步步高《单元滚动检测卷》高考数学(文京津地区)精练滚动检测四(含答案解析)

高三单元转动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应地址上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷干净完满．转动检测四第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的)1．已知会集A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为()A．0B．1C．2D．32．若“0<x<1是”“(x－a)[x－(a＋2)]≤0的”充分不用要条件，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0]∪[1，＋∞)B．(－1,0)C．[－1,0]D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)2x－1－2，x≤1，3．(2015课·标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－log2(x＋1)，x>1，且f(a)＝－3，则f(6－a)等于()75A．－4B．－431C．－4D．－414．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)<f(3)的x的取值范围是()A．(1，2)B．[1，2)3333C．(1，2)D．[1，2)23235．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，→→→→＝－2，则λ＋μ等于()DF＝μDC若.AE·AF＝1，CE·CF312A.2B.357C.6D.126．(2015河·南中原名校高三期中)已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且满足：a1003a1＋a2015等于()＋a1013＝π，b6·b9＝2，则tan1＋b7b8A．1B．－13C.3D.37．关于函数f(x)＝sin2x＋π与函数g(x)＝cos2x－3π，以下说法正确的选项是()44A．函数f(x)和g(x)的图象有一个交点在y轴上B．函数f(x)和g(x)的图象在区间(0，π)内有3个交点πC．函数f(x)和g(x)的图象关于直线对称x＝2D．函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0,0)对称1x－sinx，a∈R，则f(x)在[0,2π]8．(2015·福建福州第八中学质检)已知函数f(x)＝a2＋2a＋3上的零点个数为()A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在题中横线上)－4x2＋2，－1≤x<0，9．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝x，0≤x<1，3则f(2)＝____.π10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象以下列图，则2f(0)的值是________________________________________________________________________．π11．(2015上·饶一模)已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c若A＝3，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积为________．12．(2015·河南十校联考)设数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，记数列{an}，{bn}a7＋a5的前n项和分别为Sn，Tn.若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4(T6－T4)，则b7＋b5＝________.13．(2015南·阳质检)在锐角△ABC中，角b＋a＝6cosC，A，B，C的对边分别为a，b，c.若ab则tanC＋tanC的值是________．tanAtanB2x(x<0)，14．(2015福·州联考)已知函数f(x)＝(x>0)，log2x若直线y＝m与函数f(x)的图象有两个不同样的交点，则实数m的取值范围是__________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)(2015云·南玉溪一中等校一致考试)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过点P(1,0)，且在P点处的切线的斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤－2x2.16．(13分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明{an＋1}是等比数列，并求{an}的通项公式；2(2)证明1＋1＋＋13a1a2<.an2π17.(13

分)设

f(x)＝4cos

ωx－6

sin

ωx－cos(2

ωx＋π)，其中ω>0.(1)求函数

y＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间－3ππ上为增函数，求ω的最大值．，2218．(13分)(2016安·徽八校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量q＝(2a,1)，p＝(2b－c，cosC)，且p∥q.求sinA的值；(2)求三角函数式－2cos2C＋1的取值范围．1＋tanC19.(14分)已知数列{an}满足：a1＋a2＋a3＋＋an＝n－an，其中n∈N*.求证：数列{an－1}是等比数列；令bn＝(2－n)(an－1)，求数列{bn}的最大项．20．(14分)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．求函数f(x)的剖析式；f(x)(2)求函数g(x)＝x－4lnx的零点个数．答案剖析1．C2.C3.A4.A→→→→→→5．C[∵AE＝AB＋λBC，AF＝AD＋μDC，→→→→→→∴AE·AF＝(AB＋λBC)·(AD＋μDC)→→→→→→→→＝AB·AD＋μAB·DC＋λBC·AD＋λμBC·DC11)λμ＝2×2×(－)＋4μ＋4λ＋2×2×(－22＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1.3∴2(λ＋μ)－λμ＝2.①→→→→∵CE·CF＝(1－λ)CB·(1－μ)CD→→＝(λμ－λ－μ＋1)CB·CD＝2×2×(－1λμ－λ－μ＋1)2)(＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－2，312∴λμ－(λ＋μ)＋1＝，即λμ－(λ＋μ)＝－.②33由①②解得λ＋μ＝56.]6．D[由于数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且满足：a1003＋a1013＝π，b6·b9＝2，所以a1＋a2015＝a1003＋a1013＝π，b7·b8＝b6·b9＝2，a1＋a2015π因此tan1＋b7b8＝tan3＝3.应选D.]3πππππ＝sinπ7．D[g(x)＝cos2x－＝cos2x－＝cos－2x－42x，与f(x)＝4－422－4sin2x＋π的图象关于原点对称，应选D.]42(a＋1)211，从而可知函数y＝18．B[由于a＋2a＋3＝＋2≥2，因此0<2＋2a＋3≤2a2a＋2a＋3x在R上是减函数．在同一坐标系中作出函数y＝1x与y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，2a＋2a＋3如图，可知

