第五章-力学量随时间的演化和对称性-量子力学教学课件

第五章力学量随时间的演化与对称性教学内容第1页§1力学量随时间的演化§2波包的运动，恩费斯脱(Ehrenfest)定理§3

Schrödinger图象和Heisenberg图象§4守恒量与对称性的关系§5全同粒子与波函数的交换对称性第五章力学量随时间的演化与对称性教学内容第1页§1力学量随时间的演化1.守恒量第2页量子力学中力学量随时间的演化，与经典力学不同。处于量子态下的体系，在每一时刻，非所有力学量都具有确定值，而只具有确定的几率分布和平均值。力学量A的平均值随时间的变化力学量A的平均值为其随时间的变化为：§1力学量随时间的演化1.守恒量第2页量子力学中力学量第3页若A不显含时间第3页若A不显含时间第五章-力学量随时间的演化和对称性--量子力学教学课件第五章-力学量随时间的演化和对称性--量子力学教学课件第6页(III)量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初条件决定。守恒量的量子数称为好量子数。(IV)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，L的三分量都守恒([Li,H]=0,i=x,y,z)，但由于Lx,Ly,Lz不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量l=0的态除外）。(V)定态和守恒量的区别:在定态（能量本征态）下，一切力学量(不显含t，不管是否守恒量)的平均值及测量值几率分布都不随时间改变，而守恒量则是在一切状态下(不管是否定态)的平均值和测量值几率分布都不随时间改变。第6页(III)量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的第7页举例1、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符：所以自由粒子的动量是守恒量。2、

粒子在中心力场中运动：角动量守恒皆不显含时间所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒能量守恒第7页举例1、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符：所以自由能级简并与守恒量的关系第8页在处理能量本征值问题，量子态随时间变化，量子跃迁以及散射等问题中，守恒量的应用极广。主要涉及能量简并，包括：(a)能级简并否？(b)在能级简并时，如何标记各简并态。定理：设体系两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0,

[G,H]=0，但[F,G]≠0，则体系能级一般是简并的。证：由于[F,H]=0，F与H可以有共同本征函数Ψ即GΨ也是H的本征态，对应于本征值E。但GΨ与Ψ是否同一个量子态？考虑到[F,G]≠0,一般有即GΨ不是F的本征态但Ψ是F的本征态，因此GΨ与Ψ不是同一个态。但它们又都是H的本征值为E的本征态，因此能级是简并的。能级简并与守恒量的关系第8页在处理能量本征值问题，量子态随时Review力学量平均值随时间的演化第9页守恒量[A,H]=01.平均值不随时间改变2.测量值几率不随时间改变定理：设体系两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0，但[F,G]≠0，则体系能级一般是简并的。守恒量和定态Review力学量平均值随时间的演化第9页守恒量[A第10页推论：若体系有一守恒量F，而体系的某条能级不简并(即对应于某能量本征值E只有一个量子态ΨE)，则ΨE必为F的本征态。FψE

也是H的本征值为E的本征态。由于无简并，位力(Virial)定理:设粒子处于势场V(r)中，哈密顿量为H=T+V(r),在定态下有式中T=p2/2m是粒子动能，上式即位力定理。第10页推论：若体系有一守恒量F，而体系的某条能级不简并(即证明：考虑r·p

随时间的变化第11页对于定态证明：考虑r·p随时间的变化第11页对于定态练习：设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即V(cx,cy,cz)=cnV(x,y,z),c为常数，证明第12页应用于（a)谐振子势，n=2,有（b)Coulomb势，n=-1,有（c)δ势，n=-1,与Coulomb势相同练习：设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数第13页海尔曼(Hellmanm)-费曼(Feynman)定理:当体系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算。H-F定理：设体系的Hamilton量H

中含有某参量λ，En

是H的本征值，ψn

是归一的束缚态本征函数（n

为一组量子数），则量子体系的能量本征值随参数的变化。Dirac

符号第13页海尔曼(Hellmanm)-费曼(Feynman证明：Ψn

满足能量本征方程第14页对λ

求导数，并左乘<ψn|证明：Ψn满足能量本征方程第14页对λ求导数，并左乘例子：证明：一维谐振子Hamilton

量第15页证明一维谐振子，能量本征态下<V>=<p2/2m>。方法I：取m作为参数由HF定理则<V>=<p2/2m>。例子：证明：一维谐振子Hamilton量第15页证明一维第16页方法IIω为参数方法IIIℏ

为参数第16页方法IIω为参数方法IIIℏ为参数§2波包的运动，恩费斯脱(Ehrenfest)定理第17页恩费斯脱(Ehrenfest)定理：设粒子的Hamilton量为H=p2/2m+V(r),则有证明：粒子坐标和动量平均值随时间变化如下它们与经典粒子运动满足的正则方程相似。质量为m的粒子，在势场V(r)中运动，用波包Ψ(r,t)描述。与经典粒子运动相对应的Ψ(r,t)为非定态，定态下粒子在空间的几率密度|Ψ(r,t)|2是不随时间变化§2波包的运动，恩费斯脱(Ehrenfest)定理第17第18页Ehrenfest定理的形式与经典牛顿方程相似。但只当<F(r)>可以近似为F(r)时，波包中心<r>的运动规律才与经典粒子相同。下面讨论，在什么条件下可以做这种近似。为简单起见，以一维波包运动为例。在波包中心xc=<x>附近对V(x)作Taylor展开，令ξ=x-xc所以(利用<ξ>=0)只当第18页Ehrenfest定理的形式与经典牛顿方程相似。但只才可近似代之为第19页此时Ehrenfest方程才与经典牛顿方程形式上完全相同。要求在整个运动过程中成立，就要求：

