1、L2、L3、L4和L5各段高差，要确定B、C、D三点的高程。从图中可知，每一个观测值都可表达成所选参数的函数，则称这样的函数式为误差方程，并以此为基础求得参数的估计值。这种计算方法称为间接平差法，又称为参数平差法。图3-4§3.6间接平差原理一、间接平差原理如图，A点高程HA已知，观测了L1自从使用计算机解决测量工作中的数据处理问题以来，平差计算最常用的方法为间接平差，因为其数学模型比较简单，便于计算平差值及评定函数的精度，同时也便于编程实现。设某平差问题有t个未知数，有n个独立观测值（n>t），其相应的权为，平差值方程的一般形式为：式中，

是方程中的常数。将已知的观测值

移至等号的右方，并令

(3-52)§3.6间接平差原理自从使用计算机解决测量工作中的数据处理问题以来，平差即得一般形式的误差方程为:式中，是已知的系数和常数项。根据数学中求自由极值的理论，[pvv]对的偏导数分别为：(3-54)(3-55)§3.6间接平差原理即得一般形式的误差方程为:式中，是已知由(3-54)知（i=1，2，…，n）将这些关系式代入式（3-55），令各式等于零，并去掉公因子2得（3-56）§3.6间接平差原理由(3-54)知（i=1，2，…，n）将这些关系式代入式（3将式（3-54）代入式（3-56），整理得到法方程：（3-57）由这组方程解得的未知数，代入式（3-54）求出一组相应的改正数v，这一组v值一定满足[pvv]=min的要求。所以由法方程解出的未知数就是未知数的最或然值。如果把改正数v加到相应的观测值上，就可求得各观测量的平差值。单位权中误差按下式计算：（3-58）§3.6间接平差原理将式（3-54）代入式（3-56），整理得到法方程：（3-5二、间接平差计算实例图3-4中，已知HA=237.483m，选取B、C、D三点高程X1、X2、X3为参数，观测高差及各条路线的距离如下：L1=5.835m,S1=3.5kmL2=3.782m,S2=2.7km

L3=9.640m,S3=4.0km

L4=7.384m,S4=3.0km

L5=2.270m,S5=2.5km§3.6间接平差原理二、间接平差计算实例图3-4中，已知HA=237.483m，列出各个高差的平差值与各点高程之间的关系式为：其误差方程为：§3.6间接平差原理列出各个高差的平差值与各点高程之间的关系式为：其误差方程为：为便于计算，选取参数的近似值：令则得§3.6间接平差原理为便于计算，选取参数的近似值：令则得§3.6间接平差原理设10km的观测高差为单位权观测值，即按

来定权，得各观测值的权分别为：p1=2.9，p2=3.7，p3=2.5，p4=3.3和P5=4.0。由此组成法方程为：解之得§3.6间接平差原理设10km的观测高差为单位权观测值，即按把求出的x1、x2及x3代入误差方程得各观测值的改正数为以此加在相应的观测值上，即得各高差的平差值：按（3-58）可计算出单位权中误差为：§3.6间接平差原理把求出的x1、x2及x3代入误差方程得各观测值的改正数为以此谢谢！谢谢！《数字地形测量学》编写小组第三章测量误差基本知识主讲老师：联系电话：电子邮件：《数字地形测量学》《数字地形测量学》编写小组第三章测量误差基本知识主讲老师第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念一、测量误差产生的原因二、测量误差的分类与处理原则三、偶然误差的特性§3.1测量误差概念一、测量误差产生的原因§3.1测量误差概念一、测量误差产生的原因产生测量误差的三个因素：仪器原因—仪器精度的局限性,轴系残余误差等；人的原因—判断力和分辨力的限制,经验缺乏等；外界影响—气象因素如温度变化,风力,大气折光等

。结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件—上述三大因素总称为观测条件观测精度—在观测条件基本相同的情况下进行的观测，称为“等精度观测”；否则，称为“不等精度观测”。§3.1测量误差概念一、测量误差产生的原因产生测量误差的三个因素：结论：观测误差二、测量误差的分类与处理原则（一）系统误差

