同步精练 解三角形的实际应用举例 Word版含答案

解三角形的实际应用举例基础巩固1有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，A．5mC．10eq\r(2)mD．10eq\r(3)m2在△ABC中，a＝5，sinA＝eq\f(1,3)，sinB＝eq\f(1,4)，则b＝______.3在△ABC中，a＝3，b＝4，C＝60°，则c＝______.4如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处．现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要______小时到达B处．5如图，A、B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的射影，求山高6如图A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km，试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，eq\r(2)≈，eq\r(6)≈．综合过关7甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的eq\r(3)倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了多少海里？8某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．能力提升9如图，有两条相交成60°角的直路EF、MN，交点是O，起初，甲在OE上距O点3km的点A处；乙在OM上距O点1km的点B处．现在他们同时以4km/h的速度行走，甲沿EF(1)求起初两人的距离．(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离．(3)什么时候他们两人的距离最短？参考答案1解析：如下图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m．在△BAB′中，由正弦定理，得BB′＝eq\f(ABsin45°,sin30°)＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq\r(2).∴坡底要延伸10eq\r(2)m时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案：C2答案：eq\f(15,4)3答案：eq\r(13)4解析：在△OBC中，由余弦定理得CB2＝CO2＋OB2－2|CO||OB|cos120°＝100＋400＋200＝700，所以|CB|＝10eq\r(7)，因此甲船需要的时间为eq\f(10\r(7),30)＝eq\f(\r(7),3)小时．答案：eq\f(\r(7),3)5解：在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝800(eq\r(3)＋1)(m)．∴山高CD为800(eq\r(3)＋1)(m)．6分析：由题图可直观感知BD＝BA，且BC⊥AD，这可以通过证明CB是△CAD底边AD的中垂线来验证；通过解△ABC可求得AB，从而求得B，D间的距离．解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，所以CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.即图中B，D间距离与A，B间的距离相等．在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，所以AB＝eq\f(ACsin60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20).所以BD＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)≈0.33km.故B，D的距离约为0.337分析：如图，甲、乙两船到达相遇点C时，所用时间相等，通过解△ABC来解决．解：设甲船取北偏东θ角去追赶乙船，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是eq\r(3)v，由于甲、乙两船到C点的时间相等，都设为t，则BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt，∠ABC＝120°.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋vat，∴2v2t2－vat－a2＝0.∴t1＝eq\f(a,v)，t2＝－eq\f(a,2v)(舍去)．∴BC＝a.∴∠CAB＝30°.∴甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，在乙船行驶a海里处相遇．8分析：首先根据题意画出图形，如图，由题意可知AC＝10，∠ACB′为120°，再利用舰艇靠近渔轮所需的时间与渔轮用的时间相同，若设相遇点为B′，这样解△AB′C即可．解：设所需时间为t小时，则AB′＝21t，CB′＝9t，在△AB′C中，根据余弦定理，则有AB′2＝AC2＋B′C2－2AC·B′C可得212t2＝102＋81t2＋2·10·9t·eq\f(1,2)，整理得360t2－90t－100＝0，36t2－9t－10＝0，(12t＋5)(3t－2)＝0，t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．舰艇需eq\f(2,3)小时靠近渔轮．此时AB′＝14，B′C＝6.由正弦定理：eq\f(B′C,sin∠CAB′)＝eq\f(AB′,sin120°)，sin∠CAB′＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14)，∴∠CAB′≈°.∴舰艇航行的方位角约为°.9分析：设t小时后两人距离最短，在构造三角形时，要分两种情况讨论，即甲过O点前后，因为这两种情况所得的三角形不同．解：(1)由题意，知OA＝3，OB＝1，∠AOB＝60°，∴在△AOB中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos60°，则AB＝eq\r(32＋12－2×3×1×cos60°)＝eq\r(7)(km)．∴起初两人的距离是eq\r(7)km.(2)设t小时后他们两人的距离最短，此时的位置分别是P，Q，则AP＝4t，BQ＝4t.当0≤t≤eq\f(3,4)时，PQ2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2(3－4t)(1＋4t)cos60°；①当t＞eq\f(3,4)时，PQ2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2(4t－3)(1＋4t)cos120°.②由①②，得PQ2＝48t2－24t＋7，即PQ＝eq\r(48t2－24t＋7).(3)由(2)，知PQ＝eq\r(48t2－24t＋7)＝eq\r(48t－\f(1,4)2＋4).∴当t＝eq\f(1,4)，即在第15分钟时，他们两人的距离最短．第二课时基础巩固1在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝7，则cosC等于()A．