(a)波包很窄，而且在运动过程中扩散不厉害，(b)V在空间变化较缓慢(在波包范围中变化很小)。物理上，一个波包描述粒子的运动，要求为：（1）波包必须很窄，波包大小与粒子大小相当；（2）势场V(r)在空间变化很缓慢；（3）在运动过程中波包扩散不太厉害。才可近似代之为第19页此时Ehrenfest方程才与经典牛顿α粒子对原子的散射原子的半径为a≈10-8cm，天然放射性元素放出的α粒子能量约为3—7MeV，设Eα

≈5MeV，可估算出其动量p

α=(2m

αE

α)1/2≈10-14gcms-1。在对原子的散射过程中，

α粒子穿越原子的时间约为δt≈a/v

α=m

αa/p

α,第20页α波包的扩散约为δx=Δv

α*δt=

(Δp

α/m

α)*(m

αa/p

α)=(Δp

/p

α)a.

如要求粒子穿越过程可近似用轨道运动来描述，就要求δx<<a,即Δp

/pα<<1，按不确定关系，

Δp

≈ℏ/δx=ℏ/

a≈10-19gcms-1，对天然放射性元素放出的α粒子，

Δp

<<pα，故可以用轨道来近似描述。若是电子对原子散射，对100MeV电子，pe≈54-19gcms-1，用轨道描述电子对原子的散射就不合适了。α粒子对原子的散射原子的半径为a≈10-8cm，天然放射性元§3Schrödinger图象和Heisenberg图象第21页1、Schrödinger图象该图象中，态矢随时间演化，遵从Schrödinger方程力学量(算符，不显含t)不随时间演化，讨论其平均值和几率分布随时间的演化。例如，力学量F的平均值随时间演化为力学量平均值及几率分布随时间的演化完全归结于波函数Ψ.波函数Ψ并不是直接观测的量，与实际观测有关的是力学量的平均值以及测值几率。它们随时间的演化存在其他等价方式。§3Schrödinger图象和Heisenberg图描述体系状态的矢量不随时间改变，但力学量随时间演化。第22页2、Heisenberg图象（1）时间演化算符引入时间演化算符U(t,0)，可视为体系状态随时间演化的连续变换可以证明：A.U(t,0)为么正算符：B.H不显含t时，可有描述体系状态的矢量不随时间改变，但力学量随时间演化。第22页证明：第23页A.由于保证几率守恒(Ψ(t),Ψ(t))=(Ψ(0),Ψ(0))，有即U为么正变换。B.(设H不显含t)证明：第23页A.由于保证几率守恒(Ψ(t),Ψ(t)第24页（2）Heisenberg方程可以证明：此式称为Heisenberg方程，它描述算符F(t)随时间的演化。证明：第24页（2）Heisenberg方程可以证明：此式称为H第25页（3）S图像与H图像的比较在S图象中，力学量(算符)F不随时间变化，态矢Ψ(t)随时间演化，遵从S方程H图象中，态矢不随时间演化，而力学量F(t)随时间演化，遵从H方程两种图象是等价的。凡物理上可观测的结果都不会因所采取图象不同而异。第25页（3）S图像与H图像的比较在S图象中，力学量(算符例子：1.自由粒子.

H=p2/2m,[p,H]=0,p为守恒量，所以p(t)=p(0)=p.

第26页2.一维谐振子.例子：1.自由粒子.H=p2/2m,[p,H]第27页形式上与经典力学中谐振子的Newton方程一致。通解为利用初始条件第27页形式上与经典力学中谐振子的Newton方程一致。通解§4守恒量与对称性的关系第28页对称性无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象.德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称性.他对对称性做了如下定义：如果对一个事物施加某种操作,并且操作以后的情况与原来的完全相同,则这个事物是对称的,而这种操作就称为对称性操作。对称性反映的是客观物质世界结构方面的规律，而守恒律反映的是客观物质世界运动变化方面的规律。§4守恒量与对称性的关系第28页对称性无论对艺术还是自然在量子力学中，我们将看到：

能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系。第29页空间平移不变性动量守恒空间旋转不变性角动量守恒空间反演对称性宇称守恒

一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性。在量子力学中，运动规律是薛定谔方程，它决定于系统的哈密顿算符H，因此，量子力学系统的对称性表现为哈密顿算符H的不变性。在量子力学中，我们将看到：第29页空间平移不变性动第30页体系的对称变换－线性变换算符设体系的状态用Ψ描述，满足S方程考虑某种线性变换Q(存在逆变换Q－1

，不依赖于时间)，在此变换下，Ψ

变化如下对称性要求Ψ′与Ψ遵守相同的运动方程，即用Q－1运算要求Q－1HQ＝H，即HQ＝QH，或表成这就是体系Hamilton量在变换下不变性的数学表达。凡满足上式的变换，称为体系的对称变换。

第30页体系的对称变换－线性变换算符设体系的状态用Ψ描述，满第31页线性变换算符Q的性质考虑到几率守恒，要求则Q应为幺正算符，即对于连续变换，可以考虑无穷小变换，令ε→0＋，是刻画无穷小的实参数。即要求故F

应为厄米算符，称为变换Q

的无穷小算符.由于它是厄米算符，可用它来定义一个与Q

变换相联系的可观测量。体系在变换Q

下的不变性[Q,H]=0，就导致故F就是体系的一个守恒量.第31页线性变换算符Q的性质考虑到几率守恒，要求则Q应为幺正2.平移不变性与动量守恒第32页考虑体系沿x轴方向的无限小平移描述体系状态的波函数变化如下：显然将上式中x的换成x-δx，则有2.平移不变性与动量守恒第32页考虑体系沿x轴方向的无限小第33页所以平移δx的算符可表为式中为相应的无穷小算符。对于三维空间的无穷小平移p即动量算符。设体系具有平移不变性，[D,H]=0，则有[p,H]=0，此即动量守恒的条件。第33页所以平移δx的算符可表为式中为相应的无穷小算符。3.空间旋转不变性与角动量守恒第34页先考虑一个简单情况，即体系绕z轴转无穷小角度δφ,φ→φ′=φ+δφ，波函数变化如下对于标量波函数，则有将上式中φ换成φ-δφ，则有3.空间旋转不变性与角动量守恒第34页先考虑一个简单情况第35页所以绕z轴旋转δφ

