材料力学第5章课件

1第五章

弯曲内力1第五章2当杆件受到垂直于轴线的外力或受到位于轴线所在平面的力偶作用时，杆件的轴线会变弯，此类变形称为弯曲。以弯曲为主要变形形式的杆件称为梁。§

5.1梁的平面弯曲的概念及梁的计算简图5.1.1平面弯曲的概念2当杆件受到垂直于轴线的外力或受到位于轴线所在平面的力偶作用3

对称弯曲——所有外力（包括外力偶）均作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。

平面弯曲——对称弯曲和特定条件下的非对称弯曲（具体下章介绍），梁变形后的轴线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。3对称弯曲——所有外力（包括外力偶）均作用于梁的45.1.2梁的计算简图根据具体情况区分主次因素，把梁的几何形状、荷载、支承作合理简化，供分析和计算使用，称为梁的计算简图。固定端：梁端在支座处既不能转动，又不能沿任意方向移动，简化形式如图a所示。固定铰支座：梁在支座处可以转动，但不能移动，简化形式如图a所示。活动铰支座：只限制梁在支座处沿垂直于支承面方向的移动，简化形式如图c所示。45.1.2梁的计算简图根据具体情况区分主次因素，把梁的几5在梁的计算简图中，两个支承中间的部分称为跨，其长度称为跨长，工程上根据支承条件的不同，把单跨静定梁分为简支梁、外伸梁和悬臂梁三种。5在梁的计算简图中，两个支承中间的部分称为跨，其长6§5.2

梁的内力及其求法当已知作用在梁上的全部外力时,就可以利用截面法求出梁的内力。设简支梁AB受集中力F作用，如右图所示，约束反力分别为FA和FB。计算距离左端支座距离为x处m-m截面上的内力。6§5.2梁的内力及其求法当已知作用在梁上的全部外力7利用截面法，将梁沿横截面m-m截为两段，取左段梁分析，由平衡条件可知：在横截面m-m上必有一作用线与FA平行而指向相反的内力。设内力为FS，则由平衡方程：

即可得：FS称为剪力。7利用截面法，将梁沿横截面m-m截为两段，取左段梁分析，由平8由于外力FA和剪力FS组成一力偶，因而，根据左段梁的平衡可知，横截面上必有一与其相平衡的内力偶。设内力偶矩为M，则由平衡方程：即可得：矩心C为横截面m-m的形心，内力偶矩M称为弯矩。m-m面上的内力也可通过右段梁的平衡条件求得，其结果与通过左段梁求得的值完全相同，但方向相反。8由于外力FA和剪力FS组成一力偶，因而，根据左段梁的平衡可9为使左右两段梁上算得的同一横截面m-m上的剪力和弯矩结果一致，对内力符号作如下规定：（1）剪力符号：当截面上的剪力使考虑的隔离体有顺时针方向转动趋势时为正，反之为负。（2）弯矩符号：当截面上的弯矩使考虑的隔离体下侧受拉，上侧受压时为正，反之为负。9为使左右两段梁上算得的同一横截面m-m上的剪力和弯矩结果一10例题5.1：图示简支梁，受均布荷载作用，试求距离左端长度为a的m-m截面上的内力。已知q＝1kN/m，梁长度L＝5m，a＝2m。解：（1）求支座反力，由平衡方程：得：10例题5.1：图示简支梁，受均布荷载作用，试求距离左端长度11得：（2）求截面上的内力：在截面m-m处将梁截开，取左半段为研究对象，由平衡条件(FS和M

设为正方向)：即得：即得：注：FS和M均为正值，表示实际方向与假设方向一致。11得：（2）求截面上的内力：在截面m-m处将梁截开，取左半12例题5.2：图示外伸梁，受集中力F作用，求距离左端长度分别为a、b的C截面和D截面上的内力。解：（1）求支座反力，由平衡方程：即得：即得：12例题5.2：图示外伸梁，受集中力F作用，求距离左端长度分13（2）求截面C上的内力：在截面C处将梁截开，取左半段为研究对象，由平衡条件（FSC和MC

设为正方向）：即得：即得：13（2）求截面C上的内力：在截面C处将梁截开，取左半段为研14（3）求截面D上的内力：在截面D处将梁截开，取右半段为研究对象，由平衡条件（FSD和MD

