16位置动量和平移课件

1.6位置、动量和平移1）连续谱：展开、归一化；2）位置本征矢和位置测量3）平移：操作、算符4）动量：平移生成元/坐标动量对易关系算符函数以其泰勒级数展开理解动量本征矢是平移算符的本征矢5）正则对易关系

狄拉克规则1.6位置、动量和平移1）连续谱：展开、归一化；2）位置本§1.7坐标与动量空间的波函数一、坐标空间波函数以坐标本征矢为基[,],得:展开系数的物理解释：是在x’处dx’范围内找到粒子的几率（属于矢量空间的自然特性）。内积就是通常所指的态的波函数：因,在找到态的几率振幅常被称为与的交叠积分。一般态以算符本征态展开在坐标表象中可理解为其中是A的本征值为a’的本征波函数。（这种展开在理论和计算中广泛使用）

§1.7坐标与动量空间的波函数一、坐标空间波函数二、算符在坐标空间的表示

是x’和x’’的函数。若A是坐标算符的函数，则于是注：上面的记号中，在方程左边的A是算符，而右边是数

二、算符在坐标空间的表示三、坐标空间中的动量算符1.由

得或即p在坐标表象的矩阵元为且

可见动量算符在坐标表象的表示不是假定，而是可从动量算符的基本性质中推导出来的类似可证；三、坐标空间中的动量算符1.由四、动量空间的波函数

，，

展开系数具有与类似的几率解释，即

是在处范围内粒子出现的几率，或者说是测得粒子动量为附近范围内的几率。

常被称为动量空间波函数：

若归一，则

四、动量空间的波函数

五、x表象与p表象的联系

由x-表象到p-表象的变换函数而联系

由得是动量本征态在x-表象的波函数。可见动量本征态波函数是一平面波，这一结论无需通过求解方程。除相位因子处，归一常数c可定出为，即因，可知坐标空间波函数与动量空间波函数的关系为，类似有

与前面的关系互为付氏变换五、x表象与p表象的联系

六(1/2)、高斯波包：

即波矢为k的平面波受中心位于原点的高斯轮廓调制而得的函数，粒子出现于距原点大于d处的几率以高斯形式衰减。高斯波包是满足最小测不准原理的波包:

；x的色散为类似可求得；六(1/2)、高斯波包：

六(2/2)、高斯波包：

动量空间的高斯波包为即动量空间的高斯波包波函数也具有高斯函数的形式，只是展开与坐标空间的展宽成反比。在x空间的展宽越大则在p空间展宽越小,反之亦然。在x空间无限延展的平面波具有确定的动量值，而具有确定位置的态则在p空间是无限延展的平面波。六(2/2)、高斯波包：

动量空间的高斯波包为七、对三维的推广

上面一维空间的表达式很容易推广到三维，需要的变动包括：七、对三维的推广上面一维空间的表达式很容易推广到三维，需要第二章：量子动力学

(物理状态和观测量随时间的变化)2.1时间演化和方程时间在量子力学中是参量而非算符，不是可观测量。相对性量子理论通过将位置作为参量而将时空对等处理一、时间演化算符第二章：量子动力学

二、时间演化算符的性质

1.(时间的)连续性

2.幺正性（几率守恒）

即对，

有

3.结合性：

二、时间演化算符的性质

1.(时间的)连续性三、时间演化算符的表达

与空间平移相似，考虑无穷小时间演化算符：算符的连续性、幺正性和组合性可由且为厄米算符来满足。考虑到的量纲与频率相同和经典力学中Hamiltonian是时间演化的生成元，可合理地将写为，即这里的与坐标平移算子中的相同，否则将推不出量子力学的经典极限即牛顿运动定律三、时间演化算符的表达与空间平移相似，考虑无穷小时间演化算四、薛定谔方程

1.时间演化算符的薛定谔方程由((t-t0)不必为无穷小)有即2.态矢时间演化的薛定谔方程对态矢，有或当然，若知，并知其对初态的作用，则无需解此方程。四、薛定谔方程1.时间演化算符的薛定谔方程五、时间演化算符的形式解

H与t无关，如稳恒磁场与磁矩的相互作用此时容易解得2.