角的算符为即角动量的z分量算符现考虑三维空间中绕某方向n(单位矢)的无穷小旋转.在此变换下，标量波函数变化如下第35页所以绕z轴旋转δφ角的算符为即角动量的z分量算符第36页即角动量算符。如体系具有空间旋转不变性，[R,H]=0，则导致

[L,H]=0,即角动量守恒的条件。第36页即角动量算符。如体系具有空间旋转不变性，[R,H]=4.空间反射不变性与宇称守恒第37页在空间反射变换P作用下P是线性算符。（1）算符P为厄米算符：(A)由(A)4.空间反射不变性与宇称守恒第37页在空间反射变换P作用下P（2）算符P为么正算符：第38页按式(A)，有厄米性（3）算符P的本征值，奇偶宇称：设再用算符P作用P的本征值只有两个：λ＝±1。λ＝1对应的本征态为偶宇称态λ＝-1对应的本征态为奇宇称态（2）算符P为么正算符：第38页按式(A)，有厄米性（3）第39页（4）宇称为守恒量的条件设一体系具有空间反射不变性，即宇称为守恒量。注意：

A.

若体系的能量本征态不简并，则该能量本征态必有确定宇称。一维谐振子的能量本征态Ψn(x)不简并，而宇称又为守恒量，由此可断定Ψn(x)必有确定宇称。事实上宇称为-1n。B.

当能级有简并，则能量本征态不一定有确定宇称。但总可以把诸简并态适当线性叠加，构成宇称的本征态。第39页（4）宇称为守恒量的条件设一体系具有空间反射不变性，第40页例子：对于一维自由粒子，Hamilton量为显然有P（宇称）为守恒量H的本征态可选为eikx与e-ikx(相应的能量ħ2k2/2m)，它们分别代表往正向与反向传播的平面波，也是动量的本征态(本征值为ħk,-ħk)。这两个态都不是宇称的本征态(k=0除外)，但可把两个解线性叠加，使之成为宇称的本征态，即对一维运动的自由粒子，由于存在两个守恒量：px及宇称P，而彼此又不对易，所以能级一般是简并的(k=0

态除外)。对三维运动的自由粒子，也有类似情况，但简并度更高。第40页例子：对于一维自由粒子，Hamilton量为显然有P第41页（5）态按宇称的奇偶的分类不具有一定宇称的态，总可以分成两部分之和，一部分具有偶宇称，另一部分具有奇宇称，即例如，一维自由粒子波函数Ψ＝eikx不具有确定宇称，但其中coskx宇称为偶，sinkx宇称为奇。（6）奇、偶宇称算符算符也可按其在空间反射下的性质分类A.偶宇称算符:设算符A满足这种算符称为偶宇称算符。例如，角动量算符，动能算符都是偶宇称算符。第41页（5）态按宇称的奇偶的分类不具有一定宇称的态，总可以第42页B.奇宇称算符:假设算符A满足则称A为奇宇称算符，例如动量p和位置r等。一般地，算符A不一定具有这种性质，但总可以表示成不难证明:第42页B.奇宇称算符:假设算符A满足则称A为奇宇称算§5全同粒子与波函数的交换对称性1.全同粒子系的交换对称性

（1）全同粒子

质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等固有性质完全相同的微观粒子.第43页（2）经典粒子的可区分性在经典力学中，尽管两个粒子的固有性质完全相同，但仍可区分这两个粒子。因为它们在运动过程中，都有自己确定的轨道，在任一时刻，都有确定的轨道和速度。可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子12§5全同粒子与波函数的交换对称性1.全同粒子系的交换量子力学微观粒子状态用波函数描写在波函数重叠区粒子是不可区分的（4）全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变,即具有交换对称性。全同性原理是量子力学的基本原理之一。44（3）微观粒子的不可区分性量子力学微观粒子状态用波函数描写在波函数重叠区粒子是不可区第45页全同粒子组成的多粒子系的基本特征是：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子的交换是不变的，即交换对称性。例子：氦原子中的两个电子组成的体系，Hamilton量为两个电子交换时，H显然不变，即P12HP12-1=H，也即[P12,H]=0.第45页全同粒子组成的多粒子系的基本特征是：任何可观测量，特Review

1.线性变换Q,[Q,H]=0,体系的对称变换。

幺正变换，Q+Q=QQ+=I2.无穷小算符F

Q=I+iεF,F+=F.

