材料力学教学课件幻灯片T13

返回总目录第4章

梁的内力提要：在前面的章节中，已经介绍过轴向拉(压)杆件和受扭杆件的内力的计算，本章将讨论受弯杆件的内力计算。以弯曲为主要变形的构件称为梁(beam)，如房屋建筑中的楼板梁(图4.1)与火车的轮轴(图4.2)。本章主要研究外力作用在同一平面，变形也在同一平面(即平面弯曲)的梁。梁的内力计算与前面一样仍然采用截面法，由于荷载的作用，梁在各横截面产生内力，包括剪力和弯矩。截断梁上任一横截面，都会有剪力和弯矩，任取截面左或右侧部分为研究对象，通过静力平衡方程可以求出该横截面内力。通过列出剪力方程和弯矩方程，可以绘制剪力图和弯矩图，从而反映出梁上所有横截面的内力大小和方向。通过分析剪力方程和弯矩方程发现剪力、弯矩和荷载之间存在微分关系，相应的在剪力图、弯矩图和荷载之间存在某些规律，依据这些规律可以不写剪力方程和弯矩方程，直接作出内力图。在材料服从胡克定律和小变形的前提下还可以利用叠加法，更方便地作出内力图。梁的约束条件及荷载千差万别，为便于计算，一般抓住主要因素对其做出简化，得出计算简图。首先是梁的简化，一般在计算简图中用梁的轴线代替梁。另外，还需要对支座和荷载进行简化，下面分别讨论梁上支座和荷载的简化。4.1梁的计算简图4.1梁的计算简图图4.1楼板梁计算简图图4.2火车轮轴计算机简图

支座的简化根据结构中梁的约束情况，支座一般可简化为以下三种基本形式。可动铰支座。图4.3(a)是可动铰支座的简化形式。该支座限制此截面沿垂直于支承面方向的移动，因此可动铰支座只有一个约束，相应只有一个支反力，即垂直于支承面的反力。(2)固定铰支座。有两个约束，相应的约束反力为两个，分别是水平反力和垂直反力(图4.3(b))。(3)固定端。它使梁在固定端内不能发生任何方向的移动和转动，约束反力除X、Y之外，还有阻止转动的反力偶m(图4.3(c))。4.1梁的计算简图这里需要指出的是，理想的“自由转动”和“绝对固定”实际上是不存在的，比如由于摩擦力的存在，转动不会完全自由，由于约束材料的变形，梁也不会完全被固定，只是这些运动相对较小，所以我们把它忽略了。图4.3各种支座的约束反力(a)可动铰支座；(b)固定铰支座；(c)固定端4.1梁的计算简图2.载荷的简化梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式。(1)集中力。作用在梁上很小区域上的横向力，其特点是分布范围远小于轮轴或大梁的长度，因此可以简化为集中力，如火车轮轴上的P(图4.2)、吊车大梁所挂的重物Q(图4.4(a))等，它的常用单位为牛顿(N)或千牛顿(kN)。图4.4集中力、均布载荷和分布载荷示意图吊车梁载荷与分布示意图；(b)闸门立柱的静水压力分布示意图4.1梁的计算简图(2)集中力偶。工程中的某些梁，通过与梁连接的构件，承受与梁轴线平行的外力作用，如图4.5(a)所示。在做梁的受力分析时，可将该力向梁轴线简化，得到一轴向外力和一作用在梁的载荷平面内的外力偶(图4.5(b))。该外力偶只作用在承力构件与梁连接处的很小区域上，称为集中力偶。集中力偶的常用单位是或。图4.5集中力偶示意图(a)承受与梁平行外力的示意图；(b)力向梁轴线简化后的示意图4.1梁的计算简图(3)分布载荷。连续作用在梁的一段或整个长度上的横向作用力，可简化为沿轴线的分布载荷。建筑结构承受的风压、水压，以及梁的自重等是常见的分布载荷。吊车大梁的自重(图4.4(a))为均匀分布的分布载荷，一般简称为均布载荷；闸门立柱上的静水压力(图4.4(b))为线性分布的分布载荷。分布载荷的大小可用载荷集度q来表示，q为常数的分布荷载就是均布载荷。设梁段上分布载荷的合力为(图4.6)，则4.1梁的计算简图式中，q的常用单位为或。

