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文档简介

2.4.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质2.4.2抛物线的简单几何性质第1课时-抛物线的简单几何性质最新北京四中备战高考课件抛物线的简单几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图象抛物线的简单几何性质标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)性质范围____________________________________对称轴__轴__轴顶点_______焦点_____________________________准线_________________________离心率e=__x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0xyO(0,0)1标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)抛物线的图象关于点(0,0)对称.()(2)抛物线没有渐近线.()(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.()判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)提示:(1)错误.抛物线没有对称中心,它的图象不关于点(0,0)对称,因为y2=2px中,同时把x,y换成-x,-y,方程发生了变化.(2)正确.渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质,抛物线没有渐近线.(3)错误.把x=代入y2=2px(p>0)得y=±p,所以过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p.答案:(1)×(2)√(3)×提示:(1)错误.抛物线没有对称中心,它的图象不关于点(0,【知识点拨】1.在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较椭圆双曲线抛物线对称轴x轴和y轴x轴或y轴对称中心(0,0)(0,0)无顶点4个2个1个(0,0)焦点2个2个1个准线不研究不研究1条渐近线无2条无离心率e∈(0,1)e∈(1,+∞)e=1【知识点拨】椭圆双曲线抛物线对称轴x轴和y轴x轴或y轴对称中2.参数p(p>0)对抛物线开口大小的影响因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p,所以p越大,开口越大.3.抛物线的图象具有的特征抛物线是轴对称图形,其焦点F和准线与对称轴的交点关于原点O对称,即若准线与对称轴的交点为M,则O为MF的中点.2.参数p(p>0)对抛物线开口大小的影响4.点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系(1)P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)内部⇔y02<2px0.(2)P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)上⇔y02=2px0.(3)P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)外部⇔y02>2px0.4.点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关类型一焦半径和焦点弦问题

【典型例题】1.(2013·鹤岗高二检测)抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.122.(2013·大理高二检测)若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.类型一焦半径和焦点弦问题