空间平移不变性动量守恒空间旋转不变性角动量守恒空间反演对称性宇称守恒

3.全同粒子，经典粒子可区分性，量子力学中微观粒子不可区分性。4.全同粒子体系交换对称性。第46页Review1.线性变换Q,[Q,H]=0,体系第47页对于全同粒子体系，任何两个粒子交换一下，其量子态是不变的，因为一切测量结果都不会因此有所改变。这样，就给描述全同粒子系带来很强的限制，即要求全同粒子系的波函数对于粒子交换具有一定的对称性。考虑N个全同粒子组成的多体系，其量子态用波函数Ψ(q1,…,qi,…qj,…)描述，qi(i=1,2,…n)表示每一个粒子的全部坐标（包括空间坐标和自旋坐标）。设Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部交换，即这两个波函数（Ψ与PijΨ）所描述的量子态有何不同？没有不同，因一切测量结果都说不出有什么差别。若说“不同”，不过“第

i粒子”与“第j粒子”对调了一下，但因粒子的内禀属性完全相同，两种情况无法区分。第47页对于全同粒子体系，任何两个粒子交换一下，其量子态是不第48页故只能认为Ψ与PijΨ描述的是同一个量子态，即它们最多可相差一个因子C，用Pij再运算一次，得显然Pij2＝1，所以C2＝1，因而C＝±1。Pij有（而且只有）两个本征值±1

。即全同粒子系的波函数必须满足下面的关系之一式中i≠j=1,2,3….N。凡满足PijΨ=Ψ的，称为对称波函数；满足PijΨ=-Ψ

的，称为反对称波函数。所以，全同粒子系的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称。第48页故只能认为Ψ与PijΨ描述的是同一个量子态，即它们最第49页由于所有的Pij

为守恒量，全同粒子系的波函数的交换对称性是不随时间变化的；或者说全同粒子的统计性（Bose统计或Fermi统计）是不变的。由此得出结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。第49页由于所有的Pij为守恒量，全同粒子系的波函数的交换实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。(1)Bose子凡自旋为整数倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换2

个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为Bose

子如：光子（s=1）；介子（s=0）。(2)Fermi子凡自旋为半奇数倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换2

个粒子总是反对称的，遵从Fermi统计，故称为Fermi子。例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。Fermi子和Bose子50实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完(3)由“基本粒子”组成的复杂粒子如：

粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自 由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类 全同粒子来处理。奇数个Fermi子组成偶数个Fermi子组成51波色子组成的复杂粒子，仍然是波色子。偶数个费米子组成的复杂粒子，是波色子。奇数个费米子组成的复杂粒子，是费米子。(3)由“基本粒子”组成的复杂粒子如：粒子（氦核（1）对称和反对称波函数的构成2

个全同粒子Hamilton

量单粒子波函数两个全同粒子波函数φk(qn)为相应的归一化的单粒子波函数52（1）对称和反对称波函数的构成2个全同粒子Hamilton交换简并粒子1

在i

态，粒子2

在

j态，则体系能量和波函数为：验证：粒子2

在i

态，粒子1在j态，则体系能量和波函数为：状态φ(q1,q2),φ(q2,q1)的能量是简并的，它们由交换两个粒子得到，称为交换简并。53交换简并粒子1在i态，粒子2在j态，则体系能量和满足对称条件波函数的构成全同粒子体系要满足对称性条件，而

(q1,q2)和

(q2,q1)仅当i=j二态相同时，才是一个对称波函数；当ij二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以

(q1,q2)和

(q2,q1)不能用来描写全同粒子体系。构造具有对称性的波函数C为归一化系数显然S(q1,q2)和A(q1,q2)都是H的本征函数，本征值皆为：54满足对称条件波函数的构成全同粒子体系要满足对称性条件，而S

和A的归一化若单粒子波函数是正交归一化的，则

(q1,q2)和

(q2,

q1)也是正交归一化的证：同理：而同理：证毕首先证明55S和A的归一化若单粒子波函数是正交归一化的，证然后考虑S

和A归一化则归一化的S同理对A有：56然后考虑S和A归一化则归一化的S同理对A全同性是个可观测的效应例:设有两个全同的自由粒子，都属于动量的本征态（本征值为

）。下面分三种情况讨论它们在空间的相对距离的几率分布：第57页(a)没有交换对称性。在不计及交换对称性时，两粒子的波函数可表示为分别表示相对坐标，质心坐标，相对动量和总动量，上式之逆表示式是全同性是个可观测的效应第57页(a)没有交换对称性。在不计略去质心运动部分，相对运动的波函数为第58页这样，在距离一个粒子半径在(r,r+dr)的球壳层中找到另一个粒子的几率为式中P(r)

表示几率密度。由上式可以看出P(r)=1/(2π)3是常数（与r无关）。(b)交换反对称波函数。当粒子交换时，R不变，

这样反对称相对运动波函数就可表示为略去质心运动部分，相对运动的波函数为第58页这样，在距离一个由此可以计算出第59页(c)交换对称波函数。类似可求出，由此可以计算出第59页(c)交换对称波函数。类似可求出，（1）Shrödinger方程的解上述对2个全同粒子的讨论可以推广到N个全同粒子体系，设粒子间无相互作用，单粒子H0

不显含时间，则体系单粒子本征方程：N个全同粒子体系波函数60（1）Shrödinger方程的解上述对2个全同粒子的讨（2）Bose子体系和波函数对称化2个Bose子体系，其对称化波函数是：N个Bose子体系，其对称化波函数可类推是：nk

是单粒子态k

上的粒子数61P表示对不同单粒子态的粒子进行对换的置换。（2）Bose子体系和波函数对称化2个Bose子体系，例:N=3Bose子体系,，设有三个单粒子态分别记为1、2

、

3

，求：该体系对称化的波函数。I.

n1=n2=n3=1II.n1=3，n2=n3=0n2=3，n1=n3=0n3=3，n2=n1=0III.n1=2，n2=1，n3=0。另外还有5种可能的状态，分别是：62例:N=3Bose子体系,，设有三个单粒子态分别n1=1，n2=0，n3=2n1=0，n2=1，n3=2n1=0，n2=2，n3=1n1=1，n2=2，n3=0n1=2，n2=0，n3=163n1=1，n2=0，n3=2n1=0，n2=1，n3=2n1（3）Fermi子体系和波函数反对称化2个Fermi

