信号分析复习题

一、填空题描述周期信号的数学工具是（傅氏级数，描述非周期信号的数学工具是（傅氏变换。复杂的信号的周期频谱是（离散的。如果一个信号的频谱是离散的。则该信号的频率成分是（可能是有限的，也可能是无限的。多种信号之和的频谱是（随机性的。连续非周期信号的频谱是（连续非周期的。时域信号，当持续时间延长时，则频域中的高频成分（减少。将时域信号进行时移，则频域信号将会（仅有移项。x(t)12sin tt)为单位脉冲函数，则积分

x(t)(t 2

)dt 的函数值为12。如果信号分析设备的通频带比磁带记录下的信号频带窄，将磁带记录仪的重放速度（放慢以满足分析要求。如果(t)1，根据傅氏变换的（时移）性质，则有(tt ) ej0。0瞬变信号（t，其频谱XfX（）∣²表示（信号沿频率轴的能量分布密度。不能用确定函数关系描述的信号是（随机信号。x1

(t)和x2

(t)

x(t)x1

t)d称为这两个函数的（卷积。时域信号的时间尺度压缩时，其频谱的变化为（频带变宽、幅值压低。t信号x(t)1e

数字信号的特性是（时间、幅值上均离散。信号可分为（确定信号）（随机信号）两大类。确定性信号可分为（周期信号）和（非周期信号）两类，前者的频谱特点是（离散的特点是（连续的。信号的有效值又称为（均方根值，有效值的平方称为（均方值，它描述测试信号的强度（均功率。0绘制周期信号（t（（0

,a,b,An n n等），而双边频谱图的依据数学表达式是（傅氏复指数级数中的各项系数（cc ,c 。n, n n周期信号的傅氏三角级数中的n到展开的。傅氏复指数级数中的n到∞）展开的。an

（余弦分量的幅值bn

（正弦分量的幅值；a表示（直流分量；A0

表示n次谐波分量的幅值；

表示n次谐波分量的相位角；n

表示（n0次谐波分量的角频率。工程中常见的周期信号，其谐波分量幅值总是随谐波次数n的增加而（衰减）那些高次的谐波分量。信号的收敛速度上，方波信号比三角波信号（更慢信号对测试装置的要求有更宽的（工作频带。信号当时间尺度在压缩时，则其频带（展宽）其幅值（降低。例如将磁带记录仪（慢录快放）即是例证。单位脉冲函数的频谱为1，它在所有频段上都是（等强度，这种信号又称（白噪声。余弦函数只有（实频）谱图，正弦函数只有（虚频）谱图。因为limTx2(t)dt 为有限值时，称为（能量有限）信号。因此，瞬变信号属于（能量有限，而T T周期信号则属于（功率有限。计算积分值：

(t 5)

tdt （e5。x1

(t)和x2

的卷积定义式是（

x(t)x1

(t)d。连续信号t）与单位脉冲函数进行卷积其结果是（xtt)。其几何意义是（把原函数图象右0位置处。不失真测试条件中，要求幅频特性为（常数，而相频特性为（线性。输出信号与输入信号的相位差随频率变化的关系就是（相频特性。测试装置的脉冲响应函数与它的频率响应函数间的关系是（傅氏变换对。两个正弦信号间存在下列关系：同频（一定）相关，不同频（一定不）相关。自相关函数是一个（偶）函数。如果一信号的自相关函数R ()呈现一定周期的不衰减，则说明该信号（含有周期分量。x正弦信号的自相关函数是（同频余弦信号，余弦函数的自相关函数是（同频余弦信号。经测得某信号的相关函数为一余弦曲线，则其必定是正弦信号的（自相关函数。对连续信号进行采样时，采样频率越高，当保持信号的记录的时间不变时，则（采样点数就越多。把连续时间信号进行离散化时产生混叠的主要原因是（采样间隔太宽。若有用信号的强度、信噪比越大，则噪声的强度（越小。A/D（模拟信号）信号转换成（数字信号）信号的装置。两个同频方波的互相关函数曲线是（三角波。已知x（t）y（t）为两个周期信号，T为共同的周期，其互相关函数的表达式为（1 T 0

x(t)y(tdt 。两个不同频率的简谐信号（正，余，其互相关函数为（零。数字信号处理中，采样频率f 与限带信号最高频率f 间的关系应为（f 2 f 。xs h xx(t)x

sin(t的自相关函数为（0

cos 。f(t)

