离散数学代数结构讲课稿课件

2022/12/2数学的基本结构序结构：数的大小，次序拓扑结构：平面几何，立体几何（欧氏空间）代数结构：群2022/12/1数学的基本结构序结构：数的大小，次序2022/12/2Chapter4AlgebraSystem2022/12/1Chapter4Algebra2022/12/2§4.1代数系统的引入

(1)

一个代数系统需要满足下面三个条件：（1）有一个非空集合S；（2）有一些建立在S上的运算；（3）这些运算在集合S上是封闭的。2022/12/1§4.1代数系统的引入2022/12/2§4.2运算

(1)

4.2.1运算的概念定义

假设A是一个集合，AA到A的映射称为A上的二元运算。一般地，An到A的映射称为A上的n元运算。2022/12/1§4.2运算2022/12/2§4.2运算

(2)

4.2.2运算的性质（1）封闭性

如果

SA，对任意的

a,bS，有a*bS，则称

S对运算*是封闭的。假设*,+都是集合A上的运算2022/12/1§4.2运算2022/12/2§4.2运算

(3)

4.2.2运算的性质（2）交换律

如果对任意的a,bA，都有a*b=b*a，则称运算*是可交换的。（3）结合律

如果对任意的a,b,cA，都有(a*b)*c=a*(b*c)，则称运算*是可结合的。2022/12/1§4.2运算2022/12/2§4.2运算

(4)

（4）分配律

如果对任意的a,b,cA，都有a*(b+c)=(a*b)+(a*c)

则称*对+运算满足左分配；如果对任意的a,b,cA，都有(b+c)*a=(b*a)+(c*a)

则称*对+运算满足右分配。如果运算*对+既满足左分配又满足右分配，则称运算*对+满足分配律。2022/12/1§4.2运算2022/12/2§4.2运算

(5)

（5）消去律

如果对任意的a,b,cA，当a*b=a*c，必有b=c，则称运算*满足左消去律；如果对任意的a,b,cA，当b*a=c*a，必有b=c，则称运算*满足右消去律；如果运算*既满足左消去律又满足右消去律，则称运算*满足消去律。2022/12/1§4.2运算2022/12/2§4.2运算

(6)

（6）吸收律

如果对任意的a,bA，都有a*(a+b)=a，则称运算*关于运算+满足吸收律。

（7）等幂律

如果对任意的aA，都有a*a=a，则称运算*满足等幂律。

2022/12/1§4.2运算2022/12/2§4.2运算

(7)

2022/12/1§4.2运算2022/12/2§4.3代数系统

(1)

4.3.1代数系统的概念定义

假设A是一个非空集合，f1,f2,…,fn

是

A上的运算（运算的元素可以是不相同的），则称A

在运算f1,f2,…,fn

下构成一个代数系统，记为：<A,f1,f2,…,fn>

2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(2)

4.3.1代数系统的概念定义

假设<A,*>

是一个代数系统，SA，如果S

对*是封闭的，则称<S,*>

为<A,*>的子代数系统。2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(3)

4.3.2代数系统中的特殊元素（1）单位元（幺元）

假设<A,*>

是一个代数系统，如果eLA,对于任意元素xA，都有eL*x=x,则称

eL为A

中关于运算*的左单位元;

如果erA,对于任意元素xA，都有x*er=x,则称er为A

中关于运算*的右单位元;

如果A

中一个元素e

既是左单位元又是右单位元，则称

e

为A

中关于运算*的单位元。2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(4)

2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(5)

4.3.2代数系统中的特殊元素（1）单位元（幺元）

定理

假设<A,*>

是代数系统，并且A

关于运算*有左单位元eL和右单位元er，则eL=er=e

并且单位元唯一。2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(6)

4.3.2代数系统中的特殊元素（2）零元

假设<A,*>

是一个代数系统，如果LA,对于任意元素xA，都有L*x=L,则称L为A

中关于运算*的左零元;

如果rA,对于任意元素xA，都有x*r=r,则称r

为A

中关于运算*的右零元;

如果A

中一个元素既是左零元又是右零元，则称为A

中关于运算*的零元。2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(7)

2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(8)

4.3.2代数系统中的特殊元素（2）零元

定理

假设<A,*>

是代数系统，并且A

关于运算*有左零元L

和右零元r，则L=r=

并且零元唯一。2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(9)