(4.1)图4.6分布载荷示意图4.1梁的计算简图3.静定梁梁的基基本形形式经过对对载荷荷及支支座的的简化化，并并以梁梁的轴轴线表表示梁梁，可可以画画出计计算简简图。。图4.l、图4.2及图4.4中分别别画出出了楼楼板梁梁、火火车轮轮轴、、吊车车大梁梁和闸闸门立立柱的的计算算简图图。在平面面弯曲曲问题题中，，梁的的所有有外力力均作作用在在同一一平面面内，，为平平面力力系，，因而而可建建立三三个独独立的的静力力平衡衡方程程。如如果梁梁上未未知的的支座座反力力也是是三个个，则则全部部反力力可通通过静静力平平衡方方程求求解，，这样样的梁梁称为为静定梁梁。常见的的静定定梁有有以下下三种种形式式:4.1梁的计计算简简图(1)简支梁梁(simplysupportedbeam)。一端端为固固定铰铰支座座，另另一端端为可可动铰铰支座座的梁梁，称称为简简支梁梁。如如吊车车大梁梁(图4.4(a))，两支支座间间的距距离称称为跨跨度。。(2)外伸梁梁(beamwithanoverhang)。当简简支梁梁的一一端或或两端端伸出出支座座之外外，称称为外外伸梁梁。如如火车车轮轴轴(图4.2)即为外外伸梁梁。(3)悬臂梁梁(cantileverbeam)。一端端为固固定端端、另另一端端自由由的梁梁称为为悬臂臂梁，，如闸闸门立立柱(图4.4(b))。工程中中另有有一些些梁，，其支支座反反力的的数目目多于于有效效平衡衡方程程的数数目，，这样的梁梁称为为静不定定梁或或者超超静定定梁(图4.1)。为确确定静静不定定梁的的全部部支反力力，除除静力力平衡衡方程程外，，还需需考虑虑梁的的变形形，这这将在在后面面章节节进行介绍绍。4.1梁的计计算简简图4.2梁的平平面弯弯曲弯曲是是杆件件的基基本变变形之之一。。如果果杆件件上作作用有有垂直直于轴轴线的的外力力(通常称称为横横向力力)，使变变形前前原为为直线线的轴轴线变变为曲曲线，，这种种变形形称为为弯曲变变形(bendingdeformation)。凡是是以弯弯曲变变形为为主要要变形形的杆杆件，，通常常称为为梁(beam)。在工程程实际际中，，杆件件在外外载荷荷作用用下发发生弯弯曲变变形的的事例例是很很多的的，例例如，，楼板板梁(图4.1)、火车车轮轴轴(图4.2)、桥式式吊车车的大大梁(图4.4(a))、闸门门立柱柱(图4.4(b))等杆件件，在在垂直直于轴轴线的的载荷荷作用用下均均发生生弯曲曲变形形。图4.7受弯杆杆件的的对称称轴和和对称称面(a)受弯杆杆件的的对称称轴；；(b)受弯杆杆件的的对称称面(a)(b)4.2梁的平平面弯弯曲4.3梁的内内力、、剪力力和弯弯矩设杆的的横截截面面面积为为，，微面面积上上的内内力分分布集集度为为，，由由静力力关系系得：：得拉杆杆横截截面上上正应应力的的计算算公式式：式中，，为为横截截面上上的正正应力力，为为横横截面面上的的轴力力，为为横截截面面面积。。公式式(2.1)也同样样适用用于轴轴向压压缩的的情况况。当当为为拉拉力时时，为为拉应应力；；当为为压力力时，，为为压应应力，，根据据前面面关于于内力力正负负号的的规定定，所所以拉拉应力力为正正，压压应力力为负负。(2.1)应该指指出：：正应应力均均匀分分布的的结论论只在在杆上上离外外力作作用点点较远远的部部分才才成立立，在在荷载载作用用点附附近的的截面面上有有时是是不成成立的的。这这是因因为在在实际际构件件中，，荷载载以不不同的的加载载方式式施加加于构构件，，这对对截面面上的的应力力分布布是有有影响响的。。但是是，实实验研研究表表明，，加载载方式式的不不同，，只对对作用用力附附近截截面上上的应应力分分布有有影响响，这这个结结论称称为圣维南南(Saint-Venant)原理。。根据这这一原原理，，在拉拉(压)杆中，，离外外力作作用点点稍远远的横横截面面上，，应力力分布布便是是均匀匀的了了。一一般在在拉(压)杆的应应力计计算中中直接接用公公式(2.1)。当杆杆件件受受多多个个外外力力作作用用时时，，通通过过截截面面法法可可求求得得最最大大轴轴力力，，如如果果是是等截截面面杆杆件件，，利利用用公公式式(2.1)就可可求求出出杆杆内内最最大大正正应应力力；；如果果是是变变截截面面杆杆件件，，则则一一般般需需要要求求出出每每段段杆杆件件的的轴轴力力，，然然后后利利用用公公式式(2.1)分别别求求出出每每段段杆杆件件上上的的正正应应力力，，再再进进行行比比较较确确定定最最大大正正应应力力。。4.3梁的的内内力力、、剪剪力力和和弯弯矩矩【例2.2】】一变变截截面面圆圆钢钢杆杆，，如如图图2.6(a)所示示，，已已知，，，，，，，，，，。试求求：：(1)各截截面面上上的的轴轴力力，，并并作作轴轴力力图图。。(2)杆的的最最大大正正应应力力。。4.3梁的的内内力力、、剪剪力力和和弯弯矩矩解：：(1)求内内力力并并画画轴轴力力图图。。