子体系，其反对称化波函数是：行列式的性质保证了波函数反对称化推广到N个Fermi子体系：交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。64（3）Fermi子体系和波函数反对称化2个Fermi子（1）二Fermi子体系其反对称化波函数为：若二粒子处于相同态，例如都处于i态，则写成行列式两行相同，行列式为0（2）NFermi子体系（三）Pauli原理65（1）二Fermi子体系其反对称化波函数为：若二粒子处于如果N个单粒子态

i

j……k

中有两个相同，则行列式中有两行相同，于是行列式为0，即两行同态上述讨论表明，NFermi

子体系中，不能有2个或2个以上Fermi子处于同一状态，这一结论称为Pauli不相容原理。波函数的反对称化保证了全同Fermi子体系的这一重要性质。66如果N个单粒子态ij……k中有67例题：

设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ1，

φ2，φ3试求体系的可能态数目，分三种情况讨论，(a)两个全同Bose子；(b)两个全同Fermi子；(c)两个不同粒子。P95习题4.267例题：解:

(a)对两个全同的Bose子，体系波函数必须满足交换对称性。当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定交换对称：可能态数目3当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波函数：可能态数目所以，两个全同Boss子总的可能态数目668解:(a)对两个全同的Bose子，体系波函数必须满足(b)对两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换反对称要求。对Femi子不允许两个粒子处于相同的单态，因此它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系波函数：可能态数目所以，两个全同Femi子总的可能态数目3对两个经典的粒子(可区分)，其体系波函数无对称性要求，即可能态数目69(b)对两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换反对两个自旋均为1/2的费密子体系的波函数为Φ（12），如果两个费米子是全同的。则（1）Φ（12）满足什么条件？（2）利用所给出的Φ（12）所满足的条件，说明pauli不相容原理。解：（1）Φ（12）要满足Φ（12）＝－Φ（21），因为全同费米子体系的波函数对两个粒子的交换反对称。（2）由Φ（12）＝－Φ（21）得，当两个粒子处于完全相同的量子态，即1＝2时，则Φ（11）＝－Φ（11）因此Φ（11）＝0，这就是说，两个全同费米子不能处于完全相同的量子态，这就是Pauli不相容原理。70两个自旋均为1/2的费密子体系的波函数为Φ（12），如果两个第五章力学量随时间的演化与对称性教学内容第71页§1力学量随时间的演化§2波包的运动，恩费斯脱(Ehrenfest)定理§3

Schrödinger图象和Heisenberg图象§4守恒量与对称性的关系§5全同粒子与波函数的交换对称性第五章力学量随时间的演化与对称性教学内容第1页§1力学量随时间的演化1.守恒量第72页量子力学中力学量随时间的演化，与经典力学不同。处于量子态下的体系，在每一时刻，非所有力学量都具有确定值，而只具有确定的几率分布和平均值。力学量A的平均值随时间的变化力学量A的平均值为其随时间的变化为：§1力学量随时间的演化1.守恒量第2页量子力学中力学量第73页若A不显含时间第3页若A不显含时间第五章-力学量随时间的演化和对称性--量子力学教学课件第五章-力学量随时间的演化和对称性--量子力学教学课件第76页(III)量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初条件决定。守恒量的量子数称为好量子数。(IV)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，L的三分量都守恒([Li,H]=0,i=x,y,z)，但由于Lx,Ly,Lz不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量l=0的态除外）。(V)定态和守恒量的区别:在定态（能量本征态）下，一切力学量(不显含t，不管是否守恒量)的平均值及测量值几率分布都不随时间改变，而守恒量则是在一切状态下(不管是否定态)的平均值和测量值几率分布都不随时间改变。第6页(III)量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的第77页举例1、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符：所以自由粒子的动量是守恒量。2、

粒子在中心力场中运动：角动量守恒皆不显含时间所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒能量守恒第7页举例1、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符：所以自由能级简并与守恒量的关系第78页在处理能量本征值问题，量子态随时间变化，量子跃迁以及散射等问题中，守恒量的应用极广。主要涉及能量简并，包括：(a)能级简并否？(b)在能级简并时，如何标记各简并态。定理：设体系两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0,

[G,H]=0，但[F,G]≠0，则体系能级一般是简并的。证：由于[F,H]=0，F与H可以有共同本征函数Ψ即GΨ也是H的本征态，对应于本征值E。但GΨ与Ψ是否同一个量子态？考虑到[F,G]≠0,一般有即GΨ不是F的本征态但Ψ是F的本征态，因此GΨ与Ψ不是同一个态。但它们又都是H的本征值为E的本征态，因此能级是简并的。能级简并与守恒量的关系第8页在处理能量本征值问题，量子态随时Review力学量平均值随时间的演化第79页守恒量[A,H]=01.平均值不随时间改变2.测量值几率不随时间改变定理：设体系两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0，但[F,G]≠0，则体系能级一般是简并的。守恒量和定态Review力学量平均值随时间的演化第9页守恒量[A第80页推论：若体系有一守恒量F，而体系的某条能级不简并(即对应于某能量本征值E只有一个量子态ΨE)，则ΨE必为F的本征态。FψE

也是H的本征值为E的本征态。由于无简并，位力(Virial)定理:设粒子处于势场V(r)中，哈密顿量为H=T+V(r),在定态下有式中T=p2/2m是粒子动能，上式即位力定理。第10页推论：若体系有一守恒量F，而体系的某条能级不简并(即证明：考虑r·p

随时间的变化第81页对于定态证明：考虑r·p随时间的变化第11页对于定态练习：设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数，即V(cx,cy,cz)=cnV(x,y,z),c为常数，证明第82页应用于（a)谐振子势，n=2,有（b)Coulomb势，n=-1,有（c)δ势，n=-1,与Coulomb势相同练习：设V(x,y,z)是x,y,z的n次齐次函数第83页海尔曼(Hellmanm)-费曼(Feynman)定理:当体系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算。H-F定理：设体系的Hamilton量H