f(x)在[0,2

π]上的零点个数为

2.应选

B.]9．1剖析

∵f(x)是周期为

2的函数，f(32)＝f(－12＋2)＝f(－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.610.2剖析由题图可知A＝2，T＝7πππ12－＝，434∴T＝π.2π2π又ω＝T，∴ω＝π＝2.π依照函数图象可得2×＋φ＝kπ(k∈Z)，3∴φ＝kπ－23π(k∈Z)．πππ∵|φ|<，∴φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋)，233∴f(0)＝π62sin＝32.311.4剖析由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，π故tanB＝2sinA＝2sin3＝3，又B∈ππ1bcsinA＝1×1×1×3(0，π)，因此B＝，又A＝，因此△ABC是正三角形，因此S△ABC＝33222＝34.512．－13剖析由S7－S5＝4(T6－T4)得，a6＋a7＝4(b5＋b6)，又a5＝b5，a6＝b6，因此a6＋a7＝4(a5＋a6)，因此6a1＋25d＝0，因此a1＝－256d，25又q＝b6＝a6＝－6d＋5d＝－5，b5a5－25d＋4d6因此a7＋a5＝2a6＝2b62q＝－5522＋1)＝2.7＋b5＋1)5q＋113bb(qb(q13．4剖析∵b＋a＝6cosC，aba2＋b2a2＋b2－c2∴ab＝6·2ab，a2＋b2＝3c2.2tanC＋tanCtanAtanBsinCcosAcosB＝(＋)＝sinC·sinCcosCsinAsinBc2a2＋b2－c2ab·2ab2c2a2＋b2－c22c2＝＝4.3c2－c2214．(0,1)x(x<0)，剖析如图，在平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2的图象，可知当0<m<1log2x(x>0)时，直线y＝m与函数f(x)的图象有两个不同样的交点．b15．(1)解f′(x)＝1＋2ax＋x，由条件知

f(1)＝0，f′(1)＝2，

1＋a＝0，即1＋2a＋b＝2.∴a＝－1，b＝3.证明f(x)的定义域为(0，＋∞)．由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋3＝－(x－1)(2x＋3).xx当0<x<1时，g′(x)>0，∴g(x)单调递加；当x>1时，g′(x)<0，∴g(x)单调递减．而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0.f(x)≤2x－2.16．(1)解由an＋1＝3an＋1得an＋1＋1＝3(an＋1)．223又a1＋2＝2，因此{an＋1}是首项为3，公比为3的等比数列．22nn－1an＋1＝3，因此{an}的通项公式为an＝32.222证明由(1)知an＝3n－1.nn－1由于当n≥1时，3－1≥2×3，因此1≤1－3n－12×3n1.即121＝n≤n－1.an3－1311111于是a1＋a2＋＋an≤1＋3＋＋3n－13132(1－3n)<2.因此1＋1＋＋13<.a1a2an217．解(1)f(x)＝43cos1sinωx＋cos2ωx2ωx＋2sinωx23sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx3sin2ωx＋1.由于－1≤sin2ωx，≤1因此函数y＝f(x)的值域为[1－3，1＋3]．ππ(2)由于y＝sinx在每个闭区间，2kπ＋2(k∈Z)上为增函数，故f(x)＝3sin2ωx＋2kπ－2kππkππ1(ω>0)在每个闭区间－，＋4ω(k∈Z)上为增函数．ω4ωω依题意知－3ππkππkππ对某个k∈Z成立，2，－，＋2?ω4ωω4ω－3ππ，2≥－4ω由ω>0知，此时必有k＝0，于是ππ，≤24ω>0，11解得0<ω≤，故ω的最大值为6.618．解(1)∵p＝(2b－c，cosC)，q＝(2a,1)，且p∥q，2b－c＝2acosC，由正弦定理得2sinAcosC＝2sinB－sinC，又∵sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，12sinC＝cosAsinC.∵sinC≠0，∴cosA＝1π2，又∵0<A<π，∴A＝，3∴sinA＝32.－2cos2C22(2)2(cosC－sinC)＝1－2cos2C＋2sinCcosC＝sin2C－cos2C＝2sin(2C＋1＝1－1＋tanCsinC1＋cosCπ－4)，ππ130<C<3π，∴－4<2C－4<12π，∴－2π2<sin(2C－4)≤1，π∴－1<2sin(2C－4)≤2，即三角函数式－2cos2C＋1的取值范围为(－1，2]．1＋tanC19．(1)证明∵当n＝1时，a1＝1－a1，∴a11＝.2又∵a1＋a2＋a3＋＋an＋1＝n＋1－an＋1，an＋1＝1－an＋1＋an，即2an＋1＝1＋an，an＋1－1＝1(an－1)，又a1－1＝－1，22∴数列{an－1}是首项为－12，公比为12的等比数列．(2)解11)n－11n由(1)知，an－1＝(－)×(＝－()，222n－2bn＝(2－n)(an－1)＝2n，∴bn＋1－bn＝n＋1－2n－2n－1－2(n－2)＝3－nn＋1－2n＝n＋1n＋1.222当n<3时，bn＋1－bn>0，即b1<b2<b3；当n＝3时，b4＝b3；当n>3时，bn＋1－bn<0，即b4>b5>b6>，∴数列{bn}的最大项是b4＝b3＝1.820．解(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.又∵a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，且f(1)＝－4a，f(x)min＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的剖析式