第11章第1节函数项级数的一致收敛A课件

第十一章函数项级数.幂级数.引言本章讨论的函数项级数，是在数值级数的基础上的一种推广形式，即把数值级数的一般项由数推广到函数．当函数取确定数值时它就是数值级数．而幂级数又是函数项级数的特殊情况．

明确以上关系对于掌握相关概念和理论是十分必要的．第十一章函数项级数.幂级数.引言本章讨论的函数§11.1函数项级数的一致收敛§11.2幂级数※§11.3逼近定理第十一章函数项级数.幂级数.主要内容§11.1函数项级数的一致收敛§11.2幂级数※§本节内容一.函数项级数的概念二.函数项级数的一致收敛性四.一致收敛级数的判别法

五小结三.一致收敛级数的性质

本节内容一.函数项级数的概念二.函数项级数的一致收问题:

现在我们将级数概念从数推广到函数上去.讨论一般项为函数的级数的有关性质.

有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数及积分的和．

对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？问题:现在我们将级数概念从数推广到函数1.定义:一.函数项级数的概念(函数项级数)(级数的n次部分和)是定义在X（实数集）上的函数，为定义在区间X上的(函数项)级数.设则称1.定义:一.函数项级数的概念(函数项级数)(级数的n2.收敛点与收敛域:补充2.收敛点与收敛域:补充第11章第1节函数项级数的一致收敛A课件函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:在收敛域上,函数项级数的和是

的函数

,称

为函数项级数的和函数.函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x解：由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.加（方法类似于求函数定义域）解：由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.加（方法类似于求函数定义原级数发散.收敛;发散;原级数发散.收敛;发散;二.函数项级数(或函数列)的一致收敛性问题：答案：都是不一定二.函数项级数(或函数列)的一致收敛性问题：答案：都是如如再如虽然收敛回答上述问题，需要引进一个重要概念

一致收敛再如虽然收敛回答上述问题，需要引进一个重要概念定义1:

定义1:xyo几何解释:只要

充分大

在区间

上所有曲线将位于两条曲线之间.xyo几何解释:只要

充分大

在定义2:

两个定义是等价的(可证)定义2:两个定义是等价的(可证)由上确界定义有证明:即对任给

存在不依赖于

的正整数

，使得当

时，对一切

，都有由上确界定义有证明:即对任给

第11章第1节函数项级数的一致收敛A课件例2:证明:证毕例2:证明:证毕例3:解余项的绝对值研究级数加例3:解余项的绝对值研究级数加根据定义所给级数在区间

一致收敛于根据定义所给级数在区间

例4:研究级数在区间[0,1]内的一致收敛性.解:对于任意一个自然数例4:研究级数在区间[0,1]内的一致收敛性.解:对于任因此级数在(0,1)内不一致收敛．说明:从下图可以看出:但虽然函数序列在(0,1)内处处在(0,1)内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的．在(0,1)总存在点

，所以只要取

，不论

多么大，因此级数在(0,1)内不一致收敛．说明:从下图可以看出(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关．(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关．定义3:(内闭一致收敛)性质:函数序列在上一致收敛函数序列在上内闭一致收敛定义3:(内闭一致收敛)性质:函数序列在上一致收敛定理:（函数列一致收敛的柯西准则）

或等价叙述为：定理:（函数列一致收敛的柯西准则）或等价叙述为：证明:证明:作业：Ｐ８８１（２），（４）２（１），（４）由数列收敛的柯西准则，

现固定上式中的n作业：Ｐ８８１（２），（４）由数列收敛的柯西准则，现固定第十一章函数项级数.幂级数.引言本章讨论的函数项级数，是在数值级数的基础上的一种推广形式，即把数值级数的一般项由数推广到函数．当函数取确定数值时它就是数值级数．而幂级数又是函数项级数的特殊情况．

明确以上关系对于掌握相关概念和理论是十分必要的．第十一章函数项级数.幂级数.引言本章讨论的函数§11.1函数项级数的一致收敛§11.2幂级数※§11.3逼近定理第十一章函数项级数.幂级数.主要内容§11.1函数项级数的一致收敛§11.2幂级数※§本节内容一.函数项级数的概念二.函数项级数的一致收敛性四.一致收敛级数的判别法

五小结三.一致收敛级数的性质

本节内容一.函数项级数的概念二.函数项级数的一致收问题:

现在我们将级数概念从数推广到函数上去.讨论一般项为函数的级数的有关性质.

有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数及积分的和．

对于无限个函数的和是否具有这些性质呢？问题:现在我们将级数概念从数推广到函数1.定义:一.函数项级数的概念(函数项级数)(级数的n次部分和)是定义在X（实数集）上的函数，为定义在区间X上的(函数项)级数.设则称1.定义:一.函数项级数的概念(函数项级数)(级数的n2.收敛点与收敛域:补充2.收敛点与收敛域:补充第11章第1节函数项级数的一致收敛A课件函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:在收敛域上,函数项级数的和是

的函数

,称

为函数项级数的和函数.函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x解：由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.加（方法类似于求函数定义域）解：由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.加（方法类似于求函数定义原级数发散.收敛;发散;原级数发散.收敛;发散;二.函数项级数(或函数列)的一致收敛性问题：答案：都是不一定二.函数项级数(或函数列)的一致收敛性问题：答案：都是如如再如虽然收敛回答上述问题，需要引进一个重要概念

一致收敛再如虽然收敛回答上述问题，需要引进一个重要概念定义1:

定义1:xyo几何解释:只要

充分大

在区间

上所有曲线将位于两条曲线之间.xyo几何解释:只要

充分大

在定义2:

两个定义是等价的(可证)定义2:两个定义是等价的(可证)由上确界定义有证明:即对任给

存在不依赖于

的正整数

，使得当

时，对一切

，都有由上确界定义有证明:即对任给

第11章第1节函数项级数的一致收敛A课件例2:证明:证毕例2:证明:证毕例3:解余项的绝对值研究级数加例3:解余项的绝对值研究级数加根据定义所给级数在区间

一致收敛于根据定义所给级数在区间

例4:研究级数在区间[0,1]内的一致收敛性.解:对于任意一个自然数例4:研究级数在区间[0,1]内的一致收敛性.解:对于任因此级数在(0,1)内不一致收敛．说明:从下图可以看出:但虽然函数序列在(0,1)内处处在(0,1)内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的．在(0,1)总存在点

，所以只要取

，不论

多么大，因此级数在(0,1)内不一致收敛．说明:从下图可以看出(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关．(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关．定义3:(