空间向量的正交分解及其坐标表示、坐标运算课件

空间向量的正交分解及其坐标表示、坐标运算空间向量的正交分解及其坐标表示、坐标运算1共线向量定理:复习：共面向量定理:共线向量定理:复习：共面向量定理:2平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo3问题：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP一、空间向量的坐标分解给定一个空间坐标系和向量且设为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在所确定平面上的正投影由平面向量基本定理有问题：我们知道，平面内的任意一个向4一、空间向量的坐标分解xyzQPO

由此可知,如果是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量.一、空间向量的坐标分解xyzQPO由此可知,如果5空间向量基本定理：都叫做基向量注:

如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在有序实数组{x,y,z}使探究：在空间中,如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量,你能得出类似的结论吗？空间向量基本定理：都叫做基向量注:如果三个向量6（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是.（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.

（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：7二、空间直角坐标系

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示

空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyzxyze1e2e3O二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的8

在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向量,平移使其起点与原点o重合,得到向量OP=p由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z}使p=xe1+ye2+ze3xyzOP(x,y,z)e1e2e3此时向量P的坐标恰是点P在直角坐标系oxyz中的坐标(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标.在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向量9在空间直角坐标系O–x

y

z中，对空间任一点P,对应一个向量,于是存在唯一的有序实数组x,y,z,使(如图).

显然,向量的坐标，就是点P在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).xyzOP(x,y,z)

也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.

我们说,点P的坐标为(x,y,z),记作P(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标,y叫做点P的纵坐标,z叫做点P的竖坐标.e1e2e3在空间直角坐标系O–xyz中，对空10

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思考：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB的坐标表示是什么？一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的11练习1如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.zxyABCDA1B1C1D1OMPQ练习1如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，12三、向量的直角坐标运算三、向量的直角坐标运算13YXZABCDEF例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1F平面ADE例1已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a,abYXZABCDEF例2在正方体例1已知a=(2,-3,14四、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。四、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此15在空间直角坐标系中，已知、，则（2）空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，已知、（2）空间两点间的距离16（2）、两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。思考：当及时，夹角在什么范围内？（2）、两个向量夹角公式注意：思考：当及17练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离：练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距18例题讲解例题讲解19空间向量的正交分解及其坐标表示、坐标运算课件20212121练习3练习322空间向量的正交分解及其坐标表示、坐标运算空间向量的正交分解及其坐标表示、坐标运算23共线向量定理:复习：共面向量定理:共线向量定理:复习：共面向量定理:24平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo25问题：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP一、空间向量的坐标分解给定一个空间坐标系和向量且设为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在所确定平面上的正投影由平面向量基本定理有问题：我们知道，平面内的任意一个向26一、空间向量的坐标分解xyzQPO

由此可知,如果是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量.一、空间向量的坐标分解xyzQPO由此可知,如果27空间向量基本定理：都叫做基向量注:

如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在有序实数组{x,y,z}使探究：在空间中,如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量,你能得出类似的结论吗？空间向量基本定理：都叫做基向量注:如果三个向量28（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是.（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.

（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.特别提示：29二、空间直角坐标系

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示

空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O--xyzxyze1e2e3O二、空间直角坐标系单位正交基底：如果空间的30

在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向量,平移使其起点与原点o重合,得到向量OP=p由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z}使p=xe1+ye2+ze3xyzOP(x,y,z)e1e2e3此时向量P的坐标恰是点P在直角坐标系oxyz中的坐标(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标.在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一向量31在空间直角坐标系O–x

y

z中，对空间任一点P,对应一个向量,于是存在唯一的有序实数组x,y,z,使(如图).

显然,向量的坐标，就是点P在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).xyzOP(x,y,z)

也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.

我们说,点P的坐标为(x,y,z),记作P(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标,y叫做点P的纵坐标,z叫做点P的竖坐标.e1e2e3在空间直角坐标系O–xyz中，对空32

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思考：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB的坐标表示是什么？一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的33练习1如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.zxyABCDA1B1C1D1OMPQ练习1如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，34三、向量的直角坐标运算三、向量的直角坐标运算35YXZABCDEF