压轴题四：相似三角形的分类讨论问题

育才实验学校九年级数学压轴题库(四)相似三角形的分类讨论例1如图10-5,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：(1)经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的1?(2)是否存在时刻看，使以A,M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.例2如图，在平面直角坐标系中，点C(—3,0),点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足tOB2-3+|OA-1|=0.(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连结AP,设△ABP的面积为S,点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式；(3)在(2)的条件下，是否存在点P,使以点A,B,P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.例3已知在平面直角坐标系中，点C在y轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点D,E,且同二同，点P是。C上一动点(点P与点A,B不重合)连BP,AP(1)求NBPA的度数;(2)若过点P的。C的切线交x轴于点G,是否存在点P,使4ABP与以A,G,P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。例4如图1,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8.⑴求此抛物线的解析式;(2)如图2,若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R.①求证：PB=PS；②判断4SBR的形状;③试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由.例5如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点0(0,0)八(4,0)用(5,5),点C是y轴负半轴上一点，直线l经过B,C两点，且tan/OCB=|(1)求抛物线的解析式；(2)求直线l的解析式；(3)过0,B两点作直线，如果P是直线0B上的一个动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交抛物线于点Q。问：是否存在点P，使得以P,Q,B为顶点的三角形与40BC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。育才实验学校九年级数学压轴题库（四）答案解：（1）设经过x秒r三AMN的面积等于矩形ABCD面积的1,9由导DN=2xrAN=6-2xrAM=xr1.1^^AK口中AE=3rBC=61，二AD=BO6PCD=AB=3F从而侬ABCD的面枳为AE-AD=三乂6=18r-AMN的面积=1工况.工施=L46-32期二3工一/『2 2可得方程r解得：X1=A,X2=2r所以，经过做或2秒r三AMN的面积等于矩形ABCD面积的1;9(2)由题意得DN=2t,AN=6-2trAM=tr则有..ADCDr=-ANAM 6-2工x■导：x=L5;^^MNA-MOD(e-ADCDnn63则有 二 .「即—= AMJ\Nx6-2x解导：x=2.41所以।当t=L5秒或24眇时,以A、皿N为顶点的三角形与-ACD相俱[1)[1)..^OB2-3+\OA-\\=0-.OB2-3=0f0A-\=0.OB=V5,OA=1点£,点m分别在工轴,y轴的正半轴上，.'.a11>o)n,V5).t?）由［i）,得M=4,2=肝+t忑丫=2,HC=4+（括:=2也.-.AB2+BC2=2*2折=16=".，△州次直角三角形，ZABC=90a.t慢上打过祚雁_L〃于中.由白仃上1A。外易得雁=2./.5=^^A£C-S&J1PZ=|X4X^-|X4Xi2^-t［o<t<2^）.［说明：不写由范围不扣分）13）存在，满足条件的的有两个.案-3,0）,（2「、gT，与垂\ 3 ,.例3解答：解：⑴根据垂径定理得到弧EE二弧AE.年=［「贝I］弧EU=弧BE的£倍,Alidu斯以劣弧ab的度数是1£口。..".ZBPA=60°o^ZBPA=120o；图L图L图3⑦设存在点F，使△APE与以点hG、F为顶点的三角形相似.①当F在弧EM上时，（图1）GF切DC于点F,，/GF加2FEM及丁/GAP是&ABF的外角，，/GAPA/BFLZGAF>ZFBA.欲使△APE与以点展G、F为顶点的三角形相似，^ZGAF=ZPAB=90",，EF为旧C的直径.在Rt2\FAB中，ZBPA=600，FB=8,nAB=4^3,0k=2^3,F（243,4）

