《高等数学》附录1自我测试题参考 答案

附自我测试题参考答案第一章A级自测题一、选择题1．D．2．C．3．D．4．B．5．C．6．A．二、填空题1．．2．，．3．．4．．5．．6．．三、1．．2．．3．1．4．4．5．．四、是的第一类间断点中的跳跃间断点，是的第二类间断点中的无穷间断点．五、，．六、1．证明用单调有界准则证明．由于==，其中．所以单调增加．又，所以有上界，根据单调有界准则知收敛．证毕．2．证明设，显然（1）在闭区间上连续；（2）==，=，B级自测题一、选择题1．A．2．C．3．D．4．D．5．B．6．D．二、填空题1．．2．1．3．2．4．，．5．，任意．三、1．1．2．．3．1．4．．5．6．6．．7．1．四、当时，在内连续；当时，在内连续，在点处间断．五、1．证明:因为设又则下证.即证亦即0.成立所以.由单调有界定理知数列有极限.设对两边求极限得,解得(舍掉).2．证明设．则，则对于，由于=，则，当时，有，现任意取一点，使，则．所以在上连续且，根据零点定理可知，在内至少有一个实根，从而在内至少有一个实根；同理可证在内至少有一个实根．即方程至少有两个不同实根．证毕．第二章A级自测题一、选择题1．B．2．C．3．C．4．A．5．B．二、填空题1．．2．高阶无穷小．3．．4．，．5．．三、在区间，上连续且可导，在处不连续，不可导．四、1．．2．,．3．．4．．5．．6．．7.，．五、1．证明由于，又为连续函数则有．故．证毕．2．证明，，（1）其中，（2）其中，（3）将（3）代入（2）得．（4）将（4）代入（1）得．将，代入原方程得．证毕．B级自测题一、选择题1．D．2．B．3．D．4．B．二、填空题1．．2．．3．．三、1．=．2．．3．．4．．5．．6．．7．，．8．．四、．五、1．证明用数学归纳法．当时，成立．假设当自然数时，公式都成立，即．那么，当时======．即当时，等式也成立．2．证明由于对任何有．取，则有．由的任意性及，知．所以对任何有======．3.证明:利用参数形式所表示的函数的求导公式.得曲线在对应于参数点处的法线方程为简化后为，法线到原点的距离为.第三章A级自测题一、选择题1．B．2．C．3．D．4．D．5．D．二、填空题1．．2．．3．．4．16；0．5．．三、1．2．．3．在上单调减；在上单调增．在处取得极小值，分别为及，在处取得极大值．4．与是曲线的凸区间；是曲线的凹区间．是拐点．5．四、用反证法,假设在上有两个零点,不妨设,则在区间,满足罗尔定理条件,于是至少存在一点,使得,而当时,,这与矛盾,故假设不成立,命题得证.五、先证存在性.令则在内连续,且由闭区间上连续函数的零点定理知,存在,使即为方程的实根.唯一性(用反证法证)若在(0,1)内有两个不等实根,即.对上利用拉格朗日中值定理,至少存在一点,使得这与题设条件矛盾.唯一性得证.证华.六、提示:构造辅助函数,对在用拉格朗日中值定理即可证.七、设，，则，，所以当时，，故单调减小．从而当时，，即当时，单调增加．因此当时，，即．故．八、设切点的坐标为,切线方程为,即.故所求三角形面积为.由,得,故为最小值点,当时,,故所求点为.B级自测题一、选择题1．C．2．D．3．D．4．C．5．C．二、填空题1．1680．2．；3．1．4．．5．．三、1．2．3.4．单调增加区间和,单调减少区间，是凸的,和是凹的，极小值,拐点,铅直渐近线:,斜渐近线:．5．四、,故问题归结为,即上式只要和在上应用柯西中值定理即可得到所要证明的结果．五、证法1设,显然在上连续且可导，，在上连续且可导，在上有，所以单调递增，当时,，从而有单调递增，所以时,，即.证法2设，，显然它们在上满足柯西中值定理条件，所以有,.再令，显然在上连续且可导,．所以在单调递增．当时,．故在时有，即.证法3展开为点处带拉格朗日余项的二阶泰勒公式,，所以.六、证明(1)令,显然它在上连续,又,,根据零点定理知存在,使,即.(2)令,它在上满足罗尔定理的条件,故存,使,即,故．七、证明对在上利用拉格朗日中值定理,并注意到,有，，于是.故存在,使得，又,由零点定理知,存在,使得；再由知,单调增加,因此,不可能有第二个零点,故方程在内有唯一的实根.八、由，可知是在上的最小值．又在内可导，从而有．由于在内有三阶导数，所以有，，，．于是,即．由的连续性可知，在上有最大值及最小值，于是．再由连续函数的介值性定理知，至少存在一点，使．第四章A级自测题一、选择题1．B．2．C．3．B．4．D．5．B．二、填空题1．．2．．3．．4．．5．．三、1．．2．．3．．4．．5．．6．．7．．8．．9．.10．．11．．12．．四、，令，然后积分．B级自测题一、选择题1．A．2．C．3．C．二、填空题1．．2．．三、1．．2．．3．．4．．5．．6．．7．．8．．9．．10．．11．．12．．13．．14．．四、，，从而，，，，．五、先分别在和内求原函数，由于在处连续，因此，原函数在这点有定义且连续，从而得，即，．故．六、提示．第五章A级自测题一、选择题1．D．2．A．3．B．4．D．5．C．二、填空题1．．2．3．．4．．5．．三、1．．2．3．．或．4．，在上连续．5．．6．．7．．8．．四、1．．2．，，．3．=，．