分分别别取取三三个个横横截截面面I-I、Ⅱ-ⅡⅡ、Ⅲ-ⅢⅢ将杆杆件件截截开开，，以以右右边边部部分分为为研研究究对对象象，，各各截截面面上上的的轴轴力力分分别别用用、、、、表表示示，，并并设设为为拉拉力力，，各各部部分分的的受受力力图图如如图图2.6(b)所示示。。由各各部部分分的的静静力力平平衡衡方方程程可可得得：：图2.6例2.2图其中中负负号号表表示示轴轴力力与与所所设设方方向向相相反反，，即即为为压压力。。作作出出轴轴力力图图如如图图2.6(c)所示示。。4.3梁的的内内力力、、剪剪力力和和弯弯矩矩(2)求最最大大正正应应力力。。由由于于该该杆杆为为变变截截面面杆杆，，、、及及三三段段内内不不仅仅内内力力不不同同，，横横截截面面面面积积也也不不同同，，这这就就需需要要分分别别求求出出各各段段横横截截面面上上的的正正应应力力。。利利用用式式(2.1)分别别求求得得、、和和段段内内的的正正应应力力为为由上上述述结结果果可可见见，，该该钢钢杆杆最最大大正正应应力力发发生生在在段段内内，，大大小小为为4.3梁的的内内力力、、剪剪力力和和弯弯矩矩二.斜截截面面上上的的应应力力前面面讨讨论论了了拉拉(压)杆横横截截面面上上的的正正应应力力，，但但实实验验表表明明，，有有些些材材料料拉拉(压)杆的的破破坏坏发发生生在在斜斜截截面面上上。。为为了了全全面面研研究究杆杆件件的的强强度度，，还还需需要要进进一一步步讨讨论论斜斜截截面面上上的的应应力力。。设直直杆杆受受到到轴轴向向拉拉力力的的作作用用，，其其横横截截面面面面积积为为，，用用任任意意斜斜截截面面将将杆杆件件假假想想的的切切开开，，设设该该斜斜截截面面的的外外法法线线与与轴轴的的夹夹角角为为，，如如图图2.7(a)所示示。。设设斜斜截截面面的的面面积积为为，，则则4.3梁的的内内力力、、剪剪力力和和弯弯矩矩设为为截截面面上上的的内内力力，，由由左左段段平平衡衡求求得得为为，，如如图图2.7(b)所示示。。仿仿照照横横截截面面上上应应力力的的推推导导方方法法，，可可知知斜斜截截面面上上各各点点处处应应力力均均匀匀分分布布。。用用表表示示其其上上的的应应力力，，则则式中的为横截面上的正应力。将应力分解成沿斜截面法线方向分量和沿斜截面切线方向分量，称为正应力(normalstress)，而称为切应力(shearstress)，如图2.7(c)所示。关于应力的符号规定为：正应力符号规定同前，切应力绕截面顺时针转动时为正，反之为负。的符号规定：由轴逆时针转到外法线方向时为正，反之为负。

4.3梁的的内内力力、、剪剪力力和和弯弯矩矩由图图2.7(c)可知知(2.2)(2.3)从式(2.2)、式(2.3)可以看出，和均随角度而改变。当时，达到最大值，其值为，斜截面为垂直于杆轴线的横截面，即最大正应力发生在横截面上；当时，达到最大值，其值为，最大切应力发生在与轴线成角的斜截面上。4.3梁的的内内力力、、剪剪力力和和弯弯矩矩图2.7斜截截面面的的应应力力以上上分分析析结结果果对对于于压压杆杆也也同同样样适适用用。。尽管在轴轴向拉(压)杆中最大大切应力力只有最最大正应应力大小小的二分分之一，，但是如如果材料料抗剪比比抗拉(压)能力要弱弱很多，，材料就就有可能能由于切切应力而而发生破破坏。有有一个很很好的例例子就是是铸铁在在受轴向向压力作作用的时时候，沿沿着45°斜截面方方向发生生剪切破破坏。4.3梁的内力力、剪力力和弯矩矩应力集中中的概念念前面所介介绍的应应力计算算公式适适用于等等截面的的直杆，，对于横横截面平平缓变化化的拉压压杆按该该公式计计算应力力在工程程实际中中一般是是允许的的；然而而在实际际工程中中某些构构件常有有切口、、圆孔、、沟槽等等几何形形状发生生突然改改变的情情况。试验和理理论分析析表明，，此时横横截面上上的应力力不再是是均匀分分布，而而是在局局部范围围内急剧剧增大，，这种现现象称为为应力集中中(stressconcentration)。4.3梁的内力力、剪力力和弯矩矩图2.8带圆孔薄薄板的应应力集中中如图2.8(a)所示的带带圆孔的的薄板，，承受轴轴向拉力力的的作用用，由试试验结果果可知：：在圆孔孔附近的的局部区区域内，，应力急急剧增大大；而在在离这一一区域稍稍远处，，应力迅迅速减小小而趋于于均匀，，如图2.8(b)所示。