设为正方向）：即得：即得：14（3）求截面D上的内力：在截面D处将梁截开，取右半段为研15

小结：从上述例题的计算可以看出，为简化计算，应用截面法求某一横截面上的内力时，可直接从横截面任一侧梁上的外力来求得该截面上的剪力和弯矩，即：（1）梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面任一侧（左侧或右侧）所有竖向外力的代数和。其中，使得考虑的隔离体有顺时针方向转动趋势的外力引起正值剪力，反之则引起负值剪力。（2）梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面任一侧（左侧或右侧）所有外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩的代数和。其中，使得考虑的隔离体下侧受拉的外力将引起正值弯矩，反之则引起负值弯矩。15小结：从上述例题的计算可以看出，为简化计算，应用截面

用沿梁轴线的坐标x表示梁横截面的位置，则梁各横截上的剪力和弯矩可以分别表示为坐标x的函数。

16§5.3剪力方程和弯矩方程

剪力图和弯矩图

这些函数分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律，称为梁的剪力方程和弯矩方程。用图线来表示梁的各个横截面上的剪力和弯矩沿着梁轴线的变化情况，称为剪力图和弯矩图。

梁的内力图的基本绘制方法是首先列出剪力方程和弯矩方程，然后根据方程绘出剪力图和弯矩图。用沿梁轴线的坐标x表示梁横截面的位置

例题5.3：图示悬臂梁，在自由端受集中荷载F作用，试作此悬臂梁的剪力图和弯矩图。解：将坐标原点取在梁的左端点，

取距左端x的任意横截面，考虑截面的左侧梁段，写出该截面上的剪力和弯矩即为梁的剪力方程和弯矩方程：

（1）

FS(x)=－F(0<x<L)

（2）M(x)=－Fx(0x<L)17例题5.3：图示悬臂梁，在自由端受集中荷载F作用，试18由图可见，在固定端左侧的横截面上的弯矩值为最大弯矩值，|Mmax|=FL。由式（1）可知，剪力图在(0<x<L)范围内为常量，因此，只需确定线上的任意一点，即可绘出剪力图。由式（2）可知，弯矩图在(0x<L)范围内为斜直线，只需确定线上两点，即可绘出弯矩图。18由图可见，在固定端左侧的横截面上的弯矩值为最大弯矩值，|

例题5.4：图示简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，试作梁的剪力图和弯矩图。

19解：（1）求支座反力由平衡方程求得A、B处的支座反力分别为：（2）确定剪力方程和弯矩方程

(0<x<L)

解：（1）求支座反力由平衡方程解：（1）求支座反力由平衡方程解：（1）求支座反力由平衡方程

(0<x<L)

(0xL)

例题5.4：图示简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，20

由剪力方程可知，剪力图在(0<x<L)范围内为斜直线，只需确定线上两点即可绘出剪力图。

由弯矩方程可知，弯矩图在(0xL)范围内为二次曲线，至少需要确定其上的三个点才可绘出弯矩图。由图可见，在两支座内侧横截面上的剪力值最大；在梁跨中点横截面上的弯矩值最大。20由剪力方程可知，剪力图在(0<x<L)范围内例题5.5：图示简支梁，在C处受一集中力F作用，试作梁的剪力图和弯矩图。21解：（1）求支座反力由平衡方程和，求得A、B处的支座反力分别为：（2）确定剪力方程和弯矩方程

显然在集中力两侧的梁段，其剪力方程和弯矩方程均不相同，分别写出剪力方程和弯矩方程。例题5.5：图示简支梁，在C处受一集中力F作用，试作梁的剪22对于CB段梁，列出剪力方程和弯矩方程分别为：对于AC段，列出剪力方程和弯矩方程分别为：22对于CB段梁，列出剪力方程和弯矩方程分别为：对于AC23

由(1)、(3)式可知，左右两段梁各为一条平行于基准线的直线；由(2)、(4)式可知，左右两段梁各为一斜直线。根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图。由图可见，当b>a时，AC段梁任一横截面上的剪力最大

；在集中力作用处横截面上的弯矩值最大。在集中力作用处左、右两侧面上的剪力值有突变，突变值的大小等于集中力的大小；在集中力作用处，弯矩图有一折角。23由(1)、(3)式可知，左右两段梁各为一条平行于基准24例题5.6图示的简支梁在C点处受矩为

