椭圆的几何性质课件

椭圆的定义:平面内到两定点

距离之和(2a)大于定长(2c)的

点的轨迹.(2a>2c)2椭圆的标准方程椭圆的定义:平面内到两定点

距离之和(2a)大于定长(2c)1通过研究曲线的方程,可以知道曲线的性质.下面我们就以椭圆的标准方程为例研究椭圆的几何性质.问题1:你能找出上述方程中x、y的取值范围吗?由上式知所以

探索新知通过研究曲线的方程,可以知道曲线的性质.下面我们就以椭圆的2一、椭圆的范围oxy由即说明：椭圆位于直线X=±a和y=±b所围成的矩形之中。一、椭圆的范围oxy由即说明：椭圆位于直线3123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12344问题2

以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗?同时以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗?问题3

若点P(x,y)在椭圆上,点(-x,y)与椭圆有什么关系?点(x,-y)与椭圆有什么关系?点(-x,-y)与椭圆又有什么关系?问题4

这说明椭圆具备什么性质呢?想一想?二、对称性问题2以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗?问题352.椭圆的对称性椭圆关于x轴对称；椭圆关于y轴对称；椭圆关于原点对称；椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

oxy坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.2.椭圆的对称性椭圆关于x轴对称；椭圆的对称中心叫做椭圆的中6椭圆是轴对称图象，也是中心对称图形。X轴和Y轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心。椭圆是轴对称图象，也是中心对称图形。X轴和Y轴是它的对称轴，7结论

通过上面的分析,我们得到判断曲线是否对称的方法:以-x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称;若以-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称;同时以-x代换x,以-y代换y,方程不变,则方程关于坐标原点对称.结论通过上面的分析,我们得到判断曲线是否对称的方法:以-8

在下列方程所表示的曲线中,关于X轴和Y轴都对称的是()A.x2=4yB.x2+2xy+y=0C.x2-4y2=5xD.9x2+y2=4看一看D在下列方程所表示的曲线中,关于X轴和Y轴都9三、顶点如图,设椭圆的方程为同学们计算一下椭圆与坐标轴的交点坐标.答案:A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)线段A1A2叫做椭圆的长轴线段B1B2叫做椭圆的短轴在椭圆的标准方程中,椭圆与坐标轴的交点叫椭圆的顶点A1A2B2B1XyO三、顶点答案:A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-10A1A2B2B1F2F1OXyB2F2=aOF2=COB2=b

直角三角形OB2F2,它反应了椭圆三个基本量之间的关系,所以叫做椭圆的特征三角形.A1A2B2B1F2F1OXyB2F2=aOF2=C11

同学们看下面这些椭圆,它们的扁圆程度不同,我们能否找一个量来描述它们呢?

问题同学们看下面这些椭圆,它们的扁圆程度12四、椭圆的离心率oxy离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：因为a>c>0，所以1>e>0[2]离心率对椭圆形状的影响：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆3）特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为圆四、椭圆的离心率oxy离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做13叫做椭圆的离心率.所以：e的取值范围:0<e<1通过上面的研究,我们得到了椭圆的一些几何性质,列一个表:因为a>c>0，１椭圆更扁０椭圆更圆叫做椭圆的离心率.所以：e的取值范围:0<e<1通14椭圆方程范围对称性顶点离心率-aax-bby-aaxb-by对称轴x轴y轴对称中心坐标原点对称轴x轴y轴对称中心坐标原点(±a,0)(0,±b)(0,±a)(±b,0)0<e<1()椭圆的几何性质椭圆方程范围对称性顶点离心率-aax-bby-aaxb-by15小结：基本元素oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2{1}基本量：a、b、c、e、（共四个量）{2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）{3}基本线：对称轴（共两条线）请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系（位置、数量之间的关系）小结：基本元素oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A216例题1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并画出它的图形.解:把方程化为标准方程所以a=5,b=4c=例题1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心17所以,焦点坐标为(-3,0),(3,0)顶点坐标为(-5,0)(5,0)(0,4)(0,-4)2a=10,2b=8注意:强调长轴=2a短轴=2bXYO所以,焦点坐标为(-3,0),(3,0)注意:强调长轴=2a18练习1.已知椭圆方程为6x2+y2=6它的长轴长是：