，但，如方向恒定的交变磁场。则：

容易验证该满足方程：3.不同时的H不对易，如磁场方向随时间而变的自旋磁场作用此时的解为

在这一章中我们主要讨论第一种情形。五、时间演化算符的形式解H与t无关，如稳恒磁场与磁矩六、能量本征矢

知道时间演化算符随时间变化，还需知它如何作用于一态矢才能求出态矢的时间变化。如果选用能量本征态矢为基，则时间演化算符对态的作用可轻易求得。；有；即展开系数的模不变，但相位变化了。由于不同分量的相对相位发生变化，与可以是完全不同的。对，则，态保持为H与A的共同本征态。六、能量本征矢知道时间演化算符随时间变化，还需知它如何作六、能量本征矢（续）

由上讨论可见量子力学的基本任务是找出与H对易的观测量及其本征态。将初态由这个观测量的本征态展开，便可求出态随时间的变化。对有简并情形，我们需要找出一组完整的相互对易且与H对易的算符,并用它们的共同本征态为基。该基一般用组合指标表征，这样,将任意态以展开将可求得其时间的演化了。

六、能量本征矢（续）七、期望值的时间演化

1.由于：即任何观测量对能量本征态的期望值都不随时间变化。因此,能量本征态被称为定态。2.对一般态：

可见期望值一般是随时间变化的。3.对也是B的本征态之特例（B与H对易），则不随时间变化

（与H对易的观测量是运动的常数）七、期望值的时间演化1.由于：八、自旋进动

考虑电子与磁场作用：若，，。对态，设，若，则仍为态。八、自旋进动考虑电子与磁场作用：八、自旋进动（续）

若时为态，，则t时处于态的几率为：可见在磁场作用下,原处于的自旋产生转动而处于的混和态，而且以角频率ω振荡，且等于两态的能量差。类似可得,即自旋在xy平面内进动。八、自旋进动（续）若时为态，九、关联振幅和能量一时间测不准关系

态随时间变化仍保留原态成份的多少可用关联振幅描述：1.若是H本征态。则，其模总为1。2.对一般，由于振荡项的作用，一般随时间而变小。原则上，态消亡后仍有可能复活。对准连续谱，，为能量本征态的态密度，，有，其中。九、关联振幅和能量一时间测不准关系

态随时间变化仍保留原态成九、关联振幅和能量一时间测不准关系（续）

3.若初态近似为能量为的本征态，能量展宽为。则，积分贡献主要来源于。即当时间大于特征时间后，将与1有较大差别。可见对非能量本征态，当演化时间超过时原态的特征便消失了（∆t寿命）。常被称为时间---能量测不准关系。要注意的是，这种测不准关系与不兼容算符的测不准关系有本质的不同（时间是参量，不是算符。）九、关联振幅和能量一时间测不准关系（续）

3.若初态近似作业1.32,1.33，2.1,2.2周五（9.28）、周日（调自10.5）停课作业1.32,1.33，2.1,2.21.6位置、动量和平移1）连续谱：展开、归一化；2）位置本征矢和位置测量3）平移：操作、算符4）动量：平移生成元/坐标动量对易关系算符函数以其泰勒级数展开理解动量本征矢是平移算符的本征矢5）正则对易关系

狄拉克规则1.6位置、动量和平移1）连续谱：展开、归一化；2）位置本§1.7坐标与动量空间的波函数一、坐标空间波函数以坐标本征矢为基[,],得:展开系数的物理解释：是在x’处dx’范围内找到粒子的几率（属于矢量空间的自然特性）。内积就是通常所指的态的波函数：因,在找到态的几率振幅常被称为与的交叠积分。一般态以算符本征态展开在坐标表象中可理解为其中是A的本征值为a’的本征波函数。（这种展开在理论和计算中广泛使用）

§1.7坐标与动量空间的波函数一、坐标空间波函数二、算符在坐标空间的表示

是x’和x’’的函数。若A是坐标算符的函数，则于是注：上面的记号中，在方程左边的A是算符，而右边是数

二、算符在坐标空间的表示三、坐标空间中的动量算符1.由

得或即p在坐标表象的矩阵元为且

可见动量算符在坐标表象的表示不是假定，而是可从动量算符的基本性质中推导出来的类似可证；三、坐标空间中的动量算符1.由四、动量空间的波函数

，，

展开系数具有与类似的几率解释，即

是在处范围内粒子出现的几率，或者说是测得粒子动量为附近范围内的几率。

常被称为动量空间波函数：

若归一，则

四、动量空间的波函数

五、x表象与p表象的联系

由x-表象到p-表象的变换函数而联系

由得是动量本征态在x-表象的波函数。可见动量本征态波函数是一平面波，这一结论无需通过求解方程。除相位因子处，归一常数c可定出为，即因，可知坐标空间波函数与动量空间波函数的关系为，类似有