中含有某参量λ，En

是H的本征值，ψn

是归一的束缚态本征函数（n

为一组量子数），则量子体系的能量本征值随参数的变化。Dirac

符号第13页海尔曼(Hellmanm)-费曼(Feynman证明：Ψn

满足能量本征方程第84页对λ

求导数，并左乘<ψn|证明：Ψn满足能量本征方程第14页对λ求导数，并左乘例子：证明：一维谐振子Hamilton

量第85页证明一维谐振子，能量本征态下<V>=<p2/2m>。方法I：取m作为参数由HF定理则<V>=<p2/2m>。例子：证明：一维谐振子Hamilton量第15页证明一维第86页方法IIω为参数方法IIIℏ

为参数第16页方法IIω为参数方法IIIℏ为参数§2波包的运动，恩费斯脱(Ehrenfest)定理第87页恩费斯脱(Ehrenfest)定理：设粒子的Hamilton量为H=p2/2m+V(r),则有证明：粒子坐标和动量平均值随时间变化如下它们与经典粒子运动满足的正则方程相似。质量为m的粒子，在势场V(r)中运动，用波包Ψ(r,t)描述。与经典粒子运动相对应的Ψ(r,t)为非定态，定态下粒子在空间的几率密度|Ψ(r,t)|2是不随时间变化§2波包的运动，恩费斯脱(Ehrenfest)定理第17第88页Ehrenfest定理的形式与经典牛顿方程相似。但只当<F(r)>可以近似为F(r)时，波包中心<r>的运动规律才与经典粒子相同。下面讨论，在什么条件下可以做这种近似。为简单起见，以一维波包运动为例。在波包中心xc=<x>附近对V(x)作Taylor展开，令ξ=x-xc所以(利用<ξ>=0)只当第18页Ehrenfest定理的形式与经典牛顿方程相似。但只才可近似代之为第89页此时Ehrenfest方程才与经典牛顿方程形式上完全相同。要求在整个运动过程中成立，就要求：

(a)波包很窄，而且在运动过程中扩散不厉害，(b)V在空间变化较缓慢(在波包范围中变化很小)。物理上，一个波包描述粒子的运动，要求为：（1）波包必须很窄，波包大小与粒子大小相当；（2）势场V(r)在空间变化很缓慢；（3）在运动过程中波包扩散不太厉害。才可近似代之为第19页此时Ehrenfest方程才与经典牛顿α粒子对原子的散射原子的半径为a≈10-8cm，天然放射性元素放出的α粒子能量约为3—7MeV，设Eα

≈5MeV，可估算出其动量p

α=(2m

αE

α)1/2≈10-14gcms-1。在对原子的散射过程中，

α粒子穿越原子的时间约为δt≈a/v

α=m

αa/p

α,第90页α波包的扩散约为δx=Δv

α*δt=

(Δp

α/m

α)*(m

αa/p

α)=(Δp

/p

α)a.

如要求粒子穿越过程可近似用轨道运动来描述，就要求δx<<a,即Δp

/pα<<1，按不确定关系，

Δp

≈ℏ/δx=ℏ/

a≈10-19gcms-1，对天然放射性元素放出的α粒子，

Δp

<<pα，故可以用轨道来近似描述。若是电子对原子散射，对100MeV电子，pe≈54-19gcms-1，用轨道描述电子对原子的散射就不合适了。α粒子对原子的散射原子的半径为a≈10-8cm，天然放射性元§3Schrödinger图象和Heisenberg图象第91页1、Schrödinger图象该图象中，态矢随时间演化，遵从Schrödinger方程力学量(算符，不显含t)不随时间演化，讨论其平均值和几率分布随时间的演化。例如，力学量F的平均值随时间演化为力学量平均值及几率分布随时间的演化完全归结于波函数Ψ.波函数Ψ并不是直接观测的量，与实际观测有关的是力学量的平均值以及测值几率。它们随时间的演化存在其他等价方式。§3Schrödinger图象和Heisenberg图描述体系状态的矢量不随时间改变，但力学量随时间演化。第92页2、Heisenberg图象（1）时间演化算符引入时间演化算符U(t,0)，可视为体系状态随时间演化的连续变换可以证明：A.U(t,0)为么正算符：B.H不显含t时，可有描述体系状态的矢量不随时间改变，但力学量随时间演化。第22页证明：第93页A.由于保证几率守恒(Ψ(t),Ψ(t))=(Ψ(0),Ψ(0))，有即U为么正变换。B.(设H不显含t)证明：第23页A.由于保证几率守恒(Ψ(t),Ψ(t)第94页（2）Heisenberg方程可以证明：此式称为Heisenberg方程，它描述算符F(t)随时间的演化。证明：第24页（2）Heisenberg方程可以证明：此式称为H第95页（3）S图像与H图像的比较在S图象中，力学量(算符)F不随时间变化，态矢Ψ(t)随时间演化，遵从S方程H图象中，态矢不随时间演化，而力学量F(t)随时间演化，遵从H方程两种图象是等价的。凡物理上可观测的结果都不会因所采取图象不同而异。第25页（3）S图像与H图像的比较在S图象中，力学量(算符例子：1.自由粒子.

H=p2/2m,[p,H]=0,p为守恒量，所以p(t)=p(0)=p.