0eat 当t

2的自相关函数为

1 。 e0 当t 2已知信号的自相关函数为3cos ，则该信号的均方根值为6。两个同频正弦信号的互相关函数是（保留二信号的幅值、频率、相位差信息。信号的自功率频谱密度函数是S (f)的自相关函数R)的傅氏变换信号x xxy和y（t）的互谱S (f)是（互相关函数R ()的傅氏变换。xyxy在相关分析中，自相关函数，保留了原信号的（幅值与频率）信息，丢失了（相位）（幅值、频率、相位差）信息。自相关函数是一个周期函数，则原信号是一个（同频率的周期信号；而自相关函数号时，则原信号将是（带宽随机噪声或白噪声。相关分析在工业中的主要应用有（同频检测（相关滤波）和（信号成分类别的识别）等应用。在同频检测技术中，两信号的频率的相关关系可用（同频一定相关；相关一定同频）来进行概括。抗混滤波器是一种（低通）滤波器，是为了防止（混叠，其上截止频率与采样频率之间的关系应满足关系式为（fs

2 f 。c频率混叠是由于（采样频率过低）引起的，泄漏则是由于（信号截断）引起的。100，为了避免发生混叠，时域中采样间隔应小于。x当=0时，信号的自相关函数值为（最大值，它也等于信号）的（均方值。x自相关函数能将淹没在噪声中的（周期）信号提取出来，其（频率）保持不变，而丢失了（相位）息。采样定理的目的是为了避免信号在频域内发生混叠现象，混叠发生在频率处。巴塞伐尔说明了信号在时域中计算的总能量等于在频域中计算的总能量，其数学表达式为（

x2(t)dt

Z(f

2df 。对周期信号进行（整周期）截断，这是获得准确频谱的先决条件。信号经截断后，其带宽将变为（无限宽，因此无论采样频率多高，将不可避免地发生（混叠）致（误差。二、计算题一时间函数t及其频谱函数（ω如图1-2所示已知函数 ，示意画出x（t）和X（ω）的函数图形。当f（t）中的最高频率分量的角频率）

时，X（ω）的图形会出现什么情况？（ 为解：图（a）为调幅信号波形图，图（b）为调幅信号频谱图。当发生混叠，导致失真。

时，两边图形将在中间位置处bb1-4bb解：所示调幅波是三角波与载波cos

t的乘积。两个函数在时域中的乘积，对应其在频域中的卷积。0 f由于三角波频谱为： sin c2( )21ff2

2)(ff)]0卷积为

fsinc2(

)1(f

)(ff)]2 2 2 0 0 [sinc2

(ff0

) (ff)sinc2 0]4 2 2判断下列每个信号是否是周期的，如果是周期的，确定其最小周期。（1）f(t)[cos(2t)]u(t) （2）f(t)sintsin t0 0（1）,)区间上的，而ft)[costut)是单边余弦信号，即t>012（2）是非周期信号，因为两分量的频率比为2

，非有理数，两分量找不到共同的重复周期。但是该类信号仍具有离散频谱的特点（0

和 0

处分别有两条仆线）故称为准周期信号。从示波器光屏中测得正弦波图形的“起点”坐标为0-1，振幅为，周期为π，达式。解：已知幅值X=2，频率

0.5，而在t=0时，x=-1，则将上述参数代入一般表达式0 T x(t)Xsin(t)0得12sin(0.5t

0)，0

30ox(t2sin(0.5t30o)设有一组合复杂信号，由频率分别为724Hz，44Hz号的周期。解：合成信号的频率是各组成信号频率的最大公约数则：44,724,500,44,724,500,600222 而 T1

10.25(s)，所以该信号的周期为0.25s。f 4求下图所示锯齿波信号的傅立叶级数展开式。f(t)f(t)t解：锯齿波信号表达式为（一周期内）2由公式得0 Ta1 T f(t)dt20 T T2 1Ttdt1T 0T 2 2n T

T t cosn0T

tdt 002Ttsinntdt 1n T 0T 0 n所以f(t1

1(sin

t1sin2

t1sin

tL

sint)式中0

2 2T

0 2 0 3 0 n 0周期性三角波信号如下图所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。解：先把信号展开为傅立叶级数三角形式为1 T2T T2

f2(t)dtE232[10

E2

t)2dt1 E2(12t)dt]2T12T2 2 2T T2

T T 0 T3E0.577E3f(t)E4E(cost1cos3t1cos5tL)2 2 1 32显然，信号的直流分量为a E0 2

1 5 112基波分量有效值为2

4E

0.287E2信号的有效值为[1

T 12 f2(t)dt]2T T2[10

E2

t)2dt1 E2(12t)dt]2T12T2 2 2T T2

T T 0 T3E0.577E31 T E2信号的平均功率为2

f2(t)dtT T 32周期矩形脉冲信号的波形如下图所示，并且已知中的谱线间隔（）

21061 T 1061或 ff1

1T1

1106

1000(kHz)信号带宽

B()2

0.5106

4106或 B(f)