的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。

解：（1）求支座反力由平衡方程求得A、B处的支座反力分别为：求得A、B处的支座反力分别为：求得A、B处的支座反力分别为：24例题5.6图示的简支梁在C点处受矩为的集中力偶作用25(2)列剪力方程、弯矩方程由于简支梁上仅有一力偶作用，故全梁只有一个剪力方程，而AC和CB两段梁的弯矩方程则不同剪力和弯矩方程分别为（3）作剪力图、弯矩图25(2)列剪力方程、弯矩方程（3）作剪力图、弯矩图26由式（1）可知，整个梁的剪力图是一平行于轴线的直线。由式（2）、（3）两式可知，左、右两梁段的弯矩图各为一斜直线。根据各方程的适用范围，就可分别绘出梁的剪力图和弯矩图（图b、c）。由图可见，在集中力偶作用处左、右两侧截面上的弯矩值有突变。26由式（1）可知，整个梁的剪力图是一平行于轴线的直线。由式由上述例题，可归纳出以下规律：（1）分段：在梁上外力不连续处，即在集中力、集中力偶作用处和分布荷载开始或结束处，梁的弯矩方程和弯矩图应该分段；对于剪力方程和剪力图，除去集中力偶作用处以外，也应该分段。（2）突变：梁上集中力作用处，在剪力图上相应于此处有一突变，突变值的大小等于集中力的大小，而在弯矩图上相应处有一个折角。梁上集中力作用处，对应弯矩图上有一突变，突变值的大小等于集中力偶的大小，但剪力图上相应处无变化。（3）极值：全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在全梁或各段梁的边界截面或极值点的截面处，通常极值弯矩发生在剪力为零处、集中力作用处或集中力偶两侧。由上述例题，可归纳出以下规律：（2）突变：梁上集中力作用处，28实际上，集中力是作用在很短的一段梁（如图所示，长度为dx）上的分布力的简化，若将分布力看作是在长为dx范围内均匀分布的，则在该段梁上实际的剪力图是按直线规律连续变化的。同理，集中力偶实际上也是一种简化的结果，若按实际情况分布，绘出的弯矩图也是连续变化的。

28实际上，集中力是作用在很短的一段梁（如图所示，长度为dx29§5.4剪力、弯矩与分布荷载集度的微分关系

图示的梁上作用有任意分布荷载，以梁的左端为坐标原点，x轴向右为正。分布荷载是x的连续函数，并规定向上（与轴方向一致）为正。用两相邻横截面假象地从梁中截取出长为dx的微段，并将其放大如图所示。29§5.4剪力、弯矩与分布荷载集度的微分关系图示的梁30由梁段的平衡，有：

，，式中矩心C为横截面的形心，略去上面第二式中的二阶微量，整理后可得：即剪力对x的导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。（5.1）30由梁段的平衡，有：，，式中矩心C为横截面的形心，略去31

（5.2）即弯矩对x的导数等于梁上相应截面上的剪力。由（5.1）、（5.2）两式又可得：（5.3）即弯矩对x的二次导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。上述三式，就是荷载集度，剪力和弯矩之间的微分关系。31（5.2）即弯矩对x的导数等于梁上相应截32

（1）若某段梁上无分布荷载，即，则该段梁的剪力为常量，剪力图为平行于轴的直线；而弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直线。（2）若某段梁上的分布荷载（常量），则该段梁的剪力为的一次函数，剪力图为斜直线；而为的二次函数，弯矩图为抛物线。在本书规定的坐标中，当（向上）时，弯矩图为向上凸的曲线；当（向下）时，弯矩图为向下凸的曲线。此外若某截面的剪力，则，该截面的弯矩为极值。现将应用这些关系得到的剪力图和弯矩图的一些特征归纳如下：32（1）若某段梁上无分布荷载，即，则（4）若某截面有集中力偶作用，则在该截面的左、右两侧，弯矩发生突然变化，突变的数值与集中力偶相同；而剪力图连续且无变化。（3）若某截面有集中力作用，则在该截面的左、右两侧，剪力发生突然变化，在该截面处弯矩图连续，但有一折角。应该指出，上述关系应按本书的坐标系和正负规定才是正确的。荷载集度、剪力与弯矩之间的关系以及剪力图、弯矩图的特征汇总整理见表5.1。（4）若某截面有集中力偶作用，则在该截面的左、右两侧，弯矩发34

3435利用荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系绘制剪力图和弯矩图，也称为简易法，其步骤如下：

（1）求支座反力；（2）分段确定剪力图和弯矩图的形状；（3）求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；（4）确定|Fs|max和|M|max。35利用荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系绘36