第96页2.一维谐振子.例子：1.自由粒子.H=p2/2m,[p,H]第97页形式上与经典力学中谐振子的Newton方程一致。通解为利用初始条件第27页形式上与经典力学中谐振子的Newton方程一致。通解§4守恒量与对称性的关系第98页对称性无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象.德国数学家魏尔（H.Weyl,1885-1955）用严谨的概念描述对称性.他对对称性做了如下定义：如果对一个事物施加某种操作,并且操作以后的情况与原来的完全相同,则这个事物是对称的,而这种操作就称为对称性操作。对称性反映的是客观物质世界结构方面的规律，而守恒律反映的是客观物质世界运动变化方面的规律。§4守恒量与对称性的关系第28页对称性无论对艺术还是自然在量子力学中，我们将看到：

能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系。第99页空间平移不变性动量守恒空间旋转不变性角动量守恒空间反演对称性宇称守恒

一个力学系统的对称性就是它的运动规律的不变性。在量子力学中，运动规律是薛定谔方程，它决定于系统的哈密顿算符H，因此，量子力学系统的对称性表现为哈密顿算符H的不变性。在量子力学中，我们将看到：第29页空间平移不变性动第100页体系的对称变换－线性变换算符设体系的状态用Ψ描述，满足S方程考虑某种线性变换Q(存在逆变换Q－1

，不依赖于时间)，在此变换下，Ψ

变化如下对称性要求Ψ′与Ψ遵守相同的运动方程，即用Q－1运算要求Q－1HQ＝H，即HQ＝QH，或表成这就是体系Hamilton量在变换下不变性的数学表达。凡满足上式的变换，称为体系的对称变换。

第30页体系的对称变换－线性变换算符设体系的状态用Ψ描述，满第101页线性变换算符Q的性质考虑到几率守恒，要求则Q应为幺正算符，即对于连续变换，可以考虑无穷小变换，令ε→0＋，是刻画无穷小的实参数。即要求故F

应为厄米算符，称为变换Q

的无穷小算符.由于它是厄米算符，可用它来定义一个与Q

变换相联系的可观测量。体系在变换Q

下的不变性[Q,H]=0，就导致故F就是体系的一个守恒量.第31页线性变换算符Q的性质考虑到几率守恒，要求则Q应为幺正2.平移不变性与动量守恒第102页考虑体系沿x轴方向的无限小平移描述体系状态的波函数变化如下：显然将上式中x的换成x-δx，则有2.平移不变性与动量守恒第32页考虑体系沿x轴方向的无限小第103页所以平移δx的算符可表为式中为相应的无穷小算符。对于三维空间的无穷小平移p即动量算符。设体系具有平移不变性，[D,H]=0，则有[p,H]=0，此即动量守恒的条件。第33页所以平移δx的算符可表为式中为相应的无穷小算符。3.空间旋转不变性与角动量守恒第104页先考虑一个简单情况，即体系绕z轴转无穷小角度δφ,φ→φ′=φ+δφ，波函数变化如下对于标量波函数，则有将上式中φ换成φ-δφ，则有3.空间旋转不变性与角动量守恒第34页先考虑一个简单情况第105页所以绕z轴旋转δφ

角的算符为即角动量的z分量算符现考虑三维空间中绕某方向n(单位矢)的无穷小旋转.在此变换下，标量波函数变化如下第35页所以绕z轴旋转δφ角的算符为即角动量的z分量算符第106页即角动量算符。如体系具有空间旋转不变性，[R,H]=0，则导致

[L,H]=0,即角动量守恒的条件。第36页即角动量算符。如体系具有空间旋转不变性，[R,H]=4.空间反射不变性与宇称守恒第107页在空间反射变换P作用下P是线性算符。（1）算符P为厄米算符：(A)由(A)4.空间反射不变性与宇称守恒第37页在空间反射变换P作用下P（2）算符P为么正算符：第108页按式(A)，有厄米性（3）算符P的本征值，奇偶宇称：设再用算符P作用P的本征值只有两个：λ＝±1。λ＝1对应的本征态为偶宇称态λ＝-1对应的本征态为奇宇称态（2）算符P为么正算符：第38页按式(A)，有厄米性（3）第109页（4）宇称为守恒量的条件设一体系具有空间反射不变性，即宇称为守恒量。注意：

A.

若体系的能量本征态不简并，则该能量本征态必有确定宇称。一维谐振子的能量本征态Ψn(x)不简并，而宇称又为守恒量，由此可断定Ψn(x)必有确定宇称。事实上宇称为-1n。B.

当能级有简并，则能量本征态不一定有确定宇称。但总可以把诸简并态适当线性叠加，构成宇称的本征态。第39页（4）宇称为守恒量的条件设一体系具有空间反射不变性，第110页例子：对于一维自由粒子，Hamilton量为显然有P（宇称）为守恒量H的本征态可选为eikx与e-ikx(相应的能量ħ2k2/2m)，它们分别代表往正向与反向传播的平面波，也是动量的本征态(本征值为ħk,-ħk)。这两个态都不是宇称的本征态(k=0除外)，但可把两个解线性叠加，使之成为宇称的本征态，即对一维运动的自由粒子，由于存在两个守恒量：px及宇称P，而彼此又不对易，所以能级一般是简并的(k=0

态除外)。对三维运动的自由粒子，也有类似情况，但简并度更高。第40页例子：对于一维自由粒子，Hamilton量为显然有P第111页（5）态按宇称的奇偶的分类不具有一定宇称的态，总可以分成两部分之和，一部分具有偶宇称，另一部分具有奇宇称，即例如，一维自由粒子波函数Ψ＝eikx不具有确定宇称，但其中coskx宇称为偶，sinkx宇称为奇。（6）奇、偶宇称算符算符也可按其在空间反射下的性质分类A.偶宇称算符:设算符A满足这种算符称为偶宇称算符。例如，角动量算符，动能算符都是偶宇称算符。第41页（5）态按宇称的奇偶的分类不具有一定宇称的态，总可以第112页B.奇宇称算符:假设算符A满足则称A为奇宇称算符，例如动量p和位置r等。一般地，算符A不一定具有这种性质，但总可以表示成不难证明:第42页B.奇宇称算符:假设算符A满足则称A为奇宇称算§5全同粒子与波函数的交换对称性1.全同粒子系的交换对称性