4.3梁的内力力、剪力力和弯矩矩在I-I截面上，，孔边最最大应力力与与同同一截面面上的平平均应力力之之比，，用表示示(2.4)称为理论应力集中系数(theoreticalstressconcentrationfactor)，它反映了应力集中的程度，是一个大于1的系数。试验和理论分析结果表明：构件的截面尺寸改变越急剧，构件的孔越小，缺口的角越尖，应力集中的程度就越严重。因此，构件上应尽量避免带尖角、小孔或槽，在阶梯形杆的变截面处要用圆弧过渡，并尽量使圆弧半径大一些。4.3梁的内力力、剪力力和弯矩矩各种材料料对应力力集中的的反应是是不相同同的。塑性材料料(如低碳钢钢)具有屈服服阶段，，当孔边边附近的的最大应应力到达达屈服极极限时，，该处材材料首先先屈服，，应力暂暂时不再再增大，，若外力力继续增增大，增增大的内内力就由由截面上上尚未屈屈服的材材料所承承担，使使截面上上其他点点的应力力相继增增大到屈屈服极限限，该截截面上的的应力逐逐渐趋于于平均，，如图2.9所示。因因此，用用塑性材材料制作作的构件件，在静静荷载作作用下可可以不考考虑应力力集中的的影响。。图2.9塑性材料料的应力力集中4.3梁的内力力、剪力力和弯矩矩而对于脆脆性材料料制成的的构件，，情况就就不同了了。因为为材料不不存在屈屈服，当当孔边最最大应力力的值达达到材料料的强度度极限时时，该处处首先产产生裂纹纹。所以以用脆性性材料制制作的构构件，应应力集中中将大大大降低构构件的承承载力。。因此，，即使在在静载荷荷作用下下也应考考虑应力力集中对对材料承承载力的的削弱。。不过有些脆性性材料内部本本来就很不均均匀，存在不不少孔隙或缺缺陷，例如含含有大量片状状石墨的灰铸铸铁，其内部部的不均匀性性已经造成了了严重的应力力集中，测定定这类材料的的强度指标时时已经包含了了内部应力集集中的影响，，而由构件形形状引起的应应力集中则处处于次要地位位，因此对于于此类材料做做成的构件，，由其形状改改变引起的应应力集中就可可以不再考虑虑了。以上是针对静静载作用下的的情况，当构构件受到冲击击荷载或者周周期性变化的的荷载作用时时，不论是塑塑性材料还是是脆性材料，，应力集中对对构件的强度度都有严重的的影响，可能能造成极大危危害。4.3梁的内力、剪剪力和弯矩杆件在轴向拉拉伸或压缩时时，其轴线方方向的尺寸和和横向尺寸将将发生改变。。杆件沿轴线线方向的变形形称为纵向变变形，杆件沿沿垂直于轴线线方向的变形形称为横向变变形。设一等直杆的的原长为，横横截面面积为为，如图图2.10所示。在轴向向拉力的的作用下，，杆件的长度度由变为为，其纵纵向伸长量为为图2.10轴向伸长变形形示意图称为绝对伸长长，它只反映映总变形量，，无法说明杆杆的变形程度度。4.3梁的内力、剪剪力和弯矩将除以以得杆件件纵向正应变变为(2.5)(2.6)

当材料应力不超过某一限值(以后将会讲到，这个应力值称为材料的“比例极限”)时，应力与应变成正比，即这就是胡克定定律(Hookelaw)，是根据著名名的英国科学学家RobertHooke命名的。公式式(2.6)中的是弹性模模量，也称为为杨氏模量(Young’smodulus)，是根据另一一位英国科学学家ThomasYoung命名的，由于于是无量量纲量，故的的量纲与与相同，常用用单位为，，随随材料的的不同而不同同，对于各向向同性材料它它均与方向无无关。公式(2.5)、公式(2.6)同样适用于轴轴向压缩的情情况。4.3梁的内力、剪剪力和弯矩将公式(2.1)和公式(2.6)代入公式(2.5)，可得胡克定定律的另一种种表达式为(2.7)由该式可以看看出，若杆长长及外力不变变，值值越大，则变变形越越小，因此，，反映杆杆件抵抗拉伸伸(或压缩)变形的能力，，称为杆件的的抗拉(抗压)刚度(axialrigidity)。公式(2.7)也适用于轴向向压缩的情况况，应用时时为压力力，是负值，，伸长量算算出来是是负值，也就就是杆件缩短短了。4.3梁的内力、剪剪力和弯矩设拉杆变形前前的横向尺寸寸分别为和和，，变形后的尺尺寸分别为和和(图2.10)，则由试验可知，，二横向正应应变相等，故故(2.8)试验结果表明明，当应力不不超过材料的的比例极限时时，横向正应应变与纵向正正应变之比的的绝对值为一一常数，该常常数称为泊松松比(Poisson’sratio)，用来来表示，它是是一个无量纲纲的量，可表表示为(2.9)4.3梁的内力、剪剪力和弯矩4.4剪力方程和弯弯矩方程剪剪力图和弯矩矩图这两个方程分分别称为梁的的剪力方程和弯矩方程。