最新高考数学复习《数列通项的求法》名师专题讲解课件

专题四：数列通项的求法主讲人：卢高东专题四：数列通项的求法主讲人：卢高东1

数列的通项公式是数列的核心之一，有了数列通项就可以求出任何一项及其前n项和．研究数列的通项往往是解题的关键点和突破口．常用的求数列通项公式的方法有：①观察归纳法；②定义法；③递推公式法；④由Sn求an法.数列的通项公式是数列的核心之一，有了数列通项2反思：观察各项的结构特点、项与序号之间的关系、项与项之间的关系，进行类比、归纳、猜想．精讲精练——①观察归纳法例1根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）3，15，35，63，99，…（2）5，55，555，5555，55555，…

（3）2，0，2，0，2，…（4）1，3，3，5，5，7，7，9，9，…（1）an=（2n-1)(2n+1)（3）an=(-1)n+1+1反思：观察各项的结构特点、项与序号之间的关系、项与项之间的关3例2（1）（2009陕西卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=S3=12，则an=________．（2）（2010福建卷）在等比数列{an}中，若公比为4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an=________．

4n-1精讲精练——②定义法2n反思：利用定义法求数列通项时，要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项．例2（1）（2009陕西卷）设等差数列{an}的前n项和为4例3（2009陕西卷）已知数列{an}满足，a1=1，a2=2，2an+2=an+an+1．（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}为等比数列；（２）求{an}的通项公式．（1）证：b1=a2-a1=1，精讲精练——③递推公式法——累加法∴{bn}是以1为首项，为公比的等比数列．例3（2009陕西卷）已知数列{an}满足，a1=1，a25例3（2009陕西卷）已知数列{an}满足，a1=1，a2=2，2an+2=an+an+1．（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}为等比数列；（２）求{an}的通项公式．（2）解：由（1）知bn=an+1-an=当n=1时也适合．精讲精练——③递推公式法——累加法反思：an+1=an+f(n)型用累加法．例3（2009陕西卷）已知数列{an}满足，a1=1，a26例4数列{an}中，求数列{an}的通项公式．解：由已知得精讲精练——③递推公式法——累乘法反思：an+1=f(n)an型用累乘法．例4数列{an}中，解：由已知得精讲精练——③递推公式法—7例5数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求数列{an}的通项公式．解：由已知得

an+1+1=3（an+1），∴{an+1}是一个首项为2，公比为3的等比数列，∴an+1=2·3n-1，故an=2·3n-1-1．精讲精练——③递推公式法——构造法反思：an+1=p

an+q型用构造法．化为an+1-t=p(an-t)例5数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求数8例6数列{an}中，a1=4，an=3an-1+2n-1（n>1），求数列{an}的通项公式．解：设bn=an+An+B，则an=bn-An-B，将an，an-1代入得bn-An-B=3[bn-1-A(n-1)-B]+2n-1=3bn-1-(3A-2)n-(3B-3A+1)，∴A=3A-2且B=3B-3A+1，得A=B=1，∴取bn=an+n+1，则bn=3bn-1，又b1=6，∴bn=6·3n-1，故an=2·3n-n-1．精讲精练——③递推公式法——构造法反思：an+1=p

an+f(n)型用构造法．例6数列{an}中，a1=4，an=3an-1+2n-19例7（2008全国2卷）数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+2，设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．解：当n=1时，a1+a2=4a1+2，得a2=3a1+2=5，当n≥2时，有Sn=4an-1+2，得an+1=4an-4an-1，∴an+1-2an=2(an-an-1)，又bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1，∴

bn=3·2n-1，∴an+1-2an=3·2n-1，精讲精练——③递推公式法——构造法反思：an+1=p

an+qn型用构造法．例7（2008全国2卷）数列{an}的前n项和为Sn，a110例8数列{an}中，a1=2，求数列{an}的通项公式．解：由已知得精讲精练——③递推公式法——构造法例8数列{an}中，a1=2，解：由已知得精讲精练——③11例9（2009浙江卷）数列{an}的前n项和为Sn，Sn=kn2+n，求a1及an．解：当n=1时，a1=S1=k+1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1，当n=1时也成立，∴an=2kn-k+1.精讲精练——④由Sn求an法例9（2009浙江卷）数列{an}的前n项和为Sn，Sn=12例10数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，bn=Sn-3n，求bn，an．解：由题意知，Sn+1-Sn=Sn+3n，Sn+1=2Sn+3n，∴Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，即bn+1=2bn，又b1=a-3，∴bn=(a-3)2n-1,精讲精练——④由Sn求an法例10数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，an+113练习1根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）1，3，7，15，31，…（1）an=2n-1精讲精练——①观察归纳法练习1根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：（14练习2（2009福建卷）等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式．（1）an=2n精讲精练——②定义法（2）bn=12n-28练习2（2009福建卷）等比数列{an}中，已知a1=2，15练习3（2009全国1卷）数列{an}中，a1=1，求数列{bn}的通项公式．解：由已知得利用累加法可求得精讲精练——③递推公式法——累加法练习3（2009全国1卷）数列{an}中，a1=1，解：由16练习4数列{an}中，求数列{an}的通项公式．解：由已知得精讲精练——③递推公式法——累乘法练习4数列{an}中，解：由已知得精讲精练——③递推公式法17练习5（2010全国1卷）数列{an}中，求数列{bn}的通项公式．解：由已知得精讲精练——③递推公式法——构造法练习5（2010全国1卷）数列{an}中，解：由已知得精讲18练习6数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n2+n+1，求通项an．解：当n=1时，a1=S1=4，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n+1-[2(n-1)2+(n-1)+1]=4n-1，当n=1时不成立，精讲精练——④由Sn求an法练习6数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n2+n+1，192.在数列{an}中，a1=2，则an=（）（A）2+lnn