解：（1）由平衡方程和求得A、B处的支座反力分别为：方向如图所示。例题5.7：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。36解：（1）由平衡方程和求得A、B处的支座反力分（2）作剪力图和弯矩图的基准线，根据梁的受力状况，将剪力图分为CA和AB两段，弯矩图分为CA、AD和DB三段。其中CA段受均布荷载作用，其剪力图为一条斜直线，可由CA段端点处的剪力值确定；（2）作剪力图和弯矩图的基准线，根据梁的受力状况弯矩图为二次曲线，由三点确定，其中两点为AC段端点，第三点取CA段中剪力为零的点（弯矩极值点），如果没有剪力为零的点，则取CA段中点的弯矩。AD和DB段均为自由段，其剪力图为常量；弯矩图为斜直线，在集中力偶作用处，弯矩图有突变，要分别计算集中力偶作用处的左、右两侧横截面上的弯矩。弯矩图为二次曲线，由三点确定，其中两点为AC段端点，第39

各段梁的关键点处的剪力值和弯矩值列于例题5.7表。由图可见：|Mmax|=15kNm，发生在D截面右侧。

例题5.7表39各段梁的关键点处的剪力值和弯矩值列于例题5.7表40解：（1）由平衡方程和，求得A、B处的支座反力分别为：，方向如图所示。例题5.8：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。40例题5.8：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。41（2）作剪力图和弯矩图的基准线，根据梁的受力状况，将剪力图和弯矩图分为CA、AD和DB三段。其中CA和AD段均为自由段，其剪力为常量，弯矩图为一斜直线，在集中力FA作用处，剪力图有突变，要分别计算集中力作用处左、右两侧横截面上的剪力。41（2）作剪力图和弯矩图的基准线，根据梁的受力状况，将剪力42弯矩图有一折角；DB段受均布荷载作用，其剪力图为一条斜直线，由DB段两端点确定，弯矩图为二次曲线，由三点确定，其中两点为DB段端点，第三点取DB段中剪力为零的点，即弯矩的极值点。各段梁的关键点处的剪力值和弯矩列于例题5.8表。42弯矩图有一折角；DB段受均布荷载作用，其剪力图为一条斜直43由图可见，弯矩有三个极值点，其中|Mmax|=5kNm。例题5.8表

43由图可见，弯矩有三个极值点，其中|Mmax|=5kN44例题5.9：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。解：（1）由平衡方程和，求得A、B处的支座反力分别为：，方向如图所示。44例题5.9：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。解：（145（2）将剪力图和弯矩图分为CA、AB和BD三段。其中CA和BD段均为自由段，其剪力为常量，弯矩图为直线；AB段受均布荷载作用，其剪力图为一条斜直线，由AB段两端点确定，弯矩图为二次曲线，由三点确定，其中两点为AB段端点，第三点取AB段中剪力为零的点，即弯矩的极值点。各段的梁的关键点处的剪力值和弯矩值列于例题5.9表。45（2）将剪力图和弯矩图分为CA、AB和BD三段。其中CA46

例题5.9表

46例题5.9表47例题5.10：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。解：（1）由平衡方程和，求得B、C处的支座反力分别为：方向如图所示。47例题5.10：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。解：（148（2）将剪力图和弯矩图分为AB和BC两段。两段均受均布荷载作用，其剪力图为一条斜直线，各由两点确定，在集中力作用处，剪力图有突变，要分别计算集中力作用处两侧横截面上的剪力；弯矩图为二次曲线，由三点确定。其中AB段中的两点为梁段端点A、B，第三点取AB段中点截面的弯矩值。其中BC段中的两点为梁段端点B、C，第三点取BC段中剪力为零的点，集中力作用处，弯矩图有一折角。48（2）将剪力图和弯矩图分为AB和BC两段。两段均受均布荷49各段梁的关键点处的剪力值和弯矩值列于例题5.10表。由图可见，弯矩有两个极值点，|Mmax|=8kNm例题5.10表

49各段梁的关键点处的剪力值和弯矩值列于例题5.10表。由图§5.5用叠加原理作弯矩图叠加原理——当所求的参数（内力、应力或位移）与梁上荷载为线性关系时，由几个荷载共同作用时所引起的某一参数，就等于每个荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。由于在常见荷载的作用下，梁的剪力图一般比较简单，所以通常不用叠加原理作图。而有时用叠加原理作弯矩图就比较方便，下面通过两道例题加以说明。