与绘制轴力图图或扭矩图一一样，可用图图线表示梁的的各横截面上上剪力和弯矩矩沿梁轴线的的变化情况，，称为剪力图(shearforcediagram)和弯矩图(bendingmomentdiagram)。一般说来，梁梁的内力沿轴轴线方向是变变化的。如果果用横坐标X(其方向可以向向左也可以向向右)表示横截面沿沿梁轴线的位位置，则剪力力和弯弯矩M都可以表示为为坐标X的函数，即作剪力图时，，取平行于梁梁轴线的直线线为横坐标x轴，x值表示各横截截面的位置，，以纵坐标表表示相应截面面上的剪力的的大小及其正正负。作弯矩图的方方法与剪力图图大体相仿，，不同的是，，要把弯矩图图画在梁纵向向纤维受拉的的一面，而且且可以不标正正负号。根据据4.3节的规定，弯弯矩以使梁下下部纵向纤维维受拉为正，，也就是说，，梁的正弯矩矩应当画在横横轴的下方。。这样的做法法主要是为了了与后续课程程和土木工程程专业的设计计习惯取得一一致。下面举例说明明建立剪力方方程、弯矩方方程以及绘制制剪力图、弯弯矩图的方法法。4.4剪力方程和弯弯矩方程剪剪力图和弯矩矩图【例4.3】简支梁AB受集中力p作用，如图4.12(a)所示。试列出出剪力方程和和弯矩方程，，并绘制剪力力图和弯矩图图。解：(1)计算支座反力力。以整体为为研究对象，，列平衡方程程求得方向如图4.12(a)所示。4.4剪力方程和弯弯矩方程剪剪力图和弯矩矩图(2)建立剪力、弯弯矩方程。由由于梁在C截面上作用集集中力p，在建立剪力力方程和弯矩矩方程时，必必须分为AC、CB两段来考虑。。在AC段内任取一横横截面，距A点距离用表表示，，根据平衡条条件，则AC段上的剪力方程和弯矩矩方程分别为为在CB段内任取一横横截面，距A端距离为，，根据据平衡条件，，则任一截面面上的剪力方方程和弯矩方方程分别为(b)(a)4.4剪力方程和弯弯矩方程剪剪力图和弯矩矩图图4.12例4.3图(a)(b)(c)4.4剪力方程和弯弯矩方程剪剪力图和弯矩矩图实际上，在列列CB段的内力方程程时，选用右右侧梁段为研研究对象将会会更简单。4.4剪力方程和弯弯矩方程剪剪力图和弯矩矩图(d)(c)(3)绘制剪力、弯弯矩图。由(a)、(c)两式可知，，AC、CB两段上剪力力分别为常常数，故剪剪力图为两两条平行于于X轴的直线，，如图4.12(b)所示，由(b)、(d)两式可知，，弯矩方程程均为一次次函数，故故弯矩图为为两条斜直直线，如图图4.12(c)所示。在这里，弯弯矩使梁的的下部纤维维受拉，所所以弯矩图图画在梁的的下方。由由内力图可知，，最大弯矩矩在集中力力作用点处处，其值为为。。在该截面处，剪力力图上有突突变，其突突变量等于于集中力的的大小。4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图【例4.4】图4.13所示简支梁梁跨度为，，试建建立自重q作用下梁的的剪力方程程和弯矩方方程，并绘绘制剪力图图和弯矩图图。解：(1)计算支座反反力。根据据对称性易易知A、B两端的支座座反力相等等，即方向如图4.13(a)所示。(2)建立剪力、、弯矩方程程。以左端端A为的X坐标原点，，任取一横横截面，以以其左端为为研究对象象，该横截截面的位置置可以X用来表示，，设该截面面上的剪力力为、、弯弯矩为，均均设为正方方向，如图图4.13(b)所示。列平平衡方程4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图(a)将式(a)代入上面两两式，解得得4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图(c)(b)(b)、(c)两式分别为为剪力方程程和弯矩方方程。(3)绘制剪力图图、弯矩图图。由式(b)可知，剪力力图为一直直线。只需需算出任意意两个横截截面的剪力力值，如A、B两截面的剪剪力，即可可作出剪力力图，如图图4.13(c)所示；由式式(c)可知，弯矩矩图为一抛抛物线，需需要算出多多个截面的的弯矩值，，才能作出出曲线。例例如计算下下列五个截截面的弯矩矩值：4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图X0M00由此作出的的弯矩图，，如图4.13(d)所示。