【解题探究】1.抛物线y2=8x的焦点坐标是什么?准线方程呢?2.抛物线上的点具有什么性质?探究提示:1.焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.2.抛物线上的点具有两点性质:①点的坐标适合方程;②点满足定义条件,即点P到焦点的距离等于到准线的距离.【解题探究】1.抛物线y2=8x的焦点坐标是什么?准线方程呢【解析】1.选B.抛物线y2=8x的准线是x=-2,由条件知P到y轴距离为4,∴点P的横坐标xP=4.根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6.【解析】1.选B.抛物线y2=8x的准线是x=-2,由条件知2.由抛物线定义知焦点坐标为F(-,0),准线方程为x=,由题意设M到准线的距离为|MN|,则|MN|=|MF|=10,即-(-9)=10,∴p=2,故抛物线方程为y2=-4x,将M(-9,y)代入y2=-4x,解得y=±6,∴M(-9,6)或M(-9,-6).2.由抛物线定义知焦点坐标为F(-,0),准线方程为x=【拓展提升】1.抛物线的焦半径(1)抛物线的焦半径是指抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段.【拓展提升】(2)抛物线的焦半径公式:抛物线y2=2px(p>0)|PF|=|x0+|=+x0抛物线y2=-2px(p>0)|PF|=|x0-|=-x0抛物线x2=2py(p>0)|PF|=|y0+|=+y0抛物线x2=-2py(p>0)|PF|=|y0-|=-y0(2)抛物线的焦半径公式:抛物线y2=2px(p>0)|PF2.过抛物线焦点的弦长设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则:y2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)2.过抛物线焦点的弦长y2=2px(p>0)|AB|=x1+【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.【解题指南】联立方程组,由过焦点的弦长公式表示出弦长,解方程求出参数值,从而得出抛物线的标准方程.【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾【解析】若抛物线开口向右,如图.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,即x1+x2+p=8.①【解析】若抛物线开口向右,如图.又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由消去y,得x2-3px+=0,∴x1+x2=3p.将其代入①,得p=2.∴所求抛物线的方程为y2=4x.当抛物线的开口向左时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.综上,抛物线的方程为y2=4x或y2=-4x.又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,类型二抛物线性质的应用【典型例题】1.(2013·唐山高二检测)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是()A.(,1)B.(0,0)C.(1,2) D.(1,4)2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.类型二抛物线性质的应用【解题探究】1.题1中求抛物线上的一点到已知直线的距离最短的解题思路一般有哪些?2.以原点为一个顶点的三角形的“四心”在抛物线的对称轴上,另两个顶点的位置关系如何?探究提示:1.一般有三种方法:(1)构造函数法.(2)数形结合法.(3)转化法.2.根据抛物线的对称性,另两个顶点必定关于对称轴对称.【解题探究】1.题1中求抛物线上的一点到已知直线的距离最短的【解析】1.选A.方法一:设抛物线上点的坐标为(x,4x2),其中x∈R,由点到直线的距离公式得∴当x=时,d最小.这时点的坐标为(,1).【解析】1.选A.方法一:设抛物线上点的坐标为(x,4x2)方法二:设与y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线方程为y=4x+m,由得4x2-4x-m=0.再由Δ=16-4×4×(-m)=0得m=-1.这时切点为(,1),切点(,1)到y=4x-5的距离最小.方法二:设与y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线方程为y2.如图所示.设A(x0,y0),由题意可知B(x0,-y0),又F(,0)是△AOB的垂心,则AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1,即∴y02=x0(x0-),又y02=2px0,∴x0=2p+=.因此直线AB的方程为x=.2.如图所示.设A(x0,y0),【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如何?【解析】根据抛物线的对称性,因为F为△OAB的重心,所以A,B两点关于x轴对称.又根据重心的性质,∵|OF|=,∴AB的方程应为【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如【拓展提升】抛物线的主要性质及应用方向【拓展提升】抛物线的主要性质及应用方向类型三抛物线中的证明问题【典型例题】1.证明以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.2.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:(1)x1x2为定值.(2)为定值.类型三抛物线中的证明问题【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什么?2.什么是定值?探究提示:1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判断圆心到直线的距离与半径的大小.2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什么?【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,M为AB的中点,作MM1⊥l于M1,则由抛物线的定义可知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1A中,|MM1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,故以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切.【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,2.(1)抛物线y2=2px的焦点为F(,0),当AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为y=k(x-)(k≠0).由消去y,得k2x2-p(k2+2)x+=0.由根与系数的关系得x1x2=(定值).当AB⊥x轴时,x1=x2=,x1x2=也成立.2.(1)抛物线y2=2px的焦点为F(,0),当AB不(2)由抛物线的定义知,|FA|=x1+,|FB|=x2+.又由(1)得x1x2=,所以==(定值).(2)由抛物线的定义知,|FA|=x1+,|FB|=x【拓展提升】解决与抛物线有关的证明问题应注意的四点【拓展提升】解决与抛物线有关的证明问题应注意的四点【变式训练】如图,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点,且|MA|=|MB|.若M为定点.证明:直线EF的斜率为定值.【变式训练】如图,M是抛物线y2=x上的一点,【证明】设M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k>0),则直线MF的斜率为-k,∴直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).由消去x,得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得【证明】设M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k>0),同理可得∴=-(定值).∴直线EF的斜率为定值.同理可得【易错误区】抛物线最值问题中忽视范围致误【典例】(2013·安阳高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是()A.a>0B.0<a≤1C.a≤1D.a≤0【易错误区】抛物线最值问题中忽视范围致误【解析】选C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则|PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1).∵y∈[0,+∞)①

,根据题意知,(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时,dmin2=a2.这时dmin=|a|.(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.综上可知a≤1.【解析】选C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则【误区警示】【误区警示】【防范措施】1.不要忽视抛物线中范围抛物线中的变量是有范围的,解题中若忽视了这一点,会使讨论起来更加复杂,或解题中妄加猜测,如本例中y的范围为[0,+∞).2.分类讨论思想的应用求最值时,若对称轴与变量范围不确定时,需分类讨论,如本例中,因y≥0,故分a-1≤0或a-1>0两种情况讨论.【防范措施】【类题试解】设点A的坐标为(a,0)(a∈R),则曲线y2=2x上的点到A点的距离的最小值为

.【解析】设曲线y2=2x上的点到A点的距离为d,抛物线上任一点的坐标为(x,y),则d2=(x-a)2+y2=x2-(2a-2)x+a2=[x-(a-1)]2+(2a-1).因为x∈[0,+∞),所以当a≥1时,dmin2=2a-1,dmin=;当a<1时,dmin2=a2,dmin=|a|.答案:或|a|【类题试解】设点A的坐标为(a,0)(a∈R),则曲线y2=1.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()A.B.C.D.3【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为当m=时,取得最小值为.1.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小2.方程(3-m)y2=(m-1)x表示抛物线,其中m不能为()A.1 B.3 C.1或3 D.1且3【解析】选D.由条件知,解得m≠3且m≠1,故选D.2.方程(3-m)y2=(m-1)x表示抛物线,其中m不能为3.抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2)在此抛物线上,M为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为()A.1 B. C.2 D.【解析】选D.点P(2,2)在抛物线y2=mx上,所以m=4,抛物线的准线为x=-1.∴抛物线y2=mx的焦点为F(1,0),M为线段PF的中点,∴M的坐标为(),∴M到抛物线的准线x=-1的距离.3.抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2)在此抛物4.抛物线y2=8x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为