§5.5用叠加原理作弯矩图叠加原理——当所求的参数（内图示简支梁受均布荷载q作用，并在跨中受集中荷载F作用，试用叠加法作其弯矩图。例题5.11图示简支梁受均布荷载q作用，并在跨中受集中荷载F解:梁上作用有两种荷载：集中力F和均布荷载q，分解荷载，把梁分别看作集中力F和均布荷载q单独作用，画出每个单一荷载作用下梁的弯矩图如图所示，将同一横截面处的弯矩代数相加，即获得梁的弯矩图。其例题5.11解:梁上作用有两种荷载：集中力F和均布荷载q，分解荷载，把梁例题

5.12

简支梁在跨中同时受集中荷载F和矩为FL的集中力偶作用，试用叠加法作其弯矩图。例题5.12简支梁在跨中同时受集中荷载F和矩为FL的集例题5.12

解:梁上作用有两种荷载：集中力F和集中力偶FL，分解荷载，把梁看作集中力F和集中力偶FL单独作用，画出每个单一荷载作用下的弯矩图如右图所示，将同一横截面处的弯矩值代数相加，即获得梁的弯矩图。其例题5.12解:梁上作用有两种荷载：集中力F和集中力偶55本章小结（1）平面弯曲的概念：若梁上所有外力（包括外力偶）均作用在纵向平面内，则梁变形之后的轴线必定为在该纵向对称面内的平面曲线，称为平面弯曲。（2）单跨静定梁的基本形式：简支梁、外伸梁和悬臂梁（3）梁的内力：剪力和弯矩；（4）荷载集度q、剪力FS和弯矩M之间的关系（5）叠加原理：当所求的参数（内力、应力或位移）与梁上荷载为线性关系时，由几个荷载共同作用时所引起的某一参数，就等于每个荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。55本章小结（1）平面弯曲的概念：若梁上所有外力（包括外力偶56第五章结束56第五章结束57第五章

弯曲内力1第五章58当杆件受到垂直于轴线的外力或受到位于轴线所在平面的力偶作用时，杆件的轴线会变弯，此类变形称为弯曲。以弯曲为主要变形形式的杆件称为梁。§

5.1梁的平面弯曲的概念及梁的计算简图5.1.1平面弯曲的概念2当杆件受到垂直于轴线的外力或受到位于轴线所在平面的力偶作用59

对称弯曲——所有外力（包括外力偶）均作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。

平面弯曲——对称弯曲和特定条件下的非对称弯曲（具体下章介绍），梁变形后的轴线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。3对称弯曲——所有外力（包括外力偶）均作用于梁的605.1.2梁的计算简图根据具体情况区分主次因素，把梁的几何形状、荷载、支承作合理简化，供分析和计算使用，称为梁的计算简图。固定端：梁端在支座处既不能转动，又不能沿任意方向移动，简化形式如图a所示。固定铰支座：梁在支座处可以转动，但不能移动，简化形式如图a所示。活动铰支座：只限制梁在支座处沿垂直于支承面方向的移动，简化形式如图c所示。45.1.2梁的计算简图根据具体情况区分主次因素，把梁的几61在梁的计算简图中，两个支承中间的部分称为跨，其长度称为跨长，工程上根据支承条件的不同，把单跨静定梁分为简支梁、外伸梁和悬臂梁三种。5在梁的计算简图中，两个支承中间的部分称为跨，其长62§5.2

梁的内力及其求法当已知作用在梁上的全部外力时,就可以利用截面法求出梁的内力。设简支梁AB受集中力F作用，如右图所示，约束反力分别为FA和FB。计算距离左端支座距离为x处m-m截面上的内力。6§5.2梁的内力及其求法当已知作用在梁上的全部外力63利用截面法，将梁沿横截面m-m截为两段，取左段梁分析，由平衡条件可知：在横截面m-m上必有一作用线与FA平行而指向相反的内力。设内力为FS，则由平衡方程：