4.3.2代数系统中的特殊元素（3）逆元

假设<A,*>

是一个代数系统，e

是<A,*>的单位元。对于元素aA，如果存在bA，使得b*a=e，则称a为左可逆的，b

为a

的左逆元；如果存在cA，使得

a*c=e，则称元素a

是右可逆的，c

为a

的右逆元。如果存在a’A，使得a’*a=a*a’=e，则称a是可逆的，a’

为a

的逆元。a的逆元记为：a-1。2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(10)

2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(11)

4.3.2代数系统中的特殊元素（3）逆元

定理

设<A,*>

是一个代数系统，且

A

中存在单位元e，每个元素都存在左逆元。如果运算*是可结合的，那么，任何一个元素的左逆元也一定是该元素的右逆元，且每个元素的逆元唯一。2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(12)

4.3.2代数系统中的特殊元素（4）幂等元

定义：在代数系统<A,*>中，如果元素a满足a*a=a，那么称a是A中的幂等元。2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.3代数系统

(12)

2022/12/1§4.3代数系统2022/12/2§4.4同态与同构

(1)

4.4.1基本概念定义

设<A,*>

和<B,>

是代数系统，f:AB,

如果f

保持运算，即对x,yA,有f(x*y)=f(x)f(y)。称f为代数系统<A,*>

到<B,>的同态映射，简称同态。也称之为两代数系统同态。2022/12/1§4.4同态与同构2022/12/2§4.4同态与同构

(2)

4.4.1基本概念定义设<A,*>

和<B,>

是代数系统，f

是A

到B

的同态。如果f

是单射的，称f

为单同态；如果f是满射的，称

f

为满同态；如果f是双射的，称f

为同构映射，简称为同构。2022/12/1§4.4同态与同构2022/12/2§4.4同态与同构

(3)

4.4.1基本概念定义

设<A,*>

是代数系统，若存在函数f:AA,并且对x,yA,有f(x*y)=f(x)*f(y)。称f为<A,*>

的自同态；如果f是双射的，则称f为<A,*>

的自同构。2022/12/1§4.4同态与同构2022/12/2§4.4同态与同构

(4)

4.4.2同态、同构的性质（1）如果两函数是同态、同构的，则复合函数也是同态、同构的。

定理

假设

f

是<A,*>

到<B,>的同态，g是<B,>到<C,>

的同态，则gf是<A,*>

到<C,>的同态；如果f

和g

是单同态、满同态、同构时，则gf也是单同态、满同态和同构。

2022/12/1§4.4同态与同构2022/12/2§4.4同态与同构

(5)

4.4.2同态、同构的性质（2）满同态保持结合律

定理

假设f

是<A,*>

到<B,>的满同态。如果*运算满足结合律，则运算也满足结合律，即满同态保持结合律。（3）满同态保持交换律

2022/12/1§4.4同态与同构2022/12/2§4.4同态与同构

(6)

4.4.2同态、同构的性质定理

假设

f是<A,*>

到<B,>的满同态。e

是<A,*>

的单位元，则f(e)

是<B,>的单位元。（4）满同态保持单位元

2022/12/1§4.4同态与同构2022/12/2§4.4同态与同构

(7)

4.4.2同态、同构的性质定理

假设f是<A,*>到<B,>的满同态。eA和eB分别是<A,*>和<B,>的单位元，如果A

中元素x和x’互逆，则B中元素f(x)和f(x’)也互逆。（5）满同态保持逆元

2022/12/1§4.4同态与同构2022/12/2§4.4同态与同构

(8)

4.4.2同态、同构的性质定理

假设f

是<A,*>

到<B,>的满同态。是<A,*>

的零元，则f()

是<B,>的零元。（6）满同态保持零元

2022/12/1§4.4同态与同构2022/12/2§4.4同态与同构

(9)

4.4.2同态、同构的性质定理

假设f

是<A,*>到<B,>的满同态。并且xA是<A,*>的幂等元，则f(x)B是<B,>的幂等元。（7）满同态保持幂等元

2022/12/1§4.4同态与同构2022/12/2§4.4同态与同构

(10)

4.4.2同态、同构的性质定理

假设

f

是<A,*>

到<B,>的同构映射。则

f-1是<B,>

到<A,*>

的同构映射。（8）同构映射运算性质双向保持

2022/12/1§4.4同态与同构2022/12/2§4.5同余关系与商代数

选讲4.5.1同余关系定义

假设<A,*>

是一个代数系统，E

是A上的等价关系。如果对x1,x2,y1,y2A，当x1Ex2,y1Ey2时，必有(x1*y1)E(x2*y2)，则称E是A上的同余关系。2022/12/1§4.5同余关系与商代数选讲4.2022/12/2§4.6直积