1 1 2000(kHz) 0.5106f(tcost解：因为

，试求其频谱F（ω） 1 j 1

jcost

e3ej2

e 3ej4t2利用频移性质可得F(ej4t)2(4)F(ej4t)2( Fcost

ej34)ej34)求下图所示三角脉冲信号的频谱。三角脉冲的分段函数表示为2A (t )

t2 2A x(t (t ) t 2 2 当t 2 解：三角脉冲x（t）可以看成两个等宽矩形脉冲x1

和x2

的卷积。如下图所示。 因为Xf

fsinc( )1Xf2

2 2 2A f2 sinc( 2 )根据时域两函数的卷积对应频域函数的乘积：XfX1

fX2

fx(t)x(t)x1 2

(t)XfAsinc2(f

XfA

fsinc2( )2 2 2 2 x求余弦信号x(t)Xcost的绝对值 x和均方根值rms。解：绝对均值为x

1T x(t)T 0 1

Xcostdt2

4 XcostdtTT 0 T TTT4TT4T 2X

sint

2X0.636X均方根值为

xrms

T 42x2x

1TT 01T 0

x2(t)dt(Xcos t)2dt

X2T 0

cos

2tdt X2

T1

(1cos 2t)dt X2所以 x rms

T 0 2 2X2 0.707 X2已知某信号的自相关函数Rx功率谱S (f) 。x

)100cos1001该信号的均值

x（均方值2 ；xx（）由于R)100cos100为周期不衰减的函数，则原信号x(t)应为同频率的正弦信号，即xx(t)Asin100t。根据信号均值的定义得 1x T 0

Asin100 tdt 0（2）根据自相关函数的性质可知R (0) 2x x所以2Rx

(0) 100cos(100 t0)100（1）自相关函数与自谱是一对傅立叶变换对关系，并且F(cos2f

t)1[(ffo 2

)(ffo

)]式中：f 50oS(f)F[R)]x x F[100cos100]64 2 ff64 2已知某信号的自相关函数为

()x

sin(50 2，试求该信号的均方值

rms。x解：因为2xx

R (0)x并且2R)642x

sin(50 2) 6400

sin(50 2)50 250 2sin(50 2)50 250 2x

R(0)lim64006400x 06400

64002xx 2xrms

80已知某信号的自相关函数为Rx数。解：根据自谱定义：

()

1e2a cos24

a0)，求它的自功率谱密度函oS (f)x

R

()ej2fd 1e2a

ej2fd4 1

e(2aj2f)d

1e(2aj2f)d4 4 0 1( 1

1 ) a4 2aj2f 2aj2f 4a2(2f)2测得某信号的自相关函数图形如下所示，试分析该图形是R) 图形还是R )图形？为什么？x xy从中可获得该信号的那些信息？解：由相关分析可知，自相关函R)是一个偶函数，它在R(0)有最大值；互相关函数R )是非x x xyxy偶函数它在R (0)也不一定为最大。因为图中图形为非偶函数图形，且R(0)最大，所以，该图形是xyxy互相关函数R )的图形。由图中还可获知，信号x(t)与y(t)是两个同频的周期信号，圆频率为ω；xyx均值为零。对应的信号幅值为o

,yo，两信号相位差φ。用公式表示为ox yo

o A 2T1 21T下图所示两信号x和y，求当τ=0时，x和y的互相关函数值R (0)。并说明理由。xyy的傅立叶级数展开式为x(t)4(sint1sin

t1sin

tL) 0 3

0 5 0仅有基频分量的频率ox的频率一致。根据同频相关，不同频不相关的原则，在互相关函数中将仅存基频

4sin

tx(tcos

t间存在有90°的相位差。所以o 0 0互相关函数的表达式如下：xyR ) 0 0cos(900)xy 2当τ=0时，它们的互相关函数值为零，即R (0) 0xyxx(t)A

cos(t

)

cos(

t

)，求该信号的自相关函数R

()。1 1 1 2 2 2 x解：设x(t) y(t)z(t)y(t)A1

cos(

t)1 1z(t)A2

cos(

t )2 2x的自相关函数可表示为R)Rx

()Ryz

()Rzy

()Rz

()因为1

则2R )0;Rzy

()0所以R()Rx

)Rz

()1A2cos12 1

A cos22 22xy(t)x(tTx互相关函数R )之间的关系。xyy(tx(tT)x(ty(tT)根据定义：

R )与其xR)lim 1 T x(t)x(t)dtx T2T T

1

x(t)y(tT)dtT2T T R T)xy所以 R )R T)x xyx(ty(tx(t波形相同，并且输入的自相关函数R)和输-输出的互相关函数的关系式为R)R T)如下图所示，试说明该系统起什么作用？x x xyy(tx(t的波形形状相同，可设y(t)Ax(tT)0式中，A,T0

为常数。则有R()lim

1

x(t)x(t)dtx T