即可得：FS称为剪力。7利用截面法，将梁沿横截面m-m截为两段，取左段梁分析，由平64由于外力FA和剪力FS组成一力偶，因而，根据左段梁的平衡可知，横截面上必有一与其相平衡的内力偶。设内力偶矩为M，则由平衡方程：即可得：矩心C为横截面m-m的形心，内力偶矩M称为弯矩。m-m面上的内力也可通过右段梁的平衡条件求得，其结果与通过左段梁求得的值完全相同，但方向相反。8由于外力FA和剪力FS组成一力偶，因而，根据左段梁的平衡可65为使左右两段梁上算得的同一横截面m-m上的剪力和弯矩结果一致，对内力符号作如下规定：（1）剪力符号：当截面上的剪力使考虑的隔离体有顺时针方向转动趋势时为正，反之为负。（2）弯矩符号：当截面上的弯矩使考虑的隔离体下侧受拉，上侧受压时为正，反之为负。9为使左右两段梁上算得的同一横截面m-m上的剪力和弯矩结果一66例题5.1：图示简支梁，受均布荷载作用，试求距离左端长度为a的m-m截面上的内力。已知q＝1kN/m，梁长度L＝5m，a＝2m。解：（1）求支座反力，由平衡方程：得：10例题5.1：图示简支梁，受均布荷载作用，试求距离左端长度67得：（2）求截面上的内力：在截面m-m处将梁截开，取左半段为研究对象，由平衡条件(FS和M

设为正方向)：即得：即得：注：FS和M均为正值，表示实际方向与假设方向一致。11得：（2）求截面上的内力：在截面m-m处将梁截开，取左半68例题5.2：图示外伸梁，受集中力F作用，求距离左端长度分别为a、b的C截面和D截面上的内力。解：（1）求支座反力，由平衡方程：即得：即得：12例题5.2：图示外伸梁，受集中力F作用，求距离左端长度分69（2）求截面C上的内力：在截面C处将梁截开，取左半段为研究对象，由平衡条件（FSC和MC

设为正方向）：即得：即得：13（2）求截面C上的内力：在截面C处将梁截开，取左半段为研70（3）求截面D上的内力：在截面D处将梁截开，取右半段为研究对象，由平衡条件（FSD和MD

设为正方向）：即得：即得：14（3）求截面D上的内力：在截面D处将梁截开，取右半段为研71

小结：从上述例题的计算可以看出，为简化计算，应用截面法求某一横截面上的内力时，可直接从横截面任一侧梁上的外力来求得该截面上的剪力和弯矩，即：（1）梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面任一侧（左侧或右侧）所有竖向外力的代数和。其中，使得考虑的隔离体有顺时针方向转动趋势的外力引起正值剪力，反之则引起负值剪力。（2）梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面任一侧（左侧或右侧）所有外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩的代数和。其中，使得考虑的隔离体下侧受拉的外力将引起正值弯矩，反之则引起负值弯矩。15小结：从上述例题的计算可以看出，为简化计算，应用截面

用沿梁轴线的坐标x表示梁横截面的位置，则梁各横截上的剪力和弯矩可以分别表示为坐标x的函数。

72§5.3剪力方程和弯矩方程

剪力图和弯矩图

这些函数分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律，称为梁的剪力方程和弯矩方程。用图线来表示梁的各个横截面上的剪力和弯矩沿着梁轴线的变化情况，称为剪力图和弯矩图。

梁的内力图的基本绘制方法是首先列出剪力方程和弯矩方程，然后根据方程绘出剪力图和弯矩图。用沿梁轴线的坐标x表示梁横截面的位置

例题5.3：图示悬臂梁，在自由端受集中荷载F作用，试作此悬臂梁的剪力图和弯矩图。解：将坐标原点取在梁的左端点，

取距左端x的任意横截面，考虑截面的左侧梁段，写出该截面上的剪力和弯矩即为梁的剪力方程和弯矩方程：

（1）

FS(x)=－F(0<x<L)

（2）M(x)=－Fx(0x<L)73例题5.3：图示悬臂梁，在自由端受集中荷载F作用，试74由图可见，在固定端左侧的横截面上的弯矩值为最大弯矩值，|Mmax|=FL。由式（1）可知，剪力图在(0<x<L)范围内为常量，因此，只需确定线上的任意一点，即可绘出剪力图。由式（2）可知，弯矩图在(0x<L)范围内为斜直线，只需确定线上两点，即可绘出弯矩图。18由图可见，在固定端左侧的横截面上的弯矩值为最大弯矩值，|

例题5.4：图示简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，试作梁的剪力图和弯矩图。

75解：（1）求支座反力由平衡方程求得A、B处的支座反力分别为：（2）确定剪力方程和弯矩方程

(0<x<L)

解：（1）求支座反力由平衡方程解：（1）求支座反力由平衡方程解：（1）求支座反力由平衡方程

(0<x<L)