(1)

定义：

设<A,*>

和<B,>

为两个代数系统，<AB,>

称为两代数系统的直积。其中AB

是A

和B

的笛卡尔乘积，定义如下：对任意的<x,y>,<u,v>AB，<x,y><u,v>=<x*u,yv>。

2022/12/1§4.6直积2022/12/2§4.6直积

(2)

定理：

假设<A,*>

和<B,>

为两个代数系统，且分别有单位元eA,eB，在两代数系统的直积<AB,>中存在子代数系统S,T，使得

<A,*><S,>，<B,><T,>。2022/12/1§4.6直积2022/12/2Chapter5Grouptheory2022/12/1Chapter5Group2022/12/2§5.1半群

(1)

5.1.1半群的定义定义：

设<S,*>

是一个代数系统，如果*运算满足结合律，则称<S,*>

是一个半群。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(2)

例：假设S={a,b,c}，在S上定义运算，如运算表给出。证明<S,>是半群。

2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(3)

5.1.1半群的定义定义：

假设<S,*>

是一个半群，aS，n

是正整数，则an

表示n

个a的计算结果，即an=a*a*…*a。对任意的正整数m,n，

am*an=am+n，(am)n=amn。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(4)

5.1.2交换半群

定义：

如果半群<S,*>

中的*运算满足交换律，则称<S,*>

为交换半群。

在交换半群<S,*>

中，若a,bS，n

是任意正整数，则(a*b)n=an*bn

2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(5)

5.1.3独异点（含幺半群）

定义：

假设<S,*>

是一个半群，如果<S,*>

中有单位元，则称<S,*>

是独异点，或含幺半群。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(6)

5.1.3独异点（含幺半群）

定理：

假设<S,*>

是独异点，如果a,bS，并且a,b

有逆元

a-1,b-1存在，则：（1）(a-1)-1=a；（2）(a*b)-1=b-1*a-1。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(7)

5.1.4子半群

定义：

假设<S,*>

是一个半群，若TS，且在*运算下也构成半群，则称<T,*>

是<S,*>

的子半群。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(8)

假设A={a,b}，<P(A),>

是一个含幺半群。若B={a}则P(B)P(A)并且<P(B),>构成半群，是<P(A),>的子半群。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(9)

5.1.4子半群

定义：

设<S,*>

是含幺半群，若<T,*>

是它的子半群，并且<S,*>

的单位元e

也是<T,*>单位元，则称<T,*>

是<S,*>

的子含幺半群。2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.1半群

(10)

例：设<S,*>是可交换的含幺半群，T={a|aS，且a*a=a}，则<T,*>是<S,*>的子含幺半群。

2022/12/1§5.1半群2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(1)

5.2.1群的基本概念

定义：

设<G,*>

是一代数系统，如果满足以下几点：

(1)

运算是可结合的；

(2)

存在单位元e；

(3)

对任意元素a

都存在逆元a-1；则称<G,*>

是一个群。2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(2)

例：假设R={0,60,120,180,240,300}表示平面几何上图形绕形心顺时针旋转的角度集合。*是定义在R上的运算。定义如下：对任意的a,bR，a*b表示图形顺时针旋转a角度，再顺时针旋转b角度得到的总旋转度数。并规定旋转360度等于原来的状态，即该运算是模360的。整个运算可以用运算表表示。2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(3)

2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(4)

5.2.1群的基本概念

一个群如果运算满足交换律，则称该群为交换群，或Abel群。2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(5)

5.2.2群的性质

(1)任何群都没有零元。(2)设<G,*>

是群，则G

中消去律成立。(3)设<G,*>是群，单位元是G中的唯一等幂元。

2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(6)

5.2.2群的性质

(4)

设<G,*>,<H,>是群，f是G到H

的同态，若e为<G,*>的单位元，则f(e)是<H,>的单位元，并且对任意aG，有f(a-1)=f(a)-1。

(5)

设<G,*>是群，<H,>是任意代数系统，若存在

G到H的满同态映射，则<H,>必是群。2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(7)

5.2.3半群与群

(1)

假设<G,*>是半群，并且①<G,*>中有一左单位元e，使得对任意的aG，有e*a=a；②<G,*>中任意元素a

都有“左逆元”a-1，使得a-1*a=e。则<G,*>

是群。2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(8)