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果误差的出现在符号(正负号)和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。

按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统误差、偶然误差和粗差。§3.1测量误差概念二、测量误差的分类与处理原则（一）系统误差在相同的观测

钢尺尺长误差Dk

钢尺检定,尺长改正

钢尺温度误差Dt

钢尺检定,温度改正

水准仪视准轴误差

i

中间法水准,前后视等距

经纬仪视准轴误差C

盘左盘右观测,取平均值

对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施§3.1测量误差概念对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施§3.1

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。（三）粗差

由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为“粗差”(俗称错误)，应避免和舍弃粗差。（二）偶然误差§3.1测量误差概念在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符（四）误差处理原则粗差—细心观测，用多余观测和几何条

件来发现，将含有粗差的观测值剔除。系统误差—找出发生规律，用观测方法和加改正值等方法抵消。偶然误差—用多余观测减少其影响，利用几何条件检核，用“限差”来限制。§3.1测量误差概念（四）误差处理原则粗差—细心观测，用多余观测和几何三、偶然误差的特性偶然误差的定义

设某一量的真值为X，对该量进行n

次观测，得n个观测值，产生n个真误差l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值与观测值之差定义为“真误差”,真误差属于偶然误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中,在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道真值,例如三角形三个内角之和为180°(真值),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和的真误差(称为三角形角度闭合差)。§3.1测量误差概念三、偶然误差的特性偶然误差的定义l1,l2,…,l

多次观测中寻找偶然误差的规律：

对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和

(i+i+i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：i

=180°–

(

i

+

i+

i)观测数据统计结果列于表5-1,据此分析三角形内角和的真误差i

的分布规律。§3.1测量误差概念多次观测中寻找偶然误差的规律：§3.1测量误

表3-1

偶然误差的统计误差区间

dΔ"负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000§3.1测量误差概念表3-1偶然误差的统计误差区间偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差不超过一定数值；渐降性：误差绝对值小的出现的频率大，误差绝对值大的出现的频率小；对称性：绝对值相等的正负误差频率大致相等；抵偿性：当观测次数无限增大时，由于正负相消，偶然误差的平均值趋近于零。用公式表示为：三角形闭合差的频率直方图§3.1测量误差概念偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差不超过一定数值

正态分布曲线以及标准差和方差

在统计理论上如果观测次数无限增多(n→∞)，而误差区间dΔ又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的曲线，在统计学中称为偶然误差的“正态分布曲线”,其数学方程式为：式中参数σ称为“标准差”,其平方σ

2

称为“方差”,方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：标准差的计算式：§3.1测量误差概念正态分布曲线以及标准差和方差在统计理论上如果观测次第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准一、中误差用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，用标准差计算式求得的称为“中误差”，其计算式为：选择两组三角形内角之和的观测值，求得三角形角度闭合差，分别按上式在表5-2中计算中误差，得到：第1组:

m1=

±2.7″第2组:

m2=

±3.6″可见第1组的观测精度高于第2组。§3.2衡量精度的标准一、中误差用标准差衡量测量观按观测值的改正值计算中误差表3-2§3.2衡量精度的标准按观测值的改正值计算中误差表3-2§3.2衡量精度的标准m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值误差的正态分布曲线的比较：m1=

2.7m2=

3.6不同中误差的正态分布曲线§3.2衡量精度的标准m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；两组观测值误差

二、相对中误差三、极限误差

某些观测值的精度如果仅用中误差衡量，还不能正确反映其质量，例如，距离测量误差应与长度成正比。观测值的中误差除以观测量，称为“相对中误差”(简称相对误差)，例如200m距离的测距中误差为2cm,测距的相对误差为1∶10000;