(0xL)

例题5.4：图示简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，76

由剪力方程可知，剪力图在(0<x<L)范围内为斜直线，只需确定线上两点即可绘出剪力图。

由弯矩方程可知，弯矩图在(0xL)范围内为二次曲线，至少需要确定其上的三个点才可绘出弯矩图。由图可见，在两支座内侧横截面上的剪力值最大；在梁跨中点横截面上的弯矩值最大。20由剪力方程可知，剪力图在(0<x<L)范围内例题5.5：图示简支梁，在C处受一集中力F作用，试作梁的剪力图和弯矩图。77解：（1）求支座反力由平衡方程和，求得A、B处的支座反力分别为：（2）确定剪力方程和弯矩方程

显然在集中力两侧的梁段，其剪力方程和弯矩方程均不相同，分别写出剪力方程和弯矩方程。例题5.5：图示简支梁，在C处受一集中力F作用，试作梁的剪78对于CB段梁，列出剪力方程和弯矩方程分别为：对于AC段，列出剪力方程和弯矩方程分别为：22对于CB段梁，列出剪力方程和弯矩方程分别为：对于AC79

由(1)、(3)式可知，左右两段梁各为一条平行于基准线的直线；由(2)、(4)式可知，左右两段梁各为一斜直线。根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图。由图可见，当b>a时，AC段梁任一横截面上的剪力最大

；在集中力作用处横截面上的弯矩值最大。在集中力作用处左、右两侧面上的剪力值有突变，突变值的大小等于集中力的大小；在集中力作用处，弯矩图有一折角。23由(1)、(3)式可知，左右两段梁各为一条平行于基准80例题5.6图示的简支梁在C点处受矩为

的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。

解：（1）求支座反力由平衡方程求得A、B处的支座反力分别为：求得A、B处的支座反力分别为：求得A、B处的支座反力分别为：24例题5.6图示的简支梁在C点处受矩为的集中力偶作用81(2)列剪力方程、弯矩方程由于简支梁上仅有一力偶作用，故全梁只有一个剪力方程，而AC和CB两段梁的弯矩方程则不同剪力和弯矩方程分别为（3）作剪力图、弯矩图25(2)列剪力方程、弯矩方程（3）作剪力图、弯矩图82由式（1）可知，整个梁的剪力图是一平行于轴线的直线。由式（2）、（3）两式可知，左、右两梁段的弯矩图各为一斜直线。根据各方程的适用范围，就可分别绘出梁的剪力图和弯矩图（图b、c）。由图可见，在集中力偶作用处左、右两侧截面上的弯矩值有突变。26由式（1）可知，整个梁的剪力图是一平行于轴线的直线。由式由上述例题，可归纳出以下规律：（1）分段：在梁上外力不连续处，即在集中力、集中力偶作用处和分布荷载开始或结束处，梁的弯矩方程和弯矩图应该分段；对于剪力方程和剪力图，除去集中力偶作用处以外，也应该分段。（2）突变：梁上集中力作用处，在剪力图上相应于此处有一突变，突变值的大小等于集中力的大小，而在弯矩图上相应处有一个折角。梁上集中力作用处，对应弯矩图上有一突变，突变值的大小等于集中力偶的大小，但剪力图上相应处无变化。（3）极值：全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在全梁或各段梁的边界截面或极值点的截面处，通常极值弯矩发生在剪力为零处、集中力作用处或集中力偶两侧。由上述例题，可归纳出以下规律：（2）突变：梁上集中力作用处，84实际上，集中力是作用在很短的一段梁（如图所示，长度为dx）上的分布力的简化，若将分布力看作是在长为dx范围内均匀分布的，则在该段梁上实际的剪力图是按直线规律连续变化的。同理，集中力偶实际上也是一种简化的结果，若按实际情况分布，绘出的弯矩图也是连续变化的。

28实际上，集中力是作用在很短的一段梁（如图所示，长度为dx85§5.4剪力、弯矩与分布荷载集度的微分关系

图示的梁上作用有任意分布荷载，以梁的左端为坐标原点，x轴向右为正。分布荷载是x的连续函数，并规定向上（与轴方向一致）为正。用两相邻横截面假象地从梁中截取出长为dx的微段，并将其放大如图所示。29§5.4剪力、弯矩与分布荷载集度的微分关系图示的梁86由梁段的平衡，有：