由剪力图和和弯矩图可可知，在A、B支座处的横横截面上剪剪力的绝对对值最大，，其值为在梁的跨中中截面上，，剪力，，弯矩达到到最大，其其值为4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图在本例中，，以某一梁梁段为研究究对象，由由平衡条件件推出剪力力方程和弯弯矩方程，，这是建立立剪力方程程和弯矩方方程的基本本方法。另另外，由于于剪力图、、弯矩图中中坐标比较明明确，所以以在以后各各图中坐标标系可以省省去。【例4.5】简支梁AB承受集中力力偶作作用，，如图4.14(a)所示。试作作梁的剪力力图、弯矩矩图。图4.14例4.5图4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图(a)(b)(c)反力的的方向如如图所示，，为为负值，表表示其方向向与图4.14(a)中假设的方方向相反。。两个支反反力形成的的力偶矩刚刚好与集中中力偶平平衡衡。解：(1)计算支反力力。由平衡衡方程分别别求得支反反力为(2)建立剪力、、弯矩方程程。由于梁上作作用有集中中力偶，剪剪力、弯矩矩方程同样样应分段列列出。利用用截面法分分别在AC与CB段内截取横横截面，根根据截面左左侧(或右侧)梁段上的外外力，列出出剪力方程程和弯矩方方程为4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图AC段(b)(a)(c)(d)CB段4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图(3)绘制剪力、、弯矩图。。由(a)、(c)两式可知，，两段梁上上的剪力相相等，因此此，AB梁的剪力图图为一条平平行于x轴的直线(图4.14(b))；由(d)、(b)两式可知，，左右两段段梁上的弯弯矩图各为为一条斜直直线(图4.14(c))，而且在AB和BC段，弯矩分分别使梁的的上部和下下部纤维受受拉，所以以弯矩图分分别画在横横轴的上方方和下方。。由图可见见，当时时，绝绝对值最大大的弯矩发发生在集中中力偶作用用处的右侧侧截面上，，其值为而且，在集集中力偶作作用处，弯弯矩图有突突变，其突突变量等于于集中力偶偶的大小。。4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图【例4.6】作图4.15(a)所示简支梁梁的剪力图图与弯矩图图。图4.15例4.6图4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图(2)建立剪力、、弯矩方程程。根据荷荷载情况，，分AC、CD、DB三段分别列列出剪力方方程和弯矩矩方程。设设坐标轴以以支座A为原点，三三段内的剪剪力方程、、弯矩方程程分别为AC段解：(1)计算支座反反力。根据据荷载及支支座反力的的对称性得得到4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图CD段DB段4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图(3)绘制剪力、、弯矩图。。根据方程可可知，AC、DB段剪力图为为水平直线线，弯矩图图为斜直线线；CD段剪力图为为斜直线，，弯矩图为为二次抛物物线。作出出剪力图和和弯矩图如如图4.15(b)、图4.15(c)所示。由图图可见，最最大剪力发发生在AC、DB两段内，最最大弯矩发发生在跨中中横截面上上。由以上例题题可见，在在集中力(包括集中荷荷载和支座座反力)作用的截面面上，剪力力似乎没有有确定的值值，剪力图图有突变，，其突变的的绝对值等等于集中力力的数值，，且突变的的方向从左左往右看与与集中力的的方向相同同(例题4.3)；在集中力力偶作用处处，弯矩图图有突变，，其突变的的绝对值等等于集中力力偶的数值值(例题4.5)。4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图为了分析内内力图上突突变的原因因，假设在在集中力作作用点两侧侧，截取梁段(图4.16(a))，由平衡条条件不难看看出，在集集中力作用用点两侧的的剪力和和的的差值值必然为集集中力的大大小。实际际上，剪力力图的这种种突然变化化，是由于于作用在小小范围内的的分布外力力被简化为为集中力的的结结果。