5.2.3半群与群

(2)

假设<G,*>

是半群，对任意的a,bG，方程a*x=b，y*a=b

都在G

中有解。则<G,*>

是群。

(3)

有限半群，如果消去律成立，则必为群。2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(9)

5.2.4有限群的性质

定理：

设<G,*>

是一个n

阶有限群，它的运算表中的每一行（每一列）都是G

中元素的一个全排列。2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(10)

5.2.4有限群的性质

2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(11)

5.2.4有限群的性质

2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(12)

例：假设<G,*>是一个二阶群，则<GG,*>是一个Klein群。2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§5.3子群与元素周期

(1)

5.3.1子群定义：

设<G,*>

是一个群，非空集合HG。如果H

在G

的运算下也构成群，则称<H,*>是<G,*>

的子群。2022/12/1§5.3子群与元素周期2022/12/2§5.3子群与元素周期2022/12/1§5.3子群与元素周期2022/12/2§5.3子群与元素周期

(2)

5.3.1子群定理：

设<H,*>

是<G,*>

的子群，则

(1)<H,*>

的单位元eH

一定是<G,*>

的单位元，即eH=eG。

(2)

对aH，a

在H中的逆元a’，一定是

a在

G

中的逆元。2022/12/1§5.3子群与元素周期2022/12/2§5.3子群与元素周期

(3)

5.3.2由子集构成子群的条件(1)

设H

是群<G,*>

中G

的非空子集，则H构成<G,*>

子群的充要条件是：①对a,bH，有a*bH；②对aH，有a-1H。2022/12/1§5.3子群与元素周期2022/12/2§5.3子群与元素周期

(4)

5.3.2由子集构成子群的条件(2)推论

假设<G,*>

是群，H

是G的非空子集，则<H,*>

是<G,*>

子群的充要条件是：对a,bH，有a*b-1H。2022/12/1§5.3子群与元素周期2022/12/2§5.3子群与元素周期

(5)

5.3.2由子集构成子群的条件(3)

假设<G,*>

是一个群，H

是G

的非空有限子集，则<H,*>

是

<G,*>

子群的充要条件是：对a,bH，有a*bH。2022/12/1§5.3子群与元素周期2022/12/2§5.3子群与元素周期

(6)

5.3.3元素的周期（1）群中元素的幂运算

假设<G,*>

是一个群，aG。则a0=e；ai+1=ai*a；

a-i=(a-1)i(i0)；

am*an=am+n；

(am)n=amn

（m,n为整数）。2022/12/1§5.3子群与元素周期2022/12/2§5.3子群与元素周期

(7)

5.3.3元素的周期（2）元素的周期

定义：设<G,*>是一个群，aG。若存在正整数n，使得an=e，则将满足该条件的最小正整数n

称为元素a

的周期或阶。若这样的

n

不存在，则称元素a

的周期无限。元素a

的周期记为：|a|。2022/12/1§5.3子群与元素周期2022/12/2§5.3子群与元素周期例3：<Z4,+4>是一个群，其中Z4={[0],[1],[2],[3]}，其运算表如右图。[0]=[0]|[0]|=1[1]4=[0]|[1]|=4[2]2=[0]|[2]|=2

[3]4=[0]

|[3]|=42022/12/1§5.3子群与元素周期例3：<Z4,2022/12/2§5.3子群与元素周期

(8)

5.3.3元素的周期（3）元素周期的性质设<G,*>是一个群，aG。①a

的周期等于a生成的循环子群(a)的阶。即|a|=|(a)|；②若a

的周期为n，则am=e

的充分必要条件是

n|m。2022/12/1§5.3子群与元素周期2022/12/2§5.3子群与元素周期

(9)

5.3.3元素的周期（3）元素周期的性质推论：

设<G,*>

是一个群，aG。若a的周期为n，则

(a)={a0,a1,...,an-1}。

2022/12/1§5.3子群与元素周期2022/12/2§5.4循环群

(1)

5.4.1定义

设<G,*>

是一个群，若在G

中存在一个元素

a，使得G

中任意元素都由a

的幂组成，即G=(a)={ai|iZ}，则称该群为循环群，元素a

称为循环群的生成元。2022/12/1§5.4循环群2022/12/2§5.4循环群

(2)

5.4.2循环群的性质（1）设<G,*>是一个循环群。

①若<G,*>

是n

阶有限群，则

<G,*><Zn,+n>；②若<G,*>

是无限群，则

<G,*><Z,+>。2022/12/1§5.4循环群2022/12/2§5.4循环群

(3)

