距离最短问题-课件1

最短路线（距离）问题考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”.

数学模型

1、实际问题：要在河边修建一个水泵站，分别同侧的张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短？2、数学问题：已知：直线l和l的同侧两点A、B。求作：点C，使C在直线l上，并且AC＋CB最小。1最短路线（距离）问题数学模型1二、构建“对称模型”实现转化2二、构建“对称模型”实现转化21、（2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，－2），

B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=______时，

AC+BC的值最小．31、（2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，－23、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。4、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。43、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，5、已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．6、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。55、已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的7、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。8、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长

7题图8题图67、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，9、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝5cm，BC＝4cm，则△BDC的周长为________．10、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为9题图10题图79、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝11、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4

（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．811、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，12、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）13、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.912、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，例：如图，点P在∠AOB内部，且∠AOB度数为45°,OP=2cm,在射线OA、OB上找点C、D，使PC+CD+DP之和最小。分析：首先主导思想还是“两点之间，线段最短”，解决方法可以利用轴对称找到两个对称点，使得三角形的三边之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”。思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小为多少吗？10例：如图，点P在∠AOB内部，且∠AOB度数为45°,OP=111112121313（2009陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．14（2009陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝1.如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E斜边AB的中点，

P是AC的一动点，则PB+PE的最小值为

2.如图2,△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值151.如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E斜边AB的中如图，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为．解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．

此时AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′为最短距离．

连接DD′，AA′，OA′，OD′．

∵OA=OA′，∠AOA′=60°，

∴∠OAA′=∠OA′A=60°，

∴△ODD′是等边三角形．

同理△OAA′也是等边三角形．

∴OD'=OD=4，OA′=OA=2，

∠D′OA′=90°．

∴A′D′=16如图，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON上，O

如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？17如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，18181919作法:(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段)1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定长P'Q';2)作出点A关于直线L的对称点A',连接A'B',交直线L于P;3)在直线L上截取线段PQ=P'Q'.则此时AP+PQ+BQ最小.

略证:由作法可知PQ=P'Q'=BB,四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四边形.下面只要说明AP+BQ<AP'+BQ'即可.点A与A'关于直线L对称,则AP=A'P,AP'=A'P'.故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B';AP'+BQ'=A'P'+B'P'.显然,A'B'<A'P'+B'P';(三角形三边关系)

即AP+BQ<AP'+BQ'.20作法:(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段)20在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边

OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。21在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、⑴如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．若在边OA上任取点E'与点E不重合、，连接CE'、DE'、D'E'由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE，可知△CDE的周长最小．∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6，∵OE∥BC，∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC，如图，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG=2，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2，∵GC∥EF，GC=EF，∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，又DC、EF的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小．∵OE∥BC，∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，22⑴如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E232324249、人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。02-12月-2202-12月-22Friday,December2,202210、低头要有勇气，抬头要有低气。***12/2/202212:06:37AM11、人总是珍惜为得到。02-12月-22**Dec-2202-Dec-2212、人乱于心，不宽余请。***Friday,December2,202213、生气是拿别人做错的事来惩罚自己。02-12月-2202-12月-22**02December202214、抱最大的希望，作最大的努力。02十二月2022**02-12月-2215、一个人炫耀什么，说明他内心缺少什么。。十二月22*02-12月-22*02December202216、业余生活要有意义，不要越轨。**12/2/202217、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。***02-12月-22谢谢大家259、人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。01-12月-22最短路线（距离）问题考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”.

数学模型

1、实际问题：要在河边修建一个水泵站，分别同侧的张村、李庄送水，修在河边什么地方可使所用的水管最短？2、数学问题：已知：直线l和l的同侧两点A、B。求作：点C，使C在直线l上，并且AC＋CB最小。26最短路线（距离）问题数学模型1二、构建“对称模型”实现转化27二、构建“对称模型”实现转化21、（2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，－2），

B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=______时，

AC+BC的值最小．281、（2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，－23、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。4、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。293、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，5、已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．6、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。305、已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的7、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。8、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长

7题图8题图317、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，9、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝5cm，BC＝4cm，则△BDC的周长为________．10、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为9题图10题图329、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，若AC＝11、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4

（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．3311、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，12、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）13、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.3412、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，例：如图，点P在∠AOB内部，且∠AOB度数为45°,OP=2cm,在射线OA、OB上找点C、D，使PC+CD+DP之和最小。分析：首先主导思想还是“两点之间，线段最短”，解决方法可以利用轴对称找到两个对称点，使得三角形的三边之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”。思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小为多少吗？35例：如图，点P在∠AOB内部，且∠AOB度数为45°,OP=361137123813（2009陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．39（2009陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝1.如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E斜边AB的中点，

P是AC的一动点，则PB+PE的最小值为

2.如图2,△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值401.如图，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E斜边AB的中如图，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为．解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．

此时AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′为最短距离．

连接DD′，AA′，OA′，OD′．

∵OA=OA′，∠AOA′=60°，

∴∠OAA′=∠OA′A=60°，

∴△ODD′是等边三角形．

同理△OAA′也是等边三角形．

∴OD'=OD=4，OA′=OA=2，

∠D′OA′=90°．

∴A′D′=41如图，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON上，O

如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？42如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，43184419作法:(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段)1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定长P'Q';2)作出点A关于直线L的对称点A',连接A'B',交直线L于P;3)在直线L上截取线段PQ=P'Q'.则此时AP+PQ+BQ最小.

略证:由作法可知PQ=P'Q'=BB,四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四边形.下面只要说明AP+BQ<AP'+BQ'即可.点A与A'关于直线L对称,则AP=A'P,AP'=A'P'.故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B';AP'+BQ'=A'P'+B'P'.显然,A'B'<A'P'+B'P';(三角形三边关系)

即AP+BQ<AP'+BQ'.45作法:(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段)20在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边

OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。46在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、⑴如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD