2018-2019第二学期 线性代数与空间解析几何试卷A 答案

2018-2019第二学期《线性代数与空间解析几何》试卷A答案一、选择题1.A3Aj列（j=1,2,3）A，则jA2A 3A3 1 2

A=（ ）. B1(A)-6 (B)6 (C)-27 (D)272.(1,k,5)能由向量组1

(1,3,2),2

(2,1,1)线性表示，则k为（ ）.A(A) k(B) k(C)k(D) k3.f(x

,x)(1)x2x2(1)x2，当满足（ ）时，是正定二次型. C

1 2 3

1 2 3(A) (B) (C)1 (D) 1 2 3 2 1 3 4.设A 3 0 ，B ，则（ ）.C 3 0 11 1 (A)0 (B) 26 (C)-26 (D)1要断言矩阵A的秩为r，只需条件（ ）满足即可.DAr0Ar+10A0rA0r若A为n阶方阵，且齐次线性方程组Ax=0有非零解，则它的系数行列式A（）.A(A)(C)1(B)0(D)可取任何值对二次曲面，下列说法不正确的是（ ）. B方程2x23y2z20表示锥面z2x23y2表示椭圆抛物面y2x表示抛物柱面1x2y21z21表示单叶双曲面4 9二、填空题1 0 0 1 2 0 1 2 08.已知A0 1 1，AB0 1 1，则B= . 0 2 2 0 1 2 0 0 0 2 1 1 09.设f(x)x25x4，且A3 3，则f( .(-5)0 1 5 1 210.设

为3阶矩阵1 4 3的特征值，则= .151 2 3

1 2 3 2 3 6 x 2x x 011.若齐次线性方程组1 22 530有非零解，则x x k=7.2 33x2x kx 01 2 312.设Vx,x,xxxx 0,x,x,

则V是 维向量空间.1 2 3 1 2 32

1 2 352113.已知向量 3， 2， ，则 .521二、计算题

4 2 1

114.（本题7分）设A5 3 2，求A* . 3 2 1 1

1AA， ............................（2分）A又.............................（4分）4 2 1 1 A5 3 2 ...............................（7分） 3 2 1 1 1 11 1 1 1（8A：1

，1

，1

，1

，试求出A11 1 1 1 的秩及一个极大线性无关组.解因1 1 1 11 1 1 1

80， .............................（4分）1 1 1 11 1 1 1故1

,,3

线性无关，向量组本身是极大线性无关组，(6分)其秩为4。（8分）xxx 1 2 3（9分）用克莱姆法则求解线性方程组x

2x

0，1 2 33x5xx 3.1 2 3解方程组的系数行列式1 1 1D1 2 12

...............（3分）3 5 1由克莱姆法则可知方程组有唯一解.又111111111D1021210131202，...............（6分）351331353所以方程组的唯一解为D D Dx 11 ，x 21 ，x 31.

...............（9分）1 D 2 D 3 D117.（本题8分设三阶方阵A的三个特征值分别为1 0.B3A22A4E,13求行列式B的值.解B的特征值与A的特征值的关系式为24 ...............（2分）因此，B的三个特征值为5,5,4 ...............（5分）所以，B554100 ...............（8分）18.（本题10分）设二次型f(x,x

,x)2x2x24xx

4x

，用正交变换xpy把f化成标准形.

1 2 3

1 2 12 232 2 0 解：（1）二次型对应的矩阵A2 1 2 ........（1 0 2 02 2|EA2 102(2)(1)(4)002解得A的特征值1

2,2

1,3

4 ..............（4）将2代入特征方程得(2X01

1 0 14 2 0 0 4 4 0 1 22EA2 3 22 3 22 0 0 1 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0 x1x得方程组 2 基础解系

[1,2,2T13xx 1132 3单位化得

1[1,2,2]

...............（5分）T1 3T将 1代入特征方程得(EX021 2 0 1 2 0 1 0

1 0 1EA2 0 20 4 20 0 00 1 20 2 0 2 0 2

0 0 0 xx得方程组 1 3x1x2 2 3基础解系为2

[2,1,

,单位化2

1[2,1,3

................（6分）T将4代入特征方程得(4EA)X0T32 2 0 2 2 0 1 0 2

2x4EA2 3 20 1 20 1 2 得方程组 1 3

x2xT0 2 4 0 2 4 0 0 0 2 3T基础解系3

[2,

，单位化3

1[2,3

...............（7分）p

1 2 23]12 1 2，得正交变换xpy ...............（931 2 3

2

f的标准型fXTAXYTUTAUY2y2y24y2 ...............（10）1 2 3（8）已知平面过xz0垂直且与直线x1

y2

z平行。求该平面的方程。1 2 1解：方法一：先求法式方程设该平面的法线的方向数为{A,B,C}，则由题意得，AC0A2BC0，解得A:B:C1:0:1。 ...............（4分）1(x1)0(y0)1(z1)0，化为一般式为：xz0. ...............（8分）方法二：待定系数法设平面的一般方程为AxByCzD0(B,C不全为0）。由平面过点(1,0,1)得：ACD0 由另两条件得： AC0 （2）A2BC0 （3）联立（1），（2），（3）并解得A:B:C:D1:0:1:0 。 ...............（4分）故所求平面的方程为：xz0. ...............（8分）四、证明题（1小题，本题5分）设A(a)