5.4.2循环群的性质（2）循环群的子群必为循环群（3）设<G,*>是n阶循环群，m是正整数，并且m|n，则G中存在唯一一个

m阶子群。2022/12/1§5.4循环群2022/12/2§5.4循环群

(3)

设有一个由a生成的循环群,则我们有⑴若a的周期无限,则与<I,+>同构。⑵若a的周期为m,则与同构。2022/12/1§5.4循环群2022/12/2§5.5置换群

(1)

5.5.1置换及其运算

（1）有限集S

到其自身的双射称为S上的一个置换。当|S|=n

时，S

上的置换称为n

次置换。2022/12/1§5.5置换群2022/12/2§5.5置换群

(2)

5.5.1置换及其运算

（2）定义：设S上有如下置换

称该置换为循环置换，记为(a1,a2,…,ai)，i为循环长度。当i=2

时称为对换。单位置换，即恒等映射也视为循环置换，记为（1）或（n）。2022/12/1§5.5置换群2022/12/2§5.5置换群

(3)

5.5.2置换群

（1）定义：一个阶为n的有限集合S上所有的置换所组成的集合Sn及其复合运算构成群,称<Sn,>

为n

次对称群(Symmetricgroupofdegreen)，而<Sn,>

的任意子群称为n

次置换群。n

次对称群的阶？|Sn|=？2022/12/1§5.5置换群2022/12/2§5.5置换群

(4)

5.5.2置换群例1：假设S={1,2,3}，写出S

的

3

次对称群和所有的3

次置换群。

解：S3={f1,f2,f3,f4,f5,f6}，并且

f1=(1),f2=(1,2),f3=(1,3),f4=(2,3),f5=(1,2,3),f6=(1,3,2)2022/12/1§5.5置换群2022/12/22022/12/12022/12/2f1是单位元，（f1）=｛f1｝f2，f3，f4，的阶是2，（f2）=｛f2，｝=｛f1，f2｝（f3）=｛f3，｝=｛f1，f3｝（f4）=｛f4，｝=｛f1，f4｝f5，f6的阶是3,（f5）=｛f5，,｝=｛f1，f5,f6｝（f6）=｛f6，,｝=｛f1，f5,f6｝

｛f1｝,｛f1，f2｝,｛f1，f3｝,｛f1，f4｝｛f1，f5,f6｝是子群，即3次置换群2022/12/1f1是单位元，（f1）=｛f1｝2022/12/2例：有那些对称群是可交换群（ABEL群）？2022/12/1例：有那些对称群是可交换群（ABEL群）？2022/12/2§5.5置换群

(6)

5.5.2置换群

（2）性质：（Cayley凯利定理）

任意n

阶群必同构于一个

n

次置换群。例2：给定一个正四边形，如图所示。四个顶点的集合为S={1,2,3,4}。2022/12/1§5.5置换群2022/12/2§5.6陪集

(1)

5.6.1左同余关系（左陪集关系）定义：

设<G,*>是一个群，<H,*>是其子群。利用

H在G

上定义关系：

RH={<a,b>|a,bG,b-1*aH}

R’H={<a,b>|a,bG,a*b-1H}则称RH为G

上的模H左同余关系（左陪集关系）；R’H为G上的模H

右同余关系（右陪集关系）。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(2)

5.6.1左同余关系（左陪集关系）定理：

设<H,*>

是<G,*>

的一个子群，则G

中模H

左同余关系是等价关系。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(3)

5.6.2左陪集定义：

设<H,*>

是<G,*>

的一个子群，则aG

为代表元的模H

同余关系的等价类[a]={a*h|hH}，称为H

在G

内由a

确定的左陪集。简记为：aH=[a]。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(4)

5.6.2左陪集定理：

设<H,*>

是<G,*>

的一个子群，则：(1)eH=H；(2)对a,bH，aH=bHb-1*aH(3)对aG，aH=HaH2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(5)

5.6.2左陪集例：G={e,a,b,c,d,e,f}。1、写出子群（a）2、证明（a）*c=c*（a）3、找出所有两个元素的子群4、求（d）的有陪集2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(5)

5.6.2左陪集例：设<Z6,+6>是一个群，Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]},试写出<Z6,+6>中每个子群及相应的左陪集。

2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(6)

