2023年江苏省普通高等学校招生全国统一考试全真模拟数学试题及答案

2023年江苏省普通高等学校招生全国统一考试全真模拟数学（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．2．已知复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．3．某班有60名同学，一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则本班在100分以上的人数约为（

）A．6 B．12 C．18 D．244．在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，AP=3，则（

）A．3 B．6 C．12 D．185．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（）A． B．C． D．6．某校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案的种数是（

）A．240 B．360 C．540 D．6007．已知数列满足，，且，则（

）A． B． C． D．8．已知函数是奇函数的导函数，，当x>0时，，则使成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。9．已知为正实数，且，则（

）A．的最大值为8 B．的最小值为8C．的最小值为 D．的最小值为10．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（

）A． B． C． D．△的面积为11．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为，弦的中点为C，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（

）A．点 B．轴 C． D．12．已知正方体的棱长为2，M为的中点，平面过点且与垂直，则（

）A． B．平面C．平面平面 D．平面截正方体所得的截面面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．实数的值为___________．14．某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是_________________（用数字作答）.15．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为________16．若，则______.四、解答题：本题共6小题，共70分。17．设数列的前项和为，若对于任意的正整数都有.（1）求数列的通项公式.（2）求数列的前项和.18．在中，，，直线，的斜率之积为．(1)求顶点的轨迹方程；(2)若，求面积大小．19．在中，，AC，AB边上的中线长之和等于9．（1）求重心M的轨迹方程；（2）求顶点A的轨迹方程.20．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断你是否有95％以上的把握认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女合计（参考公式，其中.）0.0500.0100.0013.8416.63510.828(2)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．21．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，．（1）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面．（2）当，二面角的大小为时，求PN的长．22．已知函数.(1)当时，判断在区间上的单调性；(2)当时，若，且的极值在处取得，证明：.2023年江苏省普通高等学校招生全国统一考试全真模拟数学·参考答案1．C【分析】解不等式，求出的范围，即可得到集合，求出函数的值域，即可得到集合，进而求出集合的并集即可.【详解】由，可得，根据对数函数的单调性，可得，解得或，所以集合.对于集合，令，则，所以，即集合.所以.故选：C.2．A【分析】根据复数的运算，求得，结合复数的概念，即可求解.【详解】因为复数，可得，其虚部为.故选：A．3．B【分析】根据正态曲线的性质求出，即可估计人数；【详解】解：因为，所以本班在100分以上的人数约为.故选：B4．D【分析】由平面向量的线性运算可得，再由向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算即可得解.【详解】解：设AC与BD相交于点O，则，，，，PB与BD共线，，故选：D.5．A【分析】根据函数的奇偶性得到AC其中一个是正确的，再代入特殊点x=0得到答案.【详解】函数f（x）=2|x|﹣x2,故函数为偶函数，排除选项B，D，再代入特殊点x=0得到函数值为1，故排除C选项，得到A正确.故答案为A.【点睛】这个题目考查了已知函数解析式选择函数图像的问题，一般先由函数解析式得到函数的定义域，进行选项的排除，之后可以考虑函数的对称性，值域等进行排除，也可以代入函数的特殊点，考虑函数的极限进行排除，进而得到函数的解析式.6．D【分析】先从8名教师中选出4名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把四名老师分配去4个边远地区支教，四名教师进行全排列即可，最后两步方法数相乘即可．【详解】解：依题意，分两步，第一步，先选四名老师，又分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有种不同选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有种不同选法，不同的选法有种；第二步，四名老师去个边远地区支教，有种方法；最后，两步方法数相乘，可得一共有种方法.故选：D.7．C【分析】利用递推关系即求.【详解】依题意有，则，由此得，，，．故选：C．8．B【分析】设，由导数结合条件得出单调性，再得出偶性，得出的函数值的符号情况，从而得出答案.【详解】设，则当时，，即在上单调递增.由于是奇函数，所以,是偶函数，所以在上单调递减.所以，所以当或时，；当或时，.所以当或时，.故选：B.9．ABD【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可【详解】解：因为，当且仅当时取等号，结合，解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；由得，所以，当且仅当即时取等号，此时取得最小值8，B正确；，当且仅当时取等号，此时取得最小值，C错误；，当且仅当即时取等号，此时取得最小值，D正确；故选：ABD10．