其他-第三章函数分布第五节多维随机变量

第五 引言问题的一般提法为:(X1,…,Xn)为n量,Y1,…,Ym都是X1,…,Xnyi=gi(x1,x2,…,xn),i=1,2·要求(Y1,…,Ym设(X,Y)为二维 量,讨 一、离散型 量函数分例1:设(X,Y)的分布律为 01234500123(1)V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，3，4，5所以VV012345P0YX0123450 123Y01230Y01230UV0123P 12345W=X+Yi

i}

P{k

k,Y

ik}WP00WP0012345678 YXYX01234012 0 0 5000例2:设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p),和Z的可能取值为0,1,…n1n2，固定kkkP{Zk

k}

P{X

k}

P{iCC

ki}P{

i}

ki}

piqn1n1n

Ckn2n

pkiqn2ki因为因为Ci

Ckin2n

kCn2C

iiCCn n1

piqn1

nCkn2

pkiqn2ki

CkC

pkqn1n2ki现的概率均为p,i=1,2·,m,而X1,…,Xm独立,可知Y=12·+Xm是12·+nm次独立试验中A出现的次数,二、连续型 量函数的分又Z=g(X,Y)为X与Y的函数,若Z是连续型随量,要

,|):(,)D

D:,yz

然后由FZ(z)求出Z的概率密度例:设(X,Y)的概率密度为fx,y－∞<x<+∞,

(1

x2

y2X2Y求ZX2YZ的分布函数FZ(zX2Y当z≤0X2YFZ(z)

P{Z

z}

)z}

P{X

Y

z2

f(

y)dxdy

d rdrD:x2

z2

0

2z

zfZz

(z)

(1

z2 其它FZ(z)P{Zz}P{XYz}

f(

xy zFZ(z)

f(

y)dx固定z和y对上式内层积分作变量变换,令x=u-y,zzz

f(

y)dx

f(u

y,y)du

yF(z)

z

zy dy

f(u

y,

f(u

y,x由概率密度的定义,即得ZfZ(z)

f(z

y,由x,y的对称性,fZ(z)又可写

fZ(z)

f(x,z

上两式即是两个 量和的概率密度的一般公式密度分别为fx(x),fY(yfZ(z)

X (zX

fY(y)dyfZ(z)

(x)f

fXfY

X (zX

fY(y)dy

(x)f

例1:设X和Y是两个相互独立的 X

exf2,

Y

2,

fZ(z)

(x)f x (zx

x)dxz2

z

x 2

dx

e

dx1z2 1

z2

1212fZ(z)2

et2dx 1 即Z服从N(0，2) 们的和12·+Xn仍然服从正态分布,且有例2:在一简单电路中,两电阻R1,R2

0

10f(x) 50 其它试求总电阻R=R1+R2，R

fR(z)

f(x)f(z

x)dx

0

x

0x 0

z

z10

xx=z-fR(zx=z- zf(x)f(z0

x)dx

0

10

10

f(x)f(z

dx

10

z20z10 其它

将f(x) 600zfR(z

1 0M=max(X,Y)N=min(X,Y) 由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z,故Fmax(z)

z}

P{X

z}

P{X

即有

类似地,可得N=min(X,Y)Fmin(z)

P{N

z}1

z}1

1P{

即Fmin(z1[1FX(z)][1FY以上结果容易推广到n个相互独立的 Fmax(z)

(z) (z)F (z) z

([)]XnX时,有Fmax(z)=[F(z)]n,Fmax(z)=1-[1-F(z)]n.例:设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的 e

x

e

yfX(x)

x

fY(y)

y (i 为Z=min(X,Y)。1e

x

1e

yFX(x)

x

FY(y)

yzn

)](

X zXfmin(z)

e

z

z zx

x

zfmin(z)

e

e

z

z 按公式,当z>0时，Z=X+Y的概率密度fZ(z)

f

(z

(y)dy

zezyeydy0

0

ydy

e

ez

zfZ(z)

z三、 量变换的定设(X,Y)具有概率密度f(x,yU=g(X,Y),V=h(X,Y)，定理(X,Y)有联合密度f(x,y),且区域A(满足P{(X,Y)∈A}=1

ug(x,

v h(x,y)v

A

雅可比行列式J在A中处处不为 x,y则(U,V)(U=g(X,Y),V=h(X,Y)u,v

(x,y)(u,v)f(x(x,y)(u,v)

(u,v) 其它例1:X,Y相互独立,都服从参数为λ=1(X,Yf(

y)

exy

x0,y 其它A={(x,y)|x>0,y>0},显然有

ux

,当(x,y∈A v x xy x,yu,v

1

uuv1v111u,v

2 u0,v2 其它可由(U,V)的联合密度求出U,V的概率密度 fU(u)

(u,v)dv

0

dv

u 其它 f(v)

(u,v)du

0

2du

v

其它例2设X,Y相互独立,服从同一分布N(0,1)而,(R,Θ)是XYY

RcosRsin解:记

xy

rr

x,yr,

rsinrrcos

11

r 2

r, 其它顺便我们看出R,Θ r

0

f(r)r

r0

f(r)

R 其它

其它并且R与Θ注

z

g(x,

wh(x,本章以二维 量为主，讨论 的(1)(2)(3)X,Y(4分布(5)二维随 若XN(µ,σ2

X*

X

~N(0,1)若XN(µ,σ2