②当F在强E即上时，(图2)在△FAB和AGAf中，丁/FE丸是也GEF的外角，.".ZPBA>ZFGB,只「/FAB二/GAP,欲使△AFE与以点展G、F为顶点的三角形相似，须/AFE=2FGE,，GF切®匚于点F,.".ZGFB=ZPAG.由三角形内角和定理知：ZABF=ZGBF).".ZABP=ZGEP=90°.在Rt2\FAB,ZBPA=60°，FFE,，FB=4,AB=4^，06=243,F(-£万，钉，工存在点F1位正，4八4T向妨使AAFE与以点联G、F为顶点的三角形相似.解答：解：3)方法一：TE点坐标为(0.2)，0B=2,;矩形CDEF面积为E,CF=4.，匚点坐标为「£，2).F点坐标为⑵2)设抛物线的解析式为产型4b*+c.其过三点a(o-1)，c(-2.2)，F(2,2)"l=c得，2=4a-2b+c，^2=4a+2b+c解这个方程组，得&=5，b=0jc=l)4,此抛物线的解析式为y=12+l.但分)方法二：YE点坐标为方法二：YE点坐标为(0.2),丫矩形CDEF面积为8，.".CF=4.・"点坐标为J?，2，根据题意可设抛物线解析式为广-2+c.其过点丸Ml)和C(-2.2)产L2=4a+c解这个方程组，得共裂此抛物线解析式为尸.4②根据①同理可知②根据①同理可知BQ=QR.Z1=Z2,^■.■Z1=Z3,AZ2=Z3,同理2期F=/5行分).■.2Z5+2Z3=180°Z5+Z3=90°0度.「.△SER为直角三角形.鲁分)(2)①证明：如图(2)过点E作BILL器，垂足为II.••.F点在抛物线广上.可设F点坐标为(a,la2+l)4 406=113=2,BlT=-a.4.■■FN=PS-NS=la£-l,4在RtAFHB中.FB2=FN2+BN2=(la2-l)2+a2=(la2+l)24 4.■，FB=FS=-!-a2+l.fB分)4⑤方法一：如图⑶作MLF5,设FS=b,QR=j;由①知咫=FB=b.QR=QB=C!FQ=b+c.FN=b-c.QN2=SR2=(b+c)2-(b-c)2ASR=2jb^.(9分)假设存在点肌且MS=x，则MR=2质-x.若使&FSMS&MEQ,则有三亚三XC即/-£衽最s+bud■■■Ki=K£=Jbc.■,■SR=2jb^■F为士血中点.⑴分)若使AFSMs&q嗣，则有三。;--■2bJbc■■Ji.— ■b+cI——.MR_2njbc-x——_1_c_QB_R0MSK bBPOSb+c点即为原点口.综上斫述，当点吊为士血中点时.△FSMs^meq；当点M为原点时，AFSMcoAMRQ.门3分)方法二：若以F、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似,■.■ZFSM=ZMRQ=90°,.,.有△FSMsAMRQ和△FSMsAQRM两种情况.当AFSMs&M电时.ZSFM=ZRHQ,ZSMF=ZRQM.由直角三角形两根角互余性质.知2FM±+/qMR=90度.，/FMQ=90度.（9分）（10分）取FQ中点为T.连接贝（10分），MN为直角梯形SRQF的中位线，.•.点M郑瞰中点⑴分）.RM=1RM_QR_QBMSRM_QR_QBMS-PS-BP当△FSMsAq剧时,VFS^OE^QR,■,点M为原点口.综上斫述，当点M为S瞰]中点时，APSMcoAMRQ；当点M为原点时，AFSMcoAQRH.（13分）解答：解：门）•.・抛物线^="履+仃经过点（口，

可设抛物线解析式为7==（X-4）,把E（5,5）代入,解潺共1，，抛物线解析式为7=乂工4"加分）0)，(4,0), (2)过点E作ED_L渐于点U.二点B的坐标为（5,5），5-9-D-DB-CCD=9，0C=CD-0D=4.，点C坐标为（0,-4）.△分）设直线工的解析式为广池-4，把E⑸5）代入，得5=5X4,解得蠕.，直线1的解析式为产鼠九（2分）■J⑶当点F在线段口吐（即口<x<5时），TFQ”通，.■■ZBFQ=ZB0C=135]f.当嚣二器时，APBQcoAOBC.这时，抛物线广乂2■龌与直线工的交点就是满足题意的点Q，,7q那公广-4k二二「4,□解得乂-=5（舍去）jx2-f,■■.F-靖，F）；分）"J'J又当卷二案时，&FQBS△口BC.■.■FB=42（5-x），FQ=x-（x2-4x）=5x-x2?0C=4,06=542-.亚后-x）_5*-*二整理得?*，15*+25=0，R解得x『5（舍去）jx2-2，RF■,■F-（nJ]）■分）当点F在点口左侧（即*<0=时），,•■FQ/海，，/EFQ=45。，&BFQ中不可能出现135。的角，这时以F,Q,E为顶点的三角形不可能与△口BC相