500m距离测距中误差也为2cm，则测距相对误差为1∶25000；后者精度高于前者。

根据正态分布方程式，可以表示误差出现在微小区间dΔ的概率：§3.2衡量精度的标准

二、相对中误差三、极限误差某些观测值的精度如果仅用

将上式积分，得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率。设以k倍中误差作为区间,则在此区间中误差出现的概率：分别以k=1,k=2,k=3代入上式，可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、2倍中误差、3倍中误差的概率：

由此可见，大于2倍中误差出现的概率小于5％，大于3倍中误差出现的概率小于0.3％。因此，测量工作中以2倍中误差作为允许的误差极限，称为“允许误差”或“限差”。§3.2衡量精度的标准将上式积分，得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.3算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值在相同的观测条件下，对某一量进行n次观测，观测值为li

(i=1～n),取其算术平均值作为该量的最可靠的数值（故也称“最或然值”）：算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然误差的特性来证明：§3.3算术平均值及观测值的中误差一、算术平均值证明算术平均值是最或然值按真值计算各个观测值的真误差：将上列等式相加，并除以n,得到：故算术平均值比较接近于真值，而成为最可靠的数值：§3.3算术平均值及观测值的中误差证明算术平均值是最或然值按真值计算各个观测值的真误差：将上列二、观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”(简称改正值)

v

:对［vv]求极小值：算术平均值符合最小二乘法原理取改正值总和：说明：一组观测值取算术平均值后，各个观测值的改正值之和恒等于零，此可以作为计算的检核。§3.3算术平均值及观测值的中误差二、观测值的改正值最或然值与观测值之差称为“观测值的改正值”三、观测值的精度评定在同样观测条件下对某一量进行n次观测，求得算术平均值及观测值的各个改正值v，据此计算观测值的中误差：对比按真误差Δ计算中误差的公式：两者差别仅在于以（n－1）代替n，以代替真值X：两式取总和并顾及偶然误差的相消性，可以证明：因此可以按观测值的改正值计算中误差§3.3算术平均值及观测值的中误差三、观测值的精度评定在同样观测条件下对某一量进行n次观测，求算术平均值计算的实用公式由于各个观测值相差很小，为计算方便令其数值的相同部分为l0

,差异部分为Δl，即li

=l0+Δli

,算术平均值的实用公式：按各个观测值的改正值计算观测值中误差的公式：§3.3算术平均值及观测值的中误差算术平均值计算的实用公式由于各个观测值相差很小，按观测值的改正值计算中误差的算例

（一段水平距离的多次观测）

次序观测值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv(cm2)

算术平均值及观测值中误差1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017(m)观测值中误差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26

§3.3算术平均值及观测值的中误差按观测值的改正值计算中误差的算例

（一段水平距离的多次计算算术平均值及其中误差的小结：已知真值X,进行n次观测，则计算观测值的真误差与中误差。真值不知,则进行n次观测，计算算术平均值、改正值及其中误差。中误差：真误差：中误差：改正值：算术平均值：§3.3算术平均值及观测值的中误差计算算术平均值及其中误差的小结：已知真值X,进行n次观测，则第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.4

误差传播定律一、观测值的函数测量所采集的数据(量)并非都是直接观测值，而是观测值的函数。观测值的误差使其函数也具有一定的误差。例如：和差函数—例如算术平均值例如斜距改平例如分段量距相加例如图上量长度,化为实地长度倍函数—线性函数—一般函数—§3.4误差传播定律一、观测值的函数和差函数—例如算术平二、一般函数的中误差举例说明：矩形地块，量长度a、宽度b，求其面积P。面积是观测值长度a和宽度b的函数，函数式为：对函数式中的自变量a、b求偏微分:将微分元素以偶然误差Δi代替面积误差(图中阴影面积)具有直观的几何意义§3.4

误差传播定律二、一般函数的中误差举例说明：矩形地块，量长度a、宽度b，对于上述地块的长度和宽度进行n次观测：上列n个等式平方后取其总和，并除以n,得到：根据偶然误差的抵偿性，得到：按照中误差的定义，上式可改写为求面积中误差公式：§3.4