.【解析】根据定义知,抛物线上的点P到顶点的距离和到焦点的距离相等,∴P在OF的中垂线上,∵F(2,0),∴点P的横坐标为1.把x=1代入y2=8x得y=±2.故P(1,±2).答案:(1,-2)和(1,2)4.抛物线y2=8x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为5.抛物线y2=2x上点P(1,-)到其焦点的距离为

.【解析】焦点为F(,0),∴d=故P(1,-)到抛物线焦点的距离为.答案:5.抛物线y2=2x上点P(1,-)到其焦点的距离为6.已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.6.已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与【解析】由题意,抛物线方程为y2=2px(p≠0),焦点F直线l:x=,∴A,B两点坐标为∴|AB|=2|p|.∵△OAB的面积为4,∴·2|p|=4,∴p=±2∴抛物线方程为y2=±4x.【解析】由题意,抛物线方程为y2=2px(p≠0),第1课时-抛物线的简单几何性质最新北京四中备战高考课件第1课时-抛物线的简单几何性质最新北京四中备战高考课件2.4.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质2.4.2抛物线的简单几何性质第1课时-抛物线的简单几何性质最新北京四中备战高考课件抛物线的简单几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图象抛物线的简单几何性质标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)性质范围____________________________________对称轴__轴__轴顶点_______焦点_____________________________准线_________________________离心率e=__x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0xyO(0,0)1标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)抛物线的图象关于点(0,0)对称.()(2)抛物线没有渐近线.()(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.()判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)提示:(1)错误.抛物线没有对称中心,它的图象不关于点(0,0)对称,因为y2=2px中,同时把x,y换成-x,-y,方程发生了变化.(2)正确.渐近线是圆锥曲线中双曲线的特有性质,抛物线没有渐近线.(3)错误.把x=代入y2=2px(p>0)得y=±p,所以过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p.答案:(1)×(2)√(3)×提示:(1)错误.抛物线没有对称中心,它的图象不关于点(0,【知识点拨】1.在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较椭圆双曲线抛物线对称轴x轴和y轴x轴或y轴对称中心(0,0)(0,0)无顶点4个2个1个(0,0)焦点2个2个1个准线不研究不研究1条渐近线无2条无离心率e∈(0,1)e∈(1,+∞)e=1【知识点拨】椭圆双曲线抛物线对称轴x轴和y轴x轴或y轴对称中2.参数p(p>0)对抛物线开口大小的影响因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p,所以p越大,开口越大.3.抛物线的图象具有的特征抛物线是轴对称图形,其焦点F和准线与对称轴的交点关于原点O对称,即若准线与对称轴的交点为M,则O为MF的中点.2.参数p(p>0)对抛物线开口大小的影响4.点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系(1)P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)内部⇔y02<2px0.(2)P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)上⇔y02=2px0.(3)P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p>0)外部⇔y02>2px0.4.点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关类型一焦半径和焦点弦问题

【典型例题】1.(2013·鹤岗高二检测)抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.122.(2013·大理高二检测)若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.类型一焦半径和焦点弦问题