;短轴长是：

;焦距是：

;离心率等于：

;焦点坐标是：

;顶点坐标是：

;

外切矩形的面积等于：

。

2我学会了！解题步骤：1、由椭圆方程化为椭圆标准方程：求a、b.2、确定焦点的位置和长轴的位置.练习1.已知椭圆方程为6x2+y2=6它的长轴长是：19例2

求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点(-3,0)、(0,-2);(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6例2求符合下列条件的椭圆的标准方程:20例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)c=3,e=,焦点在x轴上；

(2)长轴长等于20，离心率等于或例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：或21练:求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）长轴是短轴的3倍，经过点P（3，0）（2）与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为练:求适合下列条件的椭圆的标准方程22椭圆的几何性质课件23例2:求下列适合条件的椭圆的离心率

(1)椭圆的一个焦点将长轴分成3:2两段；例2:求下列适合条件的椭圆的离心率24例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在x轴上，a=6，；(2)焦点在x轴上，c=6，.题型一、椭圆的几何性质的简单应用例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:题型一、椭圆的几何性质25例3.已知椭圆的离心率,,求m的值.题型二、求椭圆的离心率例3.已知椭圆题型二、求椭圆的离心率26练习:已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆的中心）时，求椭圆的离心率.题型二、求椭圆的离心率练习:已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶27题型二、求椭圆的离心率练习（2005.全国Ⅲ)

设椭圆的两个焦点为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于交点P,若ΔF1PF2为等腰三角形,则椭圆的离心率为题型二、求椭圆的离心率练习（2005.全国Ⅲ)28练习练习29我们来总结一下椭圆的几何性质1范围2对称性3顶点4离心率一、二、性质的简单应用三、曲线对称性的判定方法归纳小结我们来总结一下椭圆的几何性质1范围2对称性3顶点4离30椭圆的简单几何性质（4）椭圆的简单几何性质（4）31求轨迹方程的一般步骤圆的参数方程及参数的几何意义一、复习引入：求轨迹方程的一般步骤一、复习引入：32问题:与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.二、讲授新课：问题:与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.二、讲授新课33练习1：将下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程:练习1：34例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)为半径作两个大圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。例1、如图,以原点为圆心,分别以a、b(a>b>35解:解:36问题:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?名称方程各元素的几何意义圆椭圆问题:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?名称方程各元素的37例2、如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.XYlOP例2、如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直381、练习2：1、练习2：391、椭圆课后作业：1、椭圆课后作业：40椭圆的定义:平面内到两定点

距离之和(2a)大于定长(2c)的

点的轨迹.(2a>2c)2椭圆的标准方程椭圆的定义:平面内到两定点

距离之和(2a)大于定长(2c)41通过研究曲线的方程,可以知道曲线的性质.下面我们就以椭圆的标准方程为例研究椭圆的几何性质.问题1:你能找出上述方程中x、y的取值范围吗?由上式知所以

探索新知通过研究曲线的方程,可以知道曲线的性质.下面我们就以椭圆的42一、椭圆的范围oxy由即说明：椭圆位于直线X=±a和y=±b所围成的矩形之中。一、椭圆的范围oxy由即说明：椭圆位于直线43123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y123444问题2

以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗?同时以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗?问题3

若点P(x,y)在椭圆上,点(-x,y)与椭圆有什么关系?点(x,-y)与椭圆有什么关系?点(-x,-y)与椭圆又有什么关系?问题4

这说明椭圆具备什么性质呢?想一想?二、对称性问题2以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗?问题3452.椭圆的对称性椭圆关于x轴对称；椭圆关于y轴对称；椭圆关于原点对称；椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

oxy坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.2.椭圆的对称性椭圆关于x轴对称；椭圆的对称中心叫做椭圆的中46椭圆是轴对称图象，也是中心对称图形。X轴和Y轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心。椭圆是轴对称图象，也是中心对称图形。X轴和Y轴是它的对称轴，47结论