5.6.3左商集和右商集定义：

设<H,*>

是<G,*>

的一个子群，由H

所确定的G

上所有元素的左陪集构成的集合称为G对H

的左商集，记为:SL={aH|aG};

所有右陪集构成的集合称为G

对H

的右商集，记为:SR={Ha|aG}。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集设<H,*>

是群<G,*>

的子群。（1）利用H定义G上的关系

RH={<a,b>|a,bG,b-1*aH}

R’H={<a,b>|a,bG,a*b-1H}

则称RH

和R’H分别为G

上的模H

左同余关系（左陪集关系）和右同余关系（右陪集关系）。（2）H

在G内由a

确定的左、右陪集简记为：

aH=[a]={a*h|hH}={ah|hH}

Ha=[a]={h*a|hH}={ha|hH}

（3）左、右商集SL={aH|aG}、SR={Ha|aG}2022/12/1§5.6陪集设<H,*>是群<2022/12/2§5.6陪集

(7)

5.6.3左商集和右商集定理：

设<H,*>

是任意群<G,*>

的子群，则G

关于H的左、右商集必等势。定义映射f:SLSR,

对aG，f(aH)=Ha-12022/12/1§5.6陪集2022/12/2例：设<Z6,+6>是一个群，Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]},运算表如下：<{[0]},+6

><{[0][3]},+6

><{[0][2][4]},+6

><Z6,+6>

群<Z6,+6>的子群§5.6陪集2022/12/1例：设<Z6,+6>是一个群，Z6={[2022/12/2<{[0]},+6

>,H1={[0]},SL={[0]H1,[1]H1,

[2]H1,[3]H1,[4]H1,[5]H1}SR={H1[0],H1[1],H1[2],H1[3],H1[4],H1[5]}<{[0],[3]},+6

>,H2={[0],[3]},SL={[0]H2,[1]H2,[2]H2}SR={H2[0],H2[1],H2[2]}

所以SL与SR等势§5.6陪集2022/12/1<{[0]},+6>,H1={[0]}2022/12/2§5.6陪集

(8)

5.6.3左商集和右商集定义：

设<H,*>

是群<G,*>

的子群，SL的基数称为H

在G

内的指数。记为：[G:H]=|SL|。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(9)

5.6.3左商集和右商集定理：

设<H,*>

是群<G,*>

的子群，H

的任意左陪集（右陪集）与H等势。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(10)

5.6.4Lagrange

定理定理：

假设<G,*>

是有限群，<H,*>

是<G,*>

的子群，则

H的阶必整除G

的阶，并且|G|=[G:H]|H|。n阶群的子群的阶一定是

n的因子。

2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.6陪集

(11)

5.6.4Lagrange

定理（1）任何素数阶的群不可能有非平凡的子群。（2）素数阶的群必为循环群。（3）假设<G,*>是n

阶有限群，则对

aG,|a||

n（形象表示？？）。（4）假设<G,*>是n

阶有限群，则对

aG,an=e。2022/12/1§5.6陪集2022/12/2§5.7正规子群

(1)

5.7.1正规子群的定义

设<H,*>

是群<G,*>

的子群，如果对aG

有aH=Ha，则称<H,*>

是<G,*>

的正规子群（不变子群）。2022/12/1§5.7正规子群2022/12/2§5.7正规子群

(2)

例：假设S={1,2,3},S3={f1,f2,..,f6}2022/12/1§5.7正规子群2022/12/2§5.7正规子群

(3)

<{f1},>,<{f1,f2},>,<{f1,f3},>,<{f1,f4},>,<{f1,f5,f6},>,<S3,

>是三次置换群，是三次对称群的子群，是否为正规子群？2022/12/1§5.7正规子群2022/12/2§5.7正规子群

(3)

H1={f1},aS3

是否都有aH1=H1af1{f1,f2}={f1,f2}=f2{f1,f2},

{f1,f2}f1={f1,f2}={f1,f2}f2f3{f1,f2}={f3,f5}=f5{f1,f2},

{f1,f2}f3={f3,f6}={f1,f2}f6f4{f1,f2}={f4,f6}=f6{f1,f2},

{f1,f2}f4={f4,f5}={f1,f2}f52022/12/1§5.7正规子群2022/12/2§5.7正规子群

(4)

5.7.2判定正规子群的条件定理：

设<H,*>是群<G,*>的一个子群，则以下条件满足：

(1)对aG,aH=Ha(2)对aG,hH,必存在h’H,使

h*a=a*h’(3)对aG,hH,a*h*a-1H，或者

a-1*h*aH。2022/12/1§5.7正规子群2022/12/2§5.7正规子群

(3)