（B）2+(n-1)lnn（C）2+nlnn

（D）1+n+lnn强化提高1.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：1，3，6，10，15，…A2.在数列{an}中，a1=2，强化提高1.根据下面数列的前20强化提高3.数列{an}为各项都是正整数的等差数列，其前项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1=3，b1=1，数列是公比为64的等比数列，b2S2=64．求an，bn

．解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an=3+(n-1)d，bn=qn-1，依题意有由(6-d)q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，解得d=2，q=8，故an=3+2(n-1)=2n+1，bn=8n-1．强化提高3.数列{an}为各项都是正整数的等差数列，其前项和214.数列{an}中，求数列{an}的通项公式．解：由已知，当n≥2时，强化提高当n=1时，上式也成立.4.数列{an}中，解：由已知，当n≥2时，强化提高当n=1225.数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．解：当n=1时，a2=2S1=2a1=2，当n≥2时，an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an，即an+1=3an，对于n=1上式不符合，强化提高5.数列{an}的前n项和为Sn，解：当n=1时，a2=2S236.数列{an}中，求数列{an}的通项公式．解：由已知得，强化提高采用累加法，得6.数列{an}中，解：由已知得，强化提高采用累加法，得24饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国25饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国26饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国27饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国28饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国29饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国30饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国31饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国32饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国33饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国34专题四：数列通项的求法主讲人：卢高东专题四：数列通项的求法主讲人：卢高东35

数列的通项公式是数列的核心之一，有了数列通项就可以求出任何一项及其前n项和．研究数列的通项往往是解题的关键点和突破口．常用的求数列通项公式的方法有：①观察归纳法；②定义法；③递推公式法；④由Sn求an法.数列的通项公式是数列的核心之一，有了数列通项36反思：观察各项的结构特点、项与序号之间的关系、项与项之间的关系，进行类比、归纳、猜想．精讲精练——①观察归纳法例1根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）3，15，35，63，99，…（2）5，55，555，5555，55555，…

（3）2，0，2，0，2，…（4）1，3，3，5，5，7，7，9，9，…（1）an=（2n-1)(2n+1)（3）an=(-1)n+1+1反思：观察各项的结构特点、项与序号之间的关系、项与项之间的关37例2（1）（2009陕西卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=S3=12，则an=________．（2）（2010福建卷）在等比数列{an}中，若公比为4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an=________．

4n-1精讲精练——②定义法2n反思：利用定义法求数列通项时，要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项．例2（1）（2009陕西卷）设等差数列{an}的前n项和为38例3（2009陕西卷）已知数列{an}满足，a1=1，a2=2，2an+2=an+an+1．（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}为等比数列；（２）求{an}的通项公式．（1）证：b1=a2-a1=1，精讲精练——③递推公式法——累加法∴{bn}是以1为首项，为公比的等比数列．例3（2009陕西卷）已知数列{an}满足，a1=1，a239例3（2009陕西卷）已知数列{an}满足，a1=1，a2=2，2an+2=an+an+1．（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}为等比数列；（２）求{an}的通项公式．（2）解：由（1）知bn=an+1-an=当n=1时也适合．精讲精练——③递推公式法——累加法反思：an+1=an+f(n)型用累加法．例3（2009陕西卷）已知数列{an}满足，a1=1，a240例4数列{an}中，求数列{an}的通项公式．解：由已知得精讲精练——③递推公式法——累乘法反思：an+1=f(n)an型用累乘法．例4数列{an}中，解：由已知得精讲精练——③递推公式法—41例5数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求数列{an}的通项公式．解：由已知得

an+1+1=3（an+1），∴{an+1}是一个首项为2，公比为3的等比数列，∴an+1=2·3n-1，故an=2·3n-1-1．精讲精练——③递推公式法——构造法反思：an+1=p