通过上面的分析,我们得到判断曲线是否对称的方法:以-x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称;若以-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称;同时以-x代换x,以-y代换y,方程不变,则方程关于坐标原点对称.结论通过上面的分析,我们得到判断曲线是否对称的方法:以-48

在下列方程所表示的曲线中,关于X轴和Y轴都对称的是()A.x2=4yB.x2+2xy+y=0C.x2-4y2=5xD.9x2+y2=4看一看D在下列方程所表示的曲线中,关于X轴和Y轴都49三、顶点如图,设椭圆的方程为同学们计算一下椭圆与坐标轴的交点坐标.答案:A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)线段A1A2叫做椭圆的长轴线段B1B2叫做椭圆的短轴在椭圆的标准方程中,椭圆与坐标轴的交点叫椭圆的顶点A1A2B2B1XyO三、顶点答案:A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-50A1A2B2B1F2F1OXyB2F2=aOF2=COB2=b

直角三角形OB2F2,它反应了椭圆三个基本量之间的关系,所以叫做椭圆的特征三角形.A1A2B2B1F2F1OXyB2F2=aOF2=C51

同学们看下面这些椭圆,它们的扁圆程度不同,我们能否找一个量来描述它们呢?

问题同学们看下面这些椭圆,它们的扁圆程度52四、椭圆的离心率oxy离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：因为a>c>0，所以1>e>0[2]离心率对椭圆形状的影响：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆3）特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为圆四、椭圆的离心率oxy离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做53叫做椭圆的离心率.所以：e的取值范围:0<e<1通过上面的研究,我们得到了椭圆的一些几何性质,列一个表:因为a>c>0，１椭圆更扁０椭圆更圆叫做椭圆的离心率.所以：e的取值范围:0<e<1通54椭圆方程范围对称性顶点离心率-aax-bby-aaxb-by对称轴x轴y轴对称中心坐标原点对称轴x轴y轴对称中心坐标原点(±a,0)(0,±b)(0,±a)(±b,0)0<e<1()椭圆的几何性质椭圆方程范围对称性顶点离心率-aax-bby-aaxb-by55小结：基本元素oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2{1}基本量：a、b、c、e、（共四个量）{2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）{3}基本线：对称轴（共两条线）请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系（位置、数量之间的关系）小结：基本元素oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A256例题1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并画出它的图形.解:把方程化为标准方程所以a=5,b=4c=例题1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心57所以,焦点坐标为(-3,0),(3,0)顶点坐标为(-5,0)(5,0)(0,4)(0,-4)2a=10,2b=8注意:强调长轴=2a短轴=2bXYO所以,焦点坐标为(-3,0),(3,0)注意:强调长轴=2a58练习1.已知椭圆方程为6x2+y2=6它的长轴长是：

;短轴长是：

;焦距是：

;离心率等于：

;焦点坐标是：

;顶点坐标是：

;

外切矩形的面积等于：

。

2我学会了！解题步骤：1、由椭圆方程化为椭圆标准方程：求a、b.2、确定焦点的位置和长轴的位置.练习1.已知椭圆方程为6x2+y2=6它的长轴长是：59例2

求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点(-3,0)、(0,-2);(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6例2求符合下列条件的椭圆的标准方程:60例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)c=3,e=,焦点在x轴上；

(2)长轴长等于20，离心率等于或例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：或61练:求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）长轴是短轴的3倍，经过点P（3，0）（2）与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为练:求适合下列条件的椭圆的标准方程62椭圆的几何性质课件63例2:求下列适合条件的椭圆的离心率

(1)椭圆的一个焦点将长轴分成3:2两段；例2:求下列适合条件的椭圆的离心率64例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在x轴上，a=6，；(2)焦点在x轴上，c=6，.题型一、椭圆的几何性质的简单应用例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:题型一、椭圆的几何性质65例3.已知椭圆的离心率,,求m的值.题型二、求椭圆的离心率例3.已知椭圆题型二、求椭圆的离心率66练习:已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P