如果果将集中力力视为为在梁梁段上上均匀分布布的分布力力的合力(图4.16(b))，则该处的的剪力图如如图4.16(c)所示。又如如在例题4.6中，如果把把均布荷载载变成集中中力作用在在跨中梁梁段段上的分布布力，合力力大小仍然然不变，剪剪力图(图4.15(b))中的斜线就就会变陡。。当→→0时，剪力图图上的斜线线趋于垂直直，剪力图图表现为突突变。对集集中力偶作作用的截面面可做同样样的解释。。4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图图4.16剪力图突变变示意图微段上受力力示意图；；(b)集中力视为为分布力的的示意图；；(c)集中力视为为分布力后后的剪力图图4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图在工程中，，常常遇到到几根杆件件组成的框框架结构，，例如房屋屋建筑中梁梁和柱构成成的结构，，在结点处处，梁和柱柱的截面不不能发生相相对转动，，或者说，，在结点处处两杆件间间的夹角保保持不变，，这样的结结点称为刚刚结点(stiffjoint)，具有刚结结点的结构构称为刚架架(rigidframe)。如果刚架的的支座反力力和内力均均能由静力力平衡条件件确定，这这样的刚架架称为静定定刚架。作作刚架内力力图的方法法基本上与与梁相同。。通常平面面刚架的内内力除剪力力、弯矩之之外还有轴轴力，作图图时要分杆杆进行。下面举例说说明静定刚刚架弯矩图图的作法，，至于轴力力图和剪力力图，需要要时可按类类似的方法法绘制。4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图【例4.7】平面刚架ABC，承受图4.17(a)所示载荷作作用，已知知均布荷载载集度为q，集中力，，试试作刚架的的弯矩图。。图4.17例4.7图4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图解：(1)计算支反力力。利用整整体刚架的的平衡条件件确定支座座反力，设设固定铰支支座A的反力为，，可动铰支支座C的反力为，，方向如图图所示，列列平衡方程程有计算出的结结果均为正正值，说明明支座反力力实际方向向均与所设设方向相同同。4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图(2)建立弯矩方方程并作弯弯矩图。在在BC杆上，以C为原点，取取坐标x1。由于集中中力P的作用，BC杆上的弯矩矩方程应分分段列出：：CD段DB段在AB杆上，以A为原点，取取坐标X2，则该杆的的弯矩方程程为根据各段的的弯矩方程程作出刚架架弯矩图，，如图4.17(b)所示。在绘绘制弯矩图图时一般把把弯矩图画画在杆件受受压的一侧侧，而不注注明正负号号。4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图一.弯矩、剪力力和分布荷荷载集度间间的关系在例题4.3中，若将弯弯矩方程M（x）\的表达式对对求导，则则得到剪力力方程Q(x)，将剪力方方程Q(x)的表达式对对x求导，则得得到均布载载荷集度q。事实上，，在直梁中中载荷集度度和剪力、、弯矩之间间的关系是是普遍存在在的。掌握握这些关系系，对于绘绘制剪力图图和弯矩图图很有帮助助，还可以以检查所绘绘制的剪力力图和弯矩矩图是否正正确。下面面就来研究究载荷集度度q和剪力Q、弯矩M之间的关系系。设有任意载载荷作用下下的直梁，，如图4.18(a)所示，以梁梁的左端为为原点，选选取x坐标轴，梁梁上的分布布载荷q(x)是x的连续函数数，并规定定向上为正正。从x截面处截取取长度为dx微段，表示示于图4.18(b)中。4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图dx微段上承受受分布载荷荷q(x)作用，设x横截面上的的弯矩和剪剪力分别为为M(x)和，，坐坐标为x+dx的横截面上上的弯矩和和剪力则分分别为M(x)+Md(x)和+，方向如图图4.18(b)所示。