5.7.2判定正规子群的条件定理：

群<G,*>

的子群<H,*>

是正规子群的充要条件是：对aG，hH

有a*h*a-1H，或者a-1*h*aH。2022/12/1§5.7正规子群2022/12/2§5.7正规子群

(3)

5.7.3商群定义：子群<H,*>是群<G,*>

的正规子群在G/H上定义新的运算：对a,bG，有aHbH=(a*b)H，称为G对H的商群。2022/12/1§5.7正规子群2022/12/2§5.7正规子群

(4)

5.7.3商群例：N6,+6,

H={0,2,4}，H为N6的正规子群，故有商群

N6/H={0H,1H},*

(0H=H;1H={1,3,5}),其运算如下:(0H)*(0H)=0H;(1H)*(1H)=2H=0H;(0H)*(1H)=(1H)*(0H)=1H;(0H)-1=0-1H=0H;(1H)-1=1-1H=5H=1H.2022/12/1§5.7正规子群2022/12/2§5.7正规子群

(5)

5.7.4子集的乘积

假设<G,*>

是一个群，A,B是G的子集，集合

{ab|aA,bB}

称为A,B的乘积，记为A*B或AB。（1）定义2022/12/1§5.7正规子群2022/12/2§5.7正规子群

(6)

5.7.4子集的乘积（I）子集的乘积满足结合律。即

(A*B)*C=A*(B*C)（2）性质（II）在子集的运算下，任何子群都为幂等元，即HH=H。2022/12/1§5.7正规子群2022/12/2§5.7正规子群

(7)

5.7.4子集的乘积定理：设<H,*>是群<G,*>的正规子群，则对a,bG，aH*bH=(a*b)H2022/12/1§5.7正规子群2022/12/2RingandFieldsChapter62022/12/1RingChapter62022/12/2§6.1定义及基本性质

(1)

6.1.1环

假设<A,,*>

是一个代数系统，其中，和*都是集合A

上的二元运算，如果满足：（1）<A,>

是交换群（Abel群）；（2）<A,*>

是半群；（3）*对

是可分配的；则称<A,,*>

是一个环。2022/12/1§6.1定义及基本性质2022/12/2§6.1定义及基本性质

(2)

6.1.2环的性质

假设<A,,*>

是一个环。（1）因为<A,>是Abel群，所以满足结合性、交换性、消去律，<A,>中有单位元。2022/12/1§6.1定义及基本性质2022/12/2

约定：an=aa…a=na；对a,bA,(ab)n=nanb;am+n=aman=(m+n)a;amn=(am)n=n(ma)。§6.1定义及基本性质

(3)

6.1.2环的性质2022/12/1约定：an=aa…a=na2022/12/2§6.1定义及基本性质

(4)

6.1.2环的性质（2）假设

e是<A,>的单位元，对a,b,cA有：①e*a=a*e=e②a*b-1=a-1*b=(a*b)-1③a-1*b-1=a*b④a*(bc-1)=(a*b)(a*c)-1⑤(b

c-1)*a=(b*a)(c*a)-12022/12/1§6.1定义及基本性质2022/12/2§6.1定义及基本性质

(5)

6.1.3由*运算确定的几种环（1）在环<A,,*>

中，如果<A,*>

是含幺半群，并且e’

是单位元，则称e’

为环的单位元。这时称

A

为有单位元的环（有1环）。如果元素a

在<A,*>

中有逆元，则在含有单位元的环中，该元素的逆也称为环中元素的逆。2022/12/1§6.1定义及基本性质2022/12/2§6.1定义及基本性质

(6)

6.1.3由*运算确定的几种环（2）如果环中只含有一个元素，此时该元素应该是

<A,>中的单位元，当然也是

<A,*>中的单位元和零元，所以这种环称为零环。

（3）设

<A,,*>是环，当

<A,*>是可交换半群时，称

<A,,*>是可交换环。2022/12/1§6.1定义及基本性质2022/12/2§5.2群的概念及其性质

(12)

例1：假设<G,*>是一个二阶群，则<GG,*>是一个Klein群。2022/12/1§5.2群的概念及其性质2022/12/2§6.1定义及基本性质

(6)

<K,*>是Klein四元群。K={e,a,b,c};“.”运算定义如下，则<K,*，.>是环。

2022/12/1§6.1定义及基本性质2022/12/2§6.1定义及基本性质

(6)