五、证明根据积分中值定理得，存在与满足==，（由且递减）．即得．B级自测题一、选择题1．D．2．D．3．B．4．B．5．B．二、填空题1．．2．3．3．．4．．5．．三1．．2．．3．．4．．5．．6．．四、1．，=，．2．．五、1．若令，则==．而若令，==．于是证得左边=右边．2．证法1由于=．令，则=于是==．由积分中值定理与的连续性可知，．原题得证．证法2===．即．3．当时，．，故在区间上单调增加．又，则当时，．于是====，得．由于在区间上单调增加且，根据单调有界定理知存在且有．第六章A级自测题一、选择题1．C．2.C．3.D．4.A.5.B.二、填空题1．；.2..3.以原点为圆心，2为半径的圆周；以为准线，母线平行于z轴的圆柱面．4..5.．三、四、五、；；六、七、八、，.九、或．十、B级自测题一、选择题1．D．2.C．3.C．4.C．5.C．二、填空题1．.2..3.，；，．4..5.．三、，，．四、五、；.六、七、过作平面垂直平面，则过点且法向量垂直于的方向向量及的法向量即的方程为，即从而的方程为消去得，消去得的对称式方程为设绕轴旋转所成的旋转面上的点是由上的点绕轴旋转而得到的，故又上的点满足故即曲面方程为，即仍用表示旋转面上的点，得方程为八、解:设点的坐标为,则曲面在点处的法向量,故过点的切平面方程为,即由于切平面过直线,故直线的方向向量与垂直,即,①.且点在切平面上,故,②.又点在曲面上,即,③.由①②③可得,所以,故所求的切平面方程为第七章A级自测题一、选择题1．B．2.D．3.A．4.B．5.B．二、填空题1．2.3．4.5.三、1．，2..3．极大值4．.5．，.四、因为，因此，与无关.五、．六、七、八、B级自测题一、选择题1．B．2.C．3.D．4.B．5.B．二、填空题1．2．3.，.4．5．.三、1．2．，.3.，4．5．在点取极小值;在点取极大值.四、，，(1)，(2)，(3)将即得所证的等式.五、六、，.七、设曲面上任一点的法向量，这样，过任意点的切平面方程为，即，这样，对曲面上任意点，取均能使上式恒满足，故切平面都通过定点.八、令，，，则，，，将关系式两边对求偏导，得，即将上式两边同乘以，得，即将分别换写成，得．第八章A级自测题一、选择题1．C．2.C．3.D．4.A．5.C．二、填空题1.2.．3.4.5.．三、1.2.3.4.5.四、．五、．六、证明：先利用球面坐标计算再求极限．七、八、以圆柱体与半球底面重合的平面为平面，底面圆心为原点建立空间直角坐标系（半球位于轴正向），则圆柱体可表示为：，半球体表示为：设此几何体的体密度为根据题意，其重心坐标中整理可得，即．B级自测题一、选择题1.C．2.D．3.C．4.B．5.A．二、填空题1.2..3.4.．5.．三、1.2.．3.4..5.．四、．五、．六、．七、cm．八、由得由可知，时最小．第九章A级自测题一、选择题1.D．2.B．3.C．4.D．5.A二、填空题1.2.3.4.5.三、1.2.3.4.5.四、．五、．六、．七、．八、证明由高斯公式可知由于关于平面对称,是区域上关于的奇函数,故有．所以等式成立．B级自测题一、选择题1.A．2.D．3.C．4.A．5.D二、填空题1.2.．3.4.5.三、1.2.3.．4.．5.．四、．五、．六、七、．八、证明:(1)由格林公式,有，，由轮换对称性,有，因此．(2)由(1)知．第十章A级自测题一、选择题1.A．2.B．3.C．4.D．二、填空题1.2.，．3.．4.三、1.收敛且其和为．2.当时,级数收敛;当时,级数发散.3.当时,级数收敛;当时,级数发散,当时,级数可能收敛也可能发散.4.绝对收敛．四、1.．2..五、1.．2．，（，），．3．，．六、证明因为级数，都收敛，故级数收敛，又因为，由比较审敛法可知正项级数收敛，而，故级数也收敛．B级自测题一、选择题1．B．2．C．3．C．4．B．5．C．二、填空题1.．2.．3.．4.三、收敛．四、条件收敛．五、，（）．六、．七、，．八、．九、．十、1．证明记当时，，故在上单调增加．而，由连续函数的介值定理知存在唯一正实根．由与，知．故当时，而正项级数收敛，所以当时，级数收敛．2.证法1由得在的邻域内可展开为，故．在的邻域内连续，故在闭区间上连续，因而有界，即存在，使，即因此对于，当时，有，从而可得，故收敛，即绝对收敛．证法2由可得，，由于在的邻域内具有二阶连续导数，所以，从而，由此得，因收敛，所以收敛，即绝对收敛．第十一章A级自测题一、选择题1.C．2.B．3.B．4.D．二、填空题1.1阶．2.，其中为任意常数．3.．4.．三、1．，此外还有解2.．3.．此外，还有解．4.．5.6.．四、是全微分方程，方程通解为．五、．六、点处的切线方程为，令，得截距，由题设得方程，即，两边对求导，得，即，亦即，，即为所求的一般表达式．七、证明把代入原方程的右端得：又由于为原方程的特解，故上式整理后等于，因此，是原方程的解，下面来证明它是原方程的通解，可以写成，由为原方程的特解，因此,便是相应齐次线性方程的两特解，又常数，所以与线性无关，依据解的结构原理，原非齐次线性方程的通解为证毕．八、证明以乘以方程的两边得，记，．则，从而为全微分方程，故为原方程的一个积分因子．证毕．B级自测题一、选择题1．D．2．C．3．A．4．C．二