图4.18梁微段的内内力示意图图4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图对微段列平平衡方程有有略去高阶微微量后后(4.3)(4.2)4.4剪力方程和和弯矩方程程剪力图图和弯矩图图若将公式(4.3)中的的对对求导导一次，并并带入式(4.2)，则式(4.2)、式(4.3)和式(4.4)即为载荷集集度、剪力力和弯矩之之间的微分分关系，式式(4.2)表示剪力图图上某点处处的切线斜斜率等于相相应点处荷荷载集度的的大小；公公式(4.3)表示弯矩图图上某点处处的切线斜斜率等于相相应点处剪剪力的大小小。(4.3)4.5内力与分布布荷载间的的关系及其其应用二.常见荷载下下梁的剪力力图与弯矩矩图的特征征根据q、、、M的微分关系系，可以得得出载荷集集度、剪力力图和弯矩矩图三者间间的某些规规律，现结结合图4.19所示的实例例(图中未注明明具体数值值)，在图4.19(a)中所规定的的坐标系中中，归纳如如下。4.5内力与分布布荷载间的的关系及其其应用图4.19载荷集度、、剪力图和和弯矩图三三者间的规规律(a)载荷分布图图；(d)剪力图；(c)弯矩图4.5内力与分布布荷载间的的关系及其其应用当梁上无荷荷载作用，，即时时，剪剪力为为常数，，剪力图为为平行于轴线线的直线。。此时弯矩矩图由常常数可知为为一直线。如果则则为水水平直线，，如图4.19(c)中的BC段；如果则则为倾斜斜直线，其其方向取决决于剪力的的正负号，，当时时，弯矩图图为上升的的斜直线，，如图4.19(c)中的AB段，当时时，弯矩矩图为下降降的斜直线线，如图4.19(c)中的CD和DE两段。在CD和DE这两段中，，剪力相相等，，所以弯矩矩图中的两两条斜直线线平行。(2)当梁上的载载荷q为常数时，，由式(4.2)的可知剪力力图上各点点的斜率为为同一个常常数，剪力力图为一斜斜直线。4.5内力与分布布荷载间的的关系及其其应用从式(4.4)可知弯矩方方程为为的的二次函数数，弯矩图图为二次抛抛物线，如如图4.19(c)中的EG、GH两段。如果某段梁梁上的均布布载荷q向上，即q>0，则，，弯弯矩图为一条下下凸抛物线线，如图4.19(c)中的GH梁段；反之之，如果梁梁上作用向下的均均布载荷，，即q<0，则，，弯弯矩图为一一条上凸的的曲线，如图4.19(c)中的EG梁段。在剪剪力为为零的截截面上，当当=0，即弯矩图的的斜率为零零，此处的的弯矩为极极值，如图图4.19(c)中的F截面的弯矩矩为极大值值，H截面的弯矩矩为极小值值。但应注注意，极值值弯矩对全全梁来说并并不一定是是最大值的的弯矩，最最大弯矩还还有可能发发生在集中中力作用处处或者集中中力偶作用用处。4.5内力与分布布荷载间的的关系及其其应用(3)在集中力作作用处，剪剪力图有突突变，突变变的数值等等于该处集集中力的大大小，此时时弯矩图的的斜率也发发生突变，，因而弯矩矩图上出现现一个转折折点，如图图4.19(c)中的B、C、E截面。(4)在集中力偶偶作用处，，剪力图无无变化，弯弯矩图有突突变，突变变的数值等等于该处集集中力偶的的大小，在在集中力偶偶作用处的的两侧，由由于剪力相相等，所以以弯矩图在在该点的斜斜率总是相相等的，如如图4.19(c)中的D截面。现将这些有有关载荷集集度、剪力力图和弯矩矩图之间关关系的整理理为表4-1，以供参考考。下面举例说说明上述关关系的应用用。4.5内力与分布布荷载间的的关系及其其应用【例4.8】图4.20(a)所示的外伸伸梁，承受受均布载荷荷、、集中力偶偶和和集集中力作作用，试用用微分关系系作剪力图图和弯矩图图。图4.20例4.8图4.5内力与分布布荷载间的的关系及其其应用解：(1)计算支反力力。利用静静力平衡条条件，求得得梁的支反反力为在AD段上荷载q=0，剪力图为为水平直线线。由于集集中力偶两两侧的剪力力相等，故故(2)绘制剪力图图。应用微微分关系绘绘制剪力图图时，从梁梁的左端开开始，易知知，在CA段上，荷载载，所以剪剪力图为水水平直线，，故。。在在支座A上，有向上上的支反力力，，使剪力力图产生突突变，其值值为5KN，故A截面右侧剪剪力为4.5内力与分布布荷载间的的关系及其其应用(3)确定承载能能力。若已已知拉压杆杆的截面尺尺寸和材料料的许用应应力，则强强度度条件变变成≤(2.18)以确定构件件所能承受受的最大轴轴力，再确确定构件能能承担的许许可荷载。。最后还应指指出，如果果最大工作作应力略略微微大于许用用应力，即即一般不超超过许用应应力的5%，在工程上上仍然被认认为是允许许的。4.5内力与分布布荷载间的的关系及其其应用【例2.5】用绳索起吊吊钢筋混凝凝土管，如如图2.24(a)所示，管子子的重量，，绳索的