an+q型用构造法．化为an+1-t=p(an-t)例5数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求数42例6数列{an}中，a1=4，an=3an-1+2n-1（n>1），求数列{an}的通项公式．解：设bn=an+An+B，则an=bn-An-B，将an，an-1代入得bn-An-B=3[bn-1-A(n-1)-B]+2n-1=3bn-1-(3A-2)n-(3B-3A+1)，∴A=3A-2且B=3B-3A+1，得A=B=1，∴取bn=an+n+1，则bn=3bn-1，又b1=6，∴bn=6·3n-1，故an=2·3n-n-1．精讲精练——③递推公式法——构造法反思：an+1=p

an+f(n)型用构造法．例6数列{an}中，a1=4，an=3an-1+2n-143例7（2008全国2卷）数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+2，设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．解：当n=1时，a1+a2=4a1+2，得a2=3a1+2=5，当n≥2时，有Sn=4an-1+2，得an+1=4an-4an-1，∴an+1-2an=2(an-an-1)，又bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1，∴

bn=3·2n-1，∴an+1-2an=3·2n-1，精讲精练——③递推公式法——构造法反思：an+1=p

an+qn型用构造法．例7（2008全国2卷）数列{an}的前n项和为Sn，a144例8数列{an}中，a1=2，求数列{an}的通项公式．解：由已知得精讲精练——③递推公式法——构造法例8数列{an}中，a1=2，解：由已知得精讲精练——③45例9（2009浙江卷）数列{an}的前n项和为Sn，Sn=kn2+n，求a1及an．解：当n=1时，a1=S1=k+1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=kn2+n-[k(n-1)2+(n-1)]=2kn-k+1，当n=1时也成立，∴an=2kn-k+1.精讲精练——④由Sn求an法例9（2009浙江卷）数列{an}的前n项和为Sn，Sn=46例10数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，bn=Sn-3n，求bn，an．解：由题意知，Sn+1-Sn=Sn+3n，Sn+1=2Sn+3n，∴Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，即bn+1=2bn，又b1=a-3，∴bn=(a-3)2n-1,精讲精练——④由Sn求an法例10数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，an+147练习1根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）1，3，7，15，31，…（1）an=2n-1精讲精练——①观察归纳法练习1根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：（48练习2（2009福建卷）等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式．（1）an=2n精讲精练——②定义法（2）bn=12n-28练习2（2009福建卷）等比数列{an}中，已知a1=2，49练习3（2009全国1卷）数列{an}中，a1=1，求数列{bn}的通项公式．解：由已知得利用累加法可求得精讲精练——③递推公式法——累加法练习3（2009全国1卷）数列{an}中，a1=1，解：由50练习4数列{an}中，求数列{an}的通项公式．解：由已知得精讲精练——③递推公式法——累乘法练习4数列{an}中，解：由已知得精讲精练——③递推公式法51练习5（2010全国1卷）数列{an}中，求数列{bn}的通项公式．解：由已知得精讲精练——③递推公式法——构造法练习5（2010全国1卷）数列{an}中，解：由已知得精讲52练习6数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n2+n+1，求通项an．解：当n=1时，a1=S1=4，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n+1-[2(n-1)2+(n-1)+1]=4n-1，当n=1时不成立，精讲精练——④由Sn求an法练习6数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n2+n+1，532.在数列{an}中，a1=2，则an=（）（A）2+lnn

（B）2+(n-1)lnn（C）2+nlnn

（D）1+n+lnn强化提高1.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：1，3，6，10，15，…A2.在数列{an}中，a1=2，强化提高1.根据下面数列的前54强化提高3.数列{an}为各项都是正整数的等差数列，其前项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1=3，b1=1，数列是公比为64的等比数列，b2S2=64．求an，bn

．解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an=3+(n-1)d，bn=qn-1，依题意有由(6-d)q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，解得d=2，q=8，故an=3+2(n-1)=2n+1，bn=8n-1．强化提高3.数列{an}为各项都是正整数的等差数列，其前项和554.数列{an}中，求数列{an}的通项公式．解：由已知，当n≥2时，强化提高当n=1时，上式也成立.4.数列{an}中，解：由已知，当n≥2时，强化提高当n=1565.数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式．解：当n=1时，a2=2S1=2a1=2，当n≥2时，an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an，即an+1=3an，对于n=1上式不符合，强化提高5.数列{an}的前n项和为Sn，解：当n=1时，a2=2S576.数列{an}中，求数列{an}的通项公式．解：由已知得，强化提高采用累加法，得6.数列{an}中，解：由已知得，强化提高采用累加法，得58饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国59饭卡打开巴士风格反对广泛的的非官是大苏打发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方个地方豆腐花哈哈动画的发挥和家具风格就国防军广泛几个房间房管局房管局法国加工费交付给交付给交付给警方根据高房价法国警方交付给饭卡打开巴士风格反对