例2：s是集合，P(s)是幂集，在P(s)上定义二元运算和*，则<K,，*>是环。

AB={x|xS(xAxB)xAB}A*B=ABA，BP(s)2022/12/1§6.1定义及基本性质2022/12/2§6.1定义及基本性质

(6)

例3：全体整数按普通加法和普通乘法构成有单位元的环。全体偶数按普通加法和普通乘法构成环，但无单位元。m是整数,摸m的全体剩余类构成什么环？如：<Z4,+4,4>是一个环；<Z5,+5,5>是一个环。实系数多项式全体按普通加法和普通乘法构成什么环？全体n阶方阵按矩阵的加法和乘法构成什么环？2022/12/1§6.1定义及基本性质2022/12/2§6.2整环、除环和域

(1)

6.2.1零因子

设<A,,*>

是环，如果存在a,bA，这里a

，b

，但a*b=，则称a

为A

中的左零因子，b为A

中的右零因子，左、右零因子统称为零因子。2022/12/1§6.2整环、除环和域2022/12/2§6.2整环、除环和域

(2)

6.2.1零因子例如：<Z4,+4,4>是一个环。其中,+4,4

的运算表如下：2022/12/1§6.2整环、除环和域2022/12/2§6.2整环、除环和域

(2)

6.2.1零因子例如<Z5,+5,5>是一个环。其中,+5,5

的运算表如下：2022/12/1§6.2整环、除环和域2022/12/2§6.2整环、除环和域

(3)

6.2.1零因子

当一个环中不含有零因子时，称它为无零因子环。即对任意的a,bA，若a*b=，则必有a=

或

b=。定理：设<A,,*>

是无零因子的环，则*在A

上消去律成立。a*c=b*c或c*a=c*b得a=b;反之亦然。2022/12/1§6.2整环、除环和域2022/12/2§6.2整环、除环和域

(3)

6.2.2整环

设<A,,*>

是无零因子环，并且是可交换的含幺环，则称它为整环。即<A,,*>

是环，并且<A,*>

有单位元，*运算可交换，对a,bA，若a*b=，则必有a=

或

b=。2022/12/1§6.2整环、除环和域2022/12/2§6.1定义及基本性质

(6)

例4：全体有理数（实数、复数）按普通加法和普通乘法构成无零因子的环，所以是整环。2022/12/1§6.1定义及基本性质2022/12/2§6.2整环、除环和域

(4)

6.2.3除环、域

设<A,,*>

是一个含幺环，其单位元是e’，如果A-{e}，并且<A-{e},*>是一个群，则称它为除环，可交换的除环是域。即<A-{e},*>是一个Abel群2022/12/1§6.2整环、除环和域2022/12/2§6.1定义及基本性质

(1)

除环

假设<A,,*>

是一个代数系统，其中，和*都是集合A

上的二元运算，如果满足：（1）<A,>

是交换群（Abel群）；（2）<A-{e},>是群；（3）*对

是可分配的；则称<A,,*>

是一个除环。2022/12/1§6.1定义及基本性质2022/12/2§6.1定义及基本性质

(1)

域

假设<A,,*>

是一个代数系统，其中，和*都是集合A

上的二元运算，如果满足：（1）<A,>

是交换群（Abel群）；（2）<A-{e},>也是交换群（Abel群）；（3）*对

是可分配的；则称<A,,*>

是一个域。2022/12/1§6.1定义及基本性质2022/12/2§6.2整环、除环和域

(5)

6.2.3除环、域域一定是整环，但整环不一定是域。有限整环必为域。

假设

<A,,*>是一个无零因子的有限环，并且|A|2，则<A,,*>一定是除环。2022/12/1§6.2整环、除环和域2022/12/2数学的基本结构序结构：数的大小，次序拓扑结构：平面几何，立体几何（欧氏空间）代数结构：群2022/12/1数学的基本结构序结构：数的大小，次序2022/12/2Chapter4AlgebraSystem2022/12/1Chapter4Algebra2022/12/2§4.1代数系统的引入

(1)

一个代数系统需要满足下面三个条件：（1）有一个非空集合S；（2）有一些建立在S上的运算；（3）这些运算在集合S上是封闭的。2022/12/1§4.1代数系统的引入2022/12/2§4.2运算

(1)

4.2.1运算的概念定义

假设A是一个集合，AA到A的映射称为A上的二元运算。一般地，An到A的映射称为A上的n元