，，式中矩心C为横截面的形心，略去上面第二式中的二阶微量，整理后可得：即剪力对x的导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。（5.1）30由梁段的平衡，有：，，式中矩心C为横截面的形心，略去87

（5.2）即弯矩对x的导数等于梁上相应截面上的剪力。由（5.1）、（5.2）两式又可得：（5.3）即弯矩对x的二次导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。上述三式，就是荷载集度，剪力和弯矩之间的微分关系。31（5.2）即弯矩对x的导数等于梁上相应截88

（1）若某段梁上无分布荷载，即，则该段梁的剪力为常量，剪力图为平行于轴的直线；而弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直线。（2）若某段梁上的分布荷载（常量），则该段梁的剪力为的一次函数，剪力图为斜直线；而为的二次函数，弯矩图为抛物线。在本书规定的坐标中，当（向上）时，弯矩图为向上凸的曲线；当（向下）时，弯矩图为向下凸的曲线。此外若某截面的剪力，则，该截面的弯矩为极值。现将应用这些关系得到的剪力图和弯矩图的一些特征归纳如下：32（1）若某段梁上无分布荷载，即，则（4）若某截面有集中力偶作用，则在该截面的左、右两侧，弯矩发生突然变化，突变的数值与集中力偶相同；而剪力图连续且无变化。（3）若某截面有集中力作用，则在该截面的左、右两侧，剪力发生突然变化，在该截面处弯矩图连续，但有一折角。应该指出，上述关系应按本书的坐标系和正负规定才是正确的。荷载集度、剪力与弯矩之间的关系以及剪力图、弯矩图的特征汇总整理见表5.1。（4）若某截面有集中力偶作用，则在该截面的左、右两侧，弯矩发90

3491利用荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系绘制剪力图和弯矩图，也称为简易法，其步骤如下：

（1）求支座反力；（2）分段确定剪力图和弯矩图的形状；（3）求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；（4）确定|Fs|max和|M|max。35利用荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系绘92

解：（1）由平衡方程和求得A、B处的支座反力分别为：方向如图所示。例题5.7：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。36解：（1）由平衡方程和求得A、B处的支座反力分（2）作剪力图和弯矩图的基准线，根据梁的受力状况，将剪力图分为CA和AB两段，弯矩图分为CA、AD和DB三段。其中CA段受均布荷载作用，其剪力图为一条斜直线，可由CA段端点处的剪力值确定；（2）作剪力图和弯矩图的基准线，根据梁的受力状况弯矩图为二次曲线，由三点确定，其中两点为AC段端点，第三点取CA段中剪力为零的点（弯矩极值点），如果没有剪力为零的点，则取CA段中点的弯矩。AD和DB段均为自由段，其剪力图为常量；弯矩图为斜直线，在集中力偶作用处，弯矩图有突变，要分别计算集中力偶作用处的左、右两侧横截面上的弯矩。弯矩图为二次曲线，由三点确定，其中两点为AC段端点，第95

各段梁的关键点处的剪力值和弯矩值列于例题5.7表。由图可见：|Mmax|=15kNm，发生在D截面右侧。

例题5.7表39各段梁的关键点处的剪力值和弯矩值列于例题5.7表96解：（1）由平衡方程和，求得A、B处的支座反力分别为：，方向如图所示。例题5.8：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。40例题5.8：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。97（2）作剪力图和弯矩图的基准线，根据梁的受力状况，将剪力图和弯矩图分为CA、AD和DB三段。其中CA和AD段均为自由段，其剪力为常量，弯矩图为一斜直线，在集中力FA作用处，剪力图有突变，要分别计算集中力作用处左、右两侧横截面上的剪力。41（2）作剪力图和弯矩图的基准线，根据梁的受力状况，将剪力98弯矩图有一折角；DB段受均布荷载作用，其剪力图为一条斜直线，由DB段两端点确定，弯矩图为二次曲线，由三点确定，其中两点为DB段端点，第三点取DB段中剪力为零的点，即弯矩的极值点。各段梁的关键点处的剪力值和弯矩列于例题5.8表。42弯矩图有一折角；DB段受均布荷载作用，其剪力图为一条斜直99由图可见，弯矩有三个极值点，其中|Mmax|=5kNm。例题5.8表

43由图可见，弯矩有三个极值点，其中|Mmax|=5kN100例题5.9：图示外伸梁，试作其剪力图和弯矩图。解：（1）由平衡方程和，求得A、B处的支座反力分别为