误差传播定律对于上述地块的长度和宽度进行n次观测：上列n个等式平方后取其对于一般函数（包括和差函数、倍函数、线性函数）：误差传播定律—

一般函数的中误差计算式中xi为自变量(独立观测值)，设mi

为观测值的中误差，Z

为独立变量的函数。则Z

的中误差为：式中为各个变量的偏导数。§3.4

误差传播定律对于一般函数（包括和差函数、倍函数、线性函数）：误差传播定律三、线性函数和倍函数的中误差线性函数：自变量的偏导数：按照误差传播定律，得到线性函数的中误差：算术平均值也属于观测值的线性函数，根据误差传播定律：§3.4

误差传播定律三、线性函数和倍函数的中误差线性函数：自变量的偏导数由于是等精度观测,因此m1

=

m2

=

…

=

mn

=

m由此可见，算术平均值的中误差比观测值的中误差小倍。如果线性函数只有一个自变量：,则成为倍函数，其中误差为：上式中的系数k，即为误差扩大的倍数。§3.4

误差传播定律由于是等精度观测,因此m1=m2=…=mn=函数式为：D=500

d实地距离和量距中误差为：该距离及其中误差可以写成：

例：量得比例尺为1∶500的地形图上两点间长度d

=134.7mm,图上量距中误差为

0.2mm,换算为实地距离D

和量距中误差mD。§3.4

误差传播定律函数式为：D=500d该距离及其中误差可以写成：其他线性函数，例如和差函数：其中误差均为：和差函数的中误差计算方式也可用于多种独立误差来源的观测值中误差的计算。例如用测角仪器观测水平方向时，同时受到对中、瞄准、读数、仪器误差、大气折光等误差影响，观测水平方向的偶然误差是这些误差的代数和：故观测水平方向的中误差为：其他线性函数，例如和差函数：其中误差均为：和差函数的中误差计第一步：写出包含各个自变量(独立观测值)的函数式第二步：写出全微分式(计算对各个自变量的偏导数)第三步：按误差传播定律写出中误差关系式注意：误差传播定律只适用于将各个独立观测值作为自变量。如果观测值之间是相关的，则得到的结果将是不严格的。函数式：函数中误差：§3.4

误差传播定律-小结第一步：写出包含各个自变量(独立观测值)的函数式函数式：函数例1、距离测量的精度光电测距的误差来源有：仪器误差、气温气压测定误差、仪器对中误差、倾斜改正垂直角测定误差等。这里仅讨论前二者，即仪器频率调制误差d

f、测定相位的误差dΔφ

以及气象测定误差影响折射率d

n。斜距测定的函数式对各个自变量求偏导数得到真误差关系式§3.4

误差传播定律-应用例1、距离测量的精度光电测距的误差来源有：仪器误差、气温气用误差传播定律得到光电测距中误差的估算式：上式根号内第一项为测定相位误差的影响，它与距离长短无关，称为“常误差a”；第二、第三相为气象测定误差与频率误差的影响，它们均与距离长度成正比，称为“比例误差b”。因此,光电测距的误差估算式：