【解题探究】1.抛物线y2=8x的焦点坐标是什么?准线方程呢?2.抛物线上的点具有什么性质?探究提示:1.焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.2.抛物线上的点具有两点性质:①点的坐标适合方程;②点满足定义条件,即点P到焦点的距离等于到准线的距离.【解题探究】1.抛物线y2=8x的焦点坐标是什么?准线方程呢【解析】1.选B.抛物线y2=8x的准线是x=-2,由条件知P到y轴距离为4,∴点P的横坐标xP=4.根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6.【解析】1.选B.抛物线y2=8x的准线是x=-2,由条件知2.由抛物线定义知焦点坐标为F(-,0),准线方程为x=,由题意设M到准线的距离为|MN|,则|MN|=|MF|=10,即-(-9)=10,∴p=2,故抛物线方程为y2=-4x,将M(-9,y)代入y2=-4x,解得y=±6,∴M(-9,6)或M(-9,-6).2.由抛物线定义知焦点坐标为F(-,0),准线方程为x=【拓展提升】1.抛物线的焦半径(1)抛物线的焦半径是指抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段.【拓展提升】(2)抛物线的焦半径公式:抛物线y2=2px(p>0)|PF|=|x0+|=+x0抛物线y2=-2px(p>0)|PF|=|x0-|=-x0抛物线x2=2py(p>0)|PF|=|y0+|=+y0抛物线x2=-2py(p>0)|PF|=|y0-|=-y0(2)抛物线的焦半径公式:抛物线y2=2px(p>0)|PF2.过抛物线焦点的弦长设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则:y2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)2.过抛物线焦点的弦长y2=2px(p>0)|AB|=x1+【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.【解题指南】联立方程组,由过焦点的弦长公式表示出弦长,解方程求出参数值,从而得出抛物线的标准方程.【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾【解析】若抛物线开口向右,如图.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,即x1+x2+p=8.①【解析】若抛物线开口向右,如图.又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由消去y,得x2-3px+=0,∴x1+x2=3p.将其代入①,得p=2.∴所求抛物线的方程为y2=4x.当抛物线的开口向左时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.综上,抛物线的方程为y2=4x或y2=-4x.又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,类型二抛物线性质的应用【典型例题】1.(2013·唐山高二检测)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是()A.(,1)B.(0,0)C.(1,2) D.(1,4)2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.类型二抛物线性质的应用【解题探究】1.题1中求抛物线上的一点到已知直线的距离最短的解题思路一般有哪些?2.以原点为一个顶点的三角形的“四心”在抛物线的对称轴上,另两个顶点的位置关系如何?探究提示:1.一般有三种方法:(1)构造函数法.(2)数形结合法.(3)转化法.2.根据抛物线的对称性,另两个顶点必定关于对称轴对称.【解题探究】1.题1中求抛物线上的一点到已知直线的距离最短的【解析】1.选A.方法一:设抛物线上点的坐标为(x,4x2),其中x∈R,由点到直线的距离公式得∴当x=时,d最小.这时点的坐标为(,1).【解析】1.选A.方法一:设抛物线上点的坐标为(x,4x2)方法二:设与y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线方程为y=4x+m,由得4x2-4x-m=0.再由Δ=16-4×4×(-m)=0得m=-1.这时切点为(,1),切点(,1)到y=4x-5的距离最小.方法二:设与y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线方程为y2.如图所示.设A(x0,y0),由题意可知B(x0,-y0),又F(,0)是△AOB的垂心,则AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1,即∴y02=x0(x0-),又y02=2px0,∴x0=2p+=.因此直线AB的方程为x=.2.如图所示.设A(x0,y0),【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如何?【解析】根据抛物线的对称性,因为F为△OAB的重心,所以A,B两点关于x轴对称.又根据重心的性质,∵|OF|=,∴AB的方程应为【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如【拓展提升】抛物线的主要性质及应用方向【拓展提升】抛物线的主要性质及应用方向类型三抛物线中的证明问题【典型例题】1.证明以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.2.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:(1)x1x2为定值.(2)为定值.类型三抛物线中的证明问题【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什么?2.什么是定值?探究提示:1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判断圆心到直线的距离与半径的大小.2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什么?【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,M为AB的中点,作MM1⊥l于M1,则由抛物线的定义可知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1A中,|MM1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,故以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切.【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,2.(1)抛物线y2=2px的焦点为F(,0),当AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为y=k(x-)(k≠0).由消去y,得k2x2-p(k2+2)x+=0.由根与系数的关系得x1x2=(定值).当AB⊥x轴时,x1=x2=,x1x2=也成立.2.(1)抛物线y2=2px的焦点为F(,0),当AB不(2)由抛物线的定义知,|FA|=x1+,|FB|=x2+.又由(1)得x1x2=,所以==(定值).(2)由抛物线的定义知,|FA|=x1+,|FB|=x【拓展提升】解决与抛物线有关的证明问题应注意的四点【拓展提升】解决与抛物线有关的证明问题应注意的四点【变式训练】如图,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点,且|MA|=|MB|.若M为定点.证明:直线EF的斜率为定值.【变式训练】如图,M是抛物线y2=x上的一点,【证明】设M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k>0),则直线MF的斜率为-k,∴直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).由消去x,得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得【证明】设M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k>0),同理可得∴=-(定值).∴直线EF的斜率为定值.同理可得【易错误区】抛物线最值问题中忽视范围致误【典例】(2013·安阳高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是()A.a>0B.0<a≤1C.a≤1D.a≤0【易错误区】抛物线最值问题中忽视范围致误【解析】选C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则|PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1).∵y∈[0,+∞)①

,根据题意知,(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时,dmin2=a2.这时dmin=|a|.(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.综上可知a≤1.【解析】选C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则【误区警示】【误区警示】【防范措施】1.不要忽视抛物线中范围抛物线中的变量是有范围的,解题中若忽视了这一点,会使讨论起来更加复杂,或解题中妄加猜测,如本例中y的范围为[0,+∞).2.分类讨论思想的应用求最值时,若对称轴与变量范围不确定时,需分类讨论,如本例中,因y≥0,故分a-1≤0或a-1>0两种情况讨论.【防范措施】【类题试解】设点A的坐

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