（1）全同粒子

质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等固有性质完全相同的微观粒子.第113页（2）经典粒子的可区分性在经典力学中，尽管两个粒子的固有性质完全相同，但仍可区分这两个粒子。因为它们在运动过程中，都有自己确定的轨道，在任一时刻，都有确定的轨道和速度。可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子12§5全同粒子与波函数的交换对称性1.全同粒子系的交换量子力学微观粒子状态用波函数描写在波函数重叠区粒子是不可区分的（4）全同性原理全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状态的改变,即具有交换对称性。全同性原理是量子力学的基本原理之一。114（3）微观粒子的不可区分性量子力学微观粒子状态用波函数描写在波函数重叠区粒子是不可区第115页全同粒子组成的多粒子系的基本特征是：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子的交换是不变的，即交换对称性。例子：氦原子中的两个电子组成的体系，Hamilton量为两个电子交换时，H显然不变，即P12HP12-1=H，也即[P12,H]=0.第45页全同粒子组成的多粒子系的基本特征是：任何可观测量，特Review

1.线性变换Q,[Q,H]=0,体系的对称变换。

幺正变换，Q+Q=QQ+=I2.无穷小算符F

Q=I+iεF,F+=F.

空间平移不变性动量守恒空间旋转不变性角动量守恒空间反演对称性宇称守恒

3.全同粒子，经典粒子可区分性，量子力学中微观粒子不可区分性。4.全同粒子体系交换对称性。第116页Review1.线性变换Q,[Q,H]=0,体系第117页对于全同粒子体系，任何两个粒子交换一下，其量子态是不变的，因为一切测量结果都不会因此有所改变。这样，就给描述全同粒子系带来很强的限制，即要求全同粒子系的波函数对于粒子交换具有一定的对称性。考虑N个全同粒子组成的多体系，其量子态用波函数Ψ(q1,…,qi,…qj,…)描述，qi(i=1,2,…n)表示每一个粒子的全部坐标（包括空间坐标和自旋坐标）。设Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部交换，即这两个波函数（Ψ与PijΨ）所描述的量子态有何不同？没有不同，因一切测量结果都说不出有什么差别。若说“不同”，不过“第

i粒子”与“第j粒子”对调了一下，但因粒子的内禀属性完全相同，两种情况无法区分。第47页对于全同粒子体系，任何两个粒子交换一下，其量子态是不第118页故只能认为Ψ与PijΨ描述的是同一个量子态，即它们最多可相差一个因子C，用Pij再运算一次，得显然Pij2＝1，所以C2＝1，因而C＝±1。Pij有（而且只有）两个本征值±1

。即全同粒子系的波函数必须满足下面的关系之一式中i≠j=1,2,3….N。凡满足PijΨ=Ψ的，称为对称波函数；满足PijΨ=-Ψ

的，称为反对称波函数。所以，全同粒子系的交换对称性给了波函数一个很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称。第48页故只能认为Ψ与PijΨ描述的是同一个量子态，即它们最第119页由于所有的Pij

为守恒量，全同粒子系的波函数的交换对称性是不随时间变化的；或者说全同粒子的统计性（Bose统计或Fermi统计）是不变的。由此得出结论：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。第49页由于所有的Pij为守恒量，全同粒子系的波函数的交换实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。(1)Bose子凡自旋为整数倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换2

个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为Bose

子如：光子（s=1）；介子（s=0）。(2)Fermi子凡自旋为半奇数倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函数对于交换2

个粒子总是反对称的，遵从Fermi统计，故称为Fermi子。例如：电子、质子、中子（s=1/2）等粒子。Fermi子和Bose子120实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是完(3)由“基本粒子”组成的复杂粒子如：

粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所讨论或过程中，内部状态保持不变，即内部自 由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可以作为一类 全同粒子来处理。奇数个Fermi子组成偶数个Fermi子组成121波色子组成的复杂粒子，仍然是波色子。偶数个费米子组成的复杂粒子，是波色子。奇数个费米子组成的复杂粒子，是费米子。(3)由“基本粒子”组成的复杂粒子如：粒子（氦核（1）对称和反对称波函数的构成2

个全同粒子Hamilton

量单粒子波函数两个全同粒子波函数φk(qn)为相应的归一化的单粒子波函数122（1）对称和反对称波函数的构成2个全同粒子Hamilton交换简并粒子1

在i

态，粒子2

在

j态，则体系能量和波函数为：验证：粒子2

在i

态，粒子1在j态，则体系能量和波函数为：状态φ(q1,q2),φ(q2,q1)的能量是简并的，它们由交换两个粒子得到，称为交换简并。123交换简并粒子1在i态，粒子2在j态，则体系能量和满足对称条件波函数的构成全同粒子体系要满足对称性条件，而

(q1,q2)和

(q2,q1)仅当i=j二态相同时，才是一个对称波函数；当ij二态不同时，既不是对称波函数，也不是反对称波函数。所以

(q1,q2)和

(q2,q1)不能用来描写全同粒子体系。构造具有对称性的波函数C为归一化系数显然S(q1,q2)和A(q1,q2)都是H的本征函数，本征值皆为：124满足对称条件波函数的构成全同粒子体系要满足对称性条件，而S

和A的归一化若单粒子波函数是正交归一化的，则

(q1,q2)和

(q2,

q1)也是正交归一化的证：同理：而同理：证毕首先证明125S和A的归一化若单粒子波函数是正交归一化的，证然后考虑S

和