上式常作为测距仪本身的精度指标，a

的单位为mm，b为百万分率，即每公里的毫米数(mm

/

km)。§3.4

误差传播定律-应用用误差传播定律得到光电测距中误差的估算式：上式根号内第一项为例2、角度测量的精度

DJ6级经纬仪和6秒级全站仪一测回方向观测值中误差m

=±6″，水平角为两个方向观测值之差，故一测回水平角观测的中误差为：

一测回水平角取盘左盘右角度的平均值，故半测回水平角值的中误差为：盘左、盘右水平角值之差的中误差为：以2倍中误差作为极限误差为±34″(一般规定40″)§3.4

误差传播定律-应用例2、角度测量的精度DJ6级经纬仪和6秒级全站仪一测回多边形水平角观测角度闭合差的规定

多边形内角(水平角β)之和在理论上应为(n-2)180°,由于水平角观测中的偶然误差，产生角度闭合差：每个角度的测角中误差为mβ

,则n个角度之和的中误差:以2倍中误差作为极限误差,则n边形的角度的允许闭合差

例：设水平角观测的中误差mβ

=±18″,则三角形的允许角度闭合差：§3.4

误差传播定律-应用多边形水平角观测角度闭合差的规定每个角度的测角中误差为mβ例3、水准测量的精度

水准测量高差测定的计算式h

=

a

-

b,设用S3水准仪在水准尺读数的中误差m

=

±

1

mm，则一次测定高差的中误差：两次测定高差之差Δh

=

h1-

h2

,则高差之差的中误差：

以2倍中误差作为极限误差,则允许的高差之差为±4

mm§3.4

误差传播定律-应用例3、水准测量的精度水准测量高差测定的计算式h=水准路线高差测定的精度

在一条附合水准路线进行水准测量,共设n个测站,其高差的总和：设水准尺读数误差为m,每次高差测定中误差为mh,则线路的高差总和的中误差：设水准线路长度为L,各测站前、后视平均长度为d,单位长度的高差测量中误差为m0,则：，，L以公里为单位m0为每公里高差测量中误差§3.4

误差传播定律-应用水准路线高差测定的精度

在一条附合水准路线进行水准测量,共设上式说明：水准测量的精度与水准路线的长度的平方根成正比。水准测量的等级以每公里高差测量的中误差mo作为精度指标：水准测量等级一等二等三等四等

mo±1

mm±2

mm±6

mm±10

mm据此,可以按水准测量等级和设计水准路线长度,估算水准测量全程的高差中误差。例如,路线长5km的四等水准测量的精度：§3.4

误差传播定律-应用上式说明：水准测量的精度与水准路线的长度的平方根水准测量等级例4、坐标计算的精度

两点之间,如果已测定其水平距离D和方位角α,则可按下式计算其坐标增量：对观测值(自变量)D和α求偏导数,得到函数式的全微分：按误差传播定律,将上式转换为坐标增量的中误差表达式§3.4

误差传播定律-应用例4、坐标计算的精度两点之间,如果已测定其水平距离坐标增量的中误差:

上式右边根号内第一项为纵向误差,是由距离误差造成,第二项为横向误差,是由角度误差造成。由纵横坐标增量误差或纵横向误差，形成两点间的相对点位误差：§3.4

误差传播定律-应用坐标增量的中误差:上式右边根号内第一项为纵向误差,是由第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念§3.2衡量精度的标准§3.3算术平均值及观测值的中误差§3.4误差传播定律§3.5加权平均值及其精度评定§3.6间接平差原理第三章测量误差基本知识§3.1测量误差概念一、不等精度观测与观测值的权§3.5加权平均值及其中误差

同一量的一系列等精度观测值可以取其算术平均值，而同一量的一系列不等精度观测值则应取其加权平均值。“权”(P)意为衡量轻重,观测值的中误差(m)小,则权大;反之则权小。定义权与中误差的平方成反比：C为任意常数。等于1的权称为“单位权”,权等于1的中误差称为“单位权中误差”(

mo

)。因此,权和中误差的另一种表达式为：一、不等精度观测与观测值的权§3.5加权平均值及其中误差

为了使“权”的概念简单明了，取一次观测、一个测回或单位长度（例如1km）等的测量误差作为单位权中误差。例如，以一测回的水平角观测中误差mβ为测角的单位权中误差,则n

测回取其算术平均值的角度中误差及其权为:又例如水准测量以一公里的高程测量中误差mo作为单位权中误差，则L(km)高差测量中误差及其权为：由此可知，水准测量的权是路线长度的倒数。§3.5加权平均值及其中误差为了使“权”的概念简单明了，取一次观测、一个测回或单二、加权平均值及其中误差对某一未知量进行一组不等精度观测：L1

,L2

,

…Ln

，其中误差为m1

,m2

,…mn

，观测值的权为