与前面的关系互为付氏变换五、x表象与p表象的联系

六(1/2)、高斯波包：

即波矢为k的平面波受中心位于原点的高斯轮廓调制而得的函数，粒子出现于距原点大于d处的几率以高斯形式衰减。高斯波包是满足最小测不准原理的波包:

；x的色散为类似可求得；六(1/2)、高斯波包：

六(2/2)、高斯波包：

动量空间的高斯波包为即动量空间的高斯波包波函数也具有高斯函数的形式，只是展开与坐标空间的展宽成反比。在x空间的展宽越大则在p空间展宽越小,反之亦然。在x空间无限延展的平面波具有确定的动量值，而具有确定位置的态则在p空间是无限延展的平面波。六(2/2)、高斯波包：

动量空间的高斯波包为七、对三维的推广

上面一维空间的表达式很容易推广到三维，需要的变动包括：七、对三维的推广上面一维空间的表达式很容易推广到三维，需要第二章：量子动力学

(物理状态和观测量随时间的变化)2.1时间演化和方程时间在量子力学中是参量而非算符，不是可观测量。相对性量子理论通过将位置作为参量而将时空对等处理一、时间演化算符第二章：量子动力学

二、时间演化算符的性质

1.(时间的)连续性

2.幺正性（几率守恒）

即对，

有

3.结合性：

二、时间演化算符的性质

1.(时间的)连续性三、时间演化算符的表达

与空间平移相似，考虑无穷小时间演化算符：算符的连续性、幺正性和组合性可由且为厄米算符来满足。考虑到的量纲与频率相同和经典力学中Hamiltonian是时间演化的生成元，可合理地将写为，即这里的与坐标平移算子中的相同，否则将推不出量子力学的经典极限即牛顿运动定律三、时间演化算符的表达与空间平移相似，考虑无穷小时间演化算四、薛定谔方程

1.时间演化算符的薛定谔方程由((t-t0)不必为无穷小)有即2.态矢时间演化的薛定谔方程对态矢，有或当然，若知，并知其对初态的作用，则无需解此方程。四、薛定谔方程1.时间演化算符的薛定谔方程五、时间演化算符的形式解

H与t无关，如稳恒磁场与磁矩的相互作用此时容易解得2.

，但，如方向恒定的交变磁场。则：

容易验证该满足方程：3.不同时的H不对易，如磁场方向随时间而变的自旋磁场作用此时的解为

在这一章中我们主要讨论第一种情形。五、时间演化算符的形式解H与t无关，如稳恒磁场与磁矩六、能量本征矢

知道时间演化算符随时间变化，还需知它如何作用于一态矢才能求出态矢的时间变化。如果选用能量本征态矢为基，则时间演化算符对态的作用可轻易求得。；有；即展开系数的模不变，但相位变化了。由于不同分量的相对相位发生变化，与可以是完全不同的。对，则，态保持为H与A的共同本征态。六、能量本征矢知道时间演化算符随时间变化，还需知它如何作六、能量本征矢（续）

由上讨论可见量子力学的基本任务是找出与H对易的观测量及其本征态。将初态由这个观测量的本征态展开，便可求出态随时间的变化。对有简并情形，我们需要找出一组完整的相互对易且与H对易的算符,并用它们的共同本征态为基。该基一般用组合指标表征，这样,将任意态以展开将可求得其时间的演化了。

六、能量本征矢（续）七、期望值的时间演化

1.由于：即任何观测量对能量本征态的期望值都不随时间变化。因此,能量本征态被称为定态。2.对一般态：

可见期望值一般是随时间变化的。3.对也是B的本征态之特例（B与H对易），则不随时间变化

（与H对易的观测量是运动的常数）七、期望值的时间演化1.由于：八、自旋进动

考虑电子与磁场作用：若，，。对态，设，若，则仍为