－eq\f(1,5)\f(1,5)\f(7,9)\f(4,5)2从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为()A．α＋βB．α－βC．β－αD．α3已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°4在200m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，\f(400,3)m\f(400\r(3),3)m\f(200\r(3),3)m\f(200,3)m5如下图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝eq\r(3)km，当目标出现在B点时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，求炮兵阵地与目标的距离是多少？(精确到0.01km)62022年，伊拉克战争初期，美英联军为了准确分析战场的形势，由分别位于科威特和沙特的两个相距eq\f(\r(3),2)a的军事基地C和D，测得伊拉克两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求伊军这两支精锐部队间的距离．7某渔船在A处测得在北偏东45°的C处有一鱼群，离该渔船9nmile，并发现该鱼群正沿南偏东75°的方向以10nmile/h的速度前进，渔船立即以14nmile/h的速度沿直线追捕，问：渔船应以什么方向，需多长时间才能追上该鱼群？综合过关8如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(eq\r(3)－1)海里的B处有一走私船，在A处北偏西75°方向距A为2海里的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间．9如图所示，沿一条小路前进，从A到B，方位角是50°，距离是470m，从B到C，方位角是80°，距离是860m，从C到D，方位角是150°，距离是640m，能力提升10平面内三个力F1、F2、F3作用于同一个点且处于平衡状态，已知F1、F2的大小分别为1N、eq\f(\r(6)＋\r(2),2)N，F1与F2的夹角为45°，求F3的大小及与F1的夹角．参考答案1答案：A2答案：C3答案：B4解析：如图，设塔高AB为h，在Rt△CDB中，CD＝200，∠BCD＝90°－60°＝30°，∴BC＝eq\f(200,cos30°)＝eq\f(400\r(3),3).在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝120°.在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin120°)＝eq\f(AB,sin30°).∴AB＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(400,3)(m)．答案：A5分析：要求AB的长，可转化为解△ABD，AB边所对的角∠ADB是确定的，且AC＝AD＝CD＝eq\r(3)，在△BCD中，求出BD，结合余弦定理求解．解：∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得BD＝eq\f(CDsin75°,sin60°)＝eq\f(1,2)(eq\r(6)＋eq\r(2))．在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°＝3＋eq\f(1,4)(eq\r(6)＋eq\r(2))2＋2×eq\r(3)×eq\f(1,2)(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(1,4)(eq\r(6)－eq\r(2))＝5＋2eq\r(3).∴AB＝eq\r(5＋2\r(3))≈(km)．∴炮兵阵地与目标的距离是2.916解：在△ADC中，∵∠ADC＝30°＋30°＝60°，∠ACD＝60°，故△ADC为等边三角形，∴AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－60°－45°＝45°，由正弦定理，得eq\f(DC,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，∴BC＝eq\f(DC·sin∠BDC,sin∠DBC)＝eq\f(\f(\r(3),2)a·\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(6),4)a，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(eq\f(\r(3),2)a)2＋(eq\f(\r(6),4)a)2－2·eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\r(6),4)a·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(6,16)a2，∴AB＝eq\f(\r(6),4)a.7分析：画出图形，利用追及所用时间与鱼群前进的时间相等这一等量关系，并结合余弦定理，求解本题．解：如图，∠ACB＝120°，AC＝9，设在B处追上鱼群，所用时间为t，则BC＝10t，AB＝14t.在△ABC中，由余弦定理得(14t)2＝92＋(10t)2－2×9×10t·cos120°，即32t2－30t－27＝0，解得t＝eq\f(3,2)或t＝－eq\f(9,16)(舍去)，故追上鱼群需eq\f(3,2)h，此时BC＝15，AB＝21，在△ABC中，cos∠CAB＝eq\f(92＋212－152,2×9×21)≈7，∴∠CAB≈°.∴渔船应按北偏东°的航向追捕，并需h后才能追上鱼群．8分析：设经过t小时后，缉私船能最快追上走私船，即在图中的D处恰好两船相遇，CD方向即是缉私船的追截方向，利用正、余弦定理根据条件解三角形．解：设缉私船追上走私船所需的时间为t小时，则CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t.在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝45°＋75°＝120°，由余弦定理，得BC＝eq\r(\r(3)－12＋22－2×2×\r(3)－1cos120°)＝eq\r(6)(海里)．由正弦定理，得sin∠ABC＝eq\f(ACsin120°,BC)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(6))＝eq\f(\r(2),2).∴∠ABC＝45°.易知CB方向与正北方向垂直，则∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BDsin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2).∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°.∴BD＝BC＝eq\r(6)(海里)．∴10t＝eq\r(6)，即t＝eq\f(\r(6),10).∴缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船，需要eq\f(\r(6),10)小时才能追上．9分析：从A到D的方位角，需构造三角形，连接AC，在△ABC中，用余弦定理求出AC，进而求出∠BAC，再在△ACD中，求出AD和∠C