BCD【分析】选项A由抛物线的定义可得可判断；选项B将点坐标代入抛物线方程可判断；当时，直线的方程为：，可求出，从而可得，由，同理可得时的情况，从而可判断C，D.【详解】选项A.由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.选项B.所以，，抛物线方程为将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确选项C.当时，则，则直线的方程为：则，得，解得或所以，则，同理当时，可得，所以C正确.选项D.由上可知当时，同理当时，，所以D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，过焦点的弦的性质，解答本题的关键是由抛物线的定义可得，解得的值，由求解面积，属于中档题.11．BCD【分析】设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理结合导数逐项计算后可得正确的选项.【详解】由消y可得令，，，解得，，A错．，∴轴，B对．，∴，D对．，∴，C对，故选：BCD．12．ABD【分析】分析出面，可判断选项A；取AD的中点，由平面几何知识可知，，从而判断出面，即平面截正方体所得的截面为梯形，从而可判断剩余的三个选项.【详解】连接，则，又因为，,所以面，又因为面，所以，故选项A正确；取AD的中点，的中点，连接，，，，,在正方形中，由平面几何知识可知，，又因为，，所以面，所以,又因为，所以，又因为,所以面，即平面截正方体所得的截面为梯形，所以显然平面，选项B正确；平面与平面不平行，选项C错误；在梯形中，，，,所以梯形的高为，所以梯形的面积为，即平面截正方体所得的截面面积为，故选项D正确.故选：ABD.13．20【分析】把27写成，对数式的真数写为，然后运用指数式和对数式的运算性质化简求值．【详解】．故答案为：20．14．【详解】先安排周一和周五的两人，有种方法，然后再安排中间三天剩下的那天的人值日，有周一和周五两天选择，最后安排最后两个人，有种方法，所以共有种方法.15．【解析】是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集；构造函数，利用导数可得函数的单调性，结合及函数的奇偶性即可求得不等式的解集．【详解】解：由题意，令，时，．在递增，，，则是奇函数，且在递增，又，当时，，当时，；根据函数的奇偶性，可得当时，，当时，．不等式的解集为或．故答案为：．【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，构造函数是关键，属于中档题．16．【分析】利用余弦的二倍角公式，然后结合角的范围即可得出答案.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：.17．（1）；（2）【分析】（1）利用an+1＝Sn+1﹣Sn即可得到an+1＝2an+3，转化为an+1+3＝2（an+3），利用等比数列的通项公式即可得出其通项；（2）由，利用错位相减法求的和即可求解【详解】（1）∵，∴两式相减，得∴，即，∴，即对一切正整数都成立.由已知得即，∴∴首项，公比.∴（2）∵，∴，，，∴.【点睛】本题综合考查了递推关系求等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、“分组求和”、等差数列求和，准确计算是关键，属于中档题．18．(1)，；(2).【分析】（1）设出点坐标，利用直线，的斜率乘积列方程，化简求得的轨迹方程.（2）由及确定点A的轨迹与（1）的轨迹结合，求出点A的纵坐标的绝对值即可计算作答．【详解】（1）设，则直线AB的斜率，直线AC的斜率，，依题意有，化简得，，所以顶点的轨迹方程为得，.（2）因，，则点A的轨迹是以线段BC为弦，所含圆周角为的两段圆弧（除端点外），圆弧所在圆的圆心在线段BC的中垂线上，即y轴上，半径，由对称性不妨令圆心在y轴正半轴上，设为，则有，解得，因此点A的轨迹方程为，而点A在双曲线上，由消去x得：，而，解得，因此，所以面积为.19．（1）1（y≠0）；（2）1（y≠0）【分析】（1）由已知得△ABC重心M在以B、C为两个焦点的椭圆，由此能求出△ABC重心M的轨迹方程．（2）利用代入法，即可求顶点A的轨迹方程．【详解】（1）如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知|BM||BD|，|CM||CE|，于是|MB|+|MC||BD||CE|＝6根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆．2a＝6，2c＝4，∴a＝3，b，故所求的椭圆方程为1（y≠0）（2）设A（x，y），则M（x，），代入1（y≠0），可得出顶点A的轨迹方程为1（y≠0）【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查代入法，解题时要认真审题，注意椭圆定义的合理运用．20．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；(2).【分析】（1）根据给定的频率分布直方图求出“体育迷”人数，完善列联表，再计算的观测值即可作答.（2）由频率分布直方图求出“超级体育迷”人数，再用列举法结合古典概率计算作答.（1）由频率分布直方图得：“体育迷”共计名，其中女性名，则非体育迷有名，其中女性有名，所以列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100的观测值为，所以没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，“超级体育迷”人数为人，其中3名男性记为，2名女性记为，任意选2人的所有结果为：，，，，，，，，，，共10个，其中至少有1人是女性的事件所含结果为：，，，，，，，共7个，所以至少有1名女性观众的概率.21．（1）详见解析；（2）.【分析】（1）易证平面PAB，得到，，平面PBC，平面PBC，得到，再结合四边形ABCD为正方形，利用平面的基本性质证明；（2）以A为原点，分别以AB，AD,AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面AND的一个法向量为，平面ANC的一个法向量为，，根据二面角的大小为，由求解.【详解】（1）因为平面ABCD，所以，又因为，所以平面PAB，所以，又因为，平面PBC，平面PBC，所以，又因为四边形ABCD为正方形，所以，所以，所以当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面．（2）以A为原点，分别以AB，AD,AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设平面AND的一个法向量为，设平面ANC的一个法向量为，设，因为，则，又，则，即，令，得，又，则，即，令，得，因为二面角的大小为，所以，解得，因为，所以.22．(1)