2013年高考江苏数学试题(解析版)

(完好版)2013年高考江苏数学试题及答案(word分析版)(完好版)2013年高考江苏数学试题及答案(word分析版)(完好版)2013年高考江苏数学试题及答案(word分析版)2014年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必然自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定地址．3．请在答题卡上依照序次在对应的答题地域内作答，在其他地址作答一律无效．作答必定用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面干净，不要折叠、破坏．一律严禁使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应地址上．．．．．．．．．（1）【2014年江苏，1，5分】函数y3sin(2x)的最小正周期为_______．【答案】4【剖析】函数y3sin2xπ的最小正周期T2ππ．42（2）【2014年江苏，2，5分】设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为_______．【答案】5【剖析】z2244ii234i32425．i22（3）【2014年江苏，3，5分】双曲线xy1的两条渐近线的方程为_______．169【答案】y3x4【剖析】由题意可知所求双曲线的渐近线方程为3x．y4（4）【2014年江苏，4，5分】会集1,0,1共有_______个子集．【答案】8【剖析】由于会集1,0,1有3个元素，故其子集个数为38．2（5）【2014年江苏，5，5分】右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_______．【答案】3【剖析】第一次循环后：a8，n2；第二次循环后：a26，n3；由于2620，跳出循环，输出n3．（6）【2014年江苏，6，5分】抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果以下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为牢固(方差较小)的那位运动员成绩的方差为．【答案】2【剖析】由题中数据可得x甲=90，x乙=90．s甲2122902892932，5879091909090904212909029128829290222，可知乙运动员成绩稳s乙5899090902，由s甲>s乙定．故应填2．1（7）【2014年江苏，7，5分】现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m,n(m7,n9)可以任意采用，则m,n都取到奇数的概率为________．【答案】2063【剖析】由题意知m的可能取值为1，2，3，，7；n的可能取值为1，2，3，，9．由于是任取m，n：若m1时，n可取1，2，3，，9，共9种状况；同理m取2，3，，7时，n也各有9种状况，故m，n的取值状况共有7963种．若m，n都取奇数，则m的取值为1，3，5，7，n的取值为1，3，5，7，9，因此满足条件的状况有4×5=20种．故所求概率为20．（8）【2014年江苏，8，5分】如图，在三棱柱63A1B1C1ABC中，D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1:V2_______．【答案】1:24【剖析】由题意可知点F到面ABC的距离与点AABC的距离之比为1:2，SVADE:SVABC1:4．1到面1SAEDAF因此V1:V231:24．2AFSABC（9）【2014年江苏，9，5分】抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成三角形地域为D(包括三角形内部和界线)．若点P(x,y)是地域D内的任意一点，则x2y的取值范围是________．【答案】12,2【剖析】由题意可知抛物线yx2在x1处的切线方程为y2x1．该切线与两坐标轴围成的地域如图中阴影部分所示：当直线x2y0平移到过点A1,0时，x2y获取最大值1．22当直线x2y0平移到过点B(0，1)时，x2y获取最小值2．因此所求的x2y的取值范围为2,1．2（10）【2014年江苏，10，5分】设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD1AB，BE2BC，若uuuruuur231,DE1AB2AC(2为实数)，则12的值为________．【答案】12uuuruuuruuur1uuur2uuur1uuuruuuruuur【剖析】由题意作图如图．∵在2ABC中，DEDBBEABBCAB3(ACAB)uuuruuuruuuruuur2321，22．故21．1AB2AC1AB2AC，∴1163632x2（11）【2014年江苏，11，5分】已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x0时，f(x)4x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为________．【答案】(－5,0)U(5,＋)x24xx0【剖析】∵函数fx为奇函数，且x0时，fxx24x，则fx0x0∴原不等式等价于x24xx0x0或x04x，由此可解得x5或5x0．x24xxx2xx22（12）【2014年江苏，12，5分】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为y1(a0,b0)，右焦a2b2点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2．若d26d1，则椭圆的离心率为________．2【答案】33【剖析】设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为xy=1，即bxcybc0．a2a2c2b2cb6d1，∴b2于是可知d1bc2bc，d2c．∵d26bc，即ab6c2．2accccabc∴a2a2c26c4．∴6e4221．∴e3e10．∴e．331（13）【2014年江苏，13，5分】平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y0)图像上一动点，(xx若点P,A之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为________．【答案】1，101212111【剖析】设P点的坐标为x,，则(xa)2a=x22ax=2a2．令，PAtx2xxx2xx则PA2t22at2a22ta2a22t2．结合题意可知(1)当a2，t2时，PA2获取最小值．此时22a228，解得a1，a3(舍去)．(2)当a2，ta时，PA2获取最小值．a228，解得a10，a10(舍去)．故满足条件的实数a的所有值为10，1．此时a（14）【2014年江苏，14，5分】在正项等比数列an中，a51，a6a73．则满足a1a2a3...ana1a2a3...an的最大正整数n的值为_______．2【答案】12【剖析】设正项等比数列an的公比为q，则由a6a7a5qq23可得q2，于是an2n6，1(12n)11则a1a2an322n5a52，∴a61，a1a11a2a1021．12．∵，qa6322∴a1a2a111．当n取12时，a1a2a1271a1a2a11a12a126建立；当n取13时，23221a1a2a1328a1a2a11a12a13a12a1326·27213．当n13时，随着n增大a1a2an将32恒小于a1a2an．因此所求n的最大值为12．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定地域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明．．．．．．．．过程或演算步骤．rrcos，sincos，sin，0．（15）【2014年江苏，15，14分】已知a，brrrr（1）若ab2，求证：ab；r0,1rrr（2）设c，若abc，求，的值．解：（1）解法一：rrrrrrr2rrr2r2r2ruur21，由|ab|r2，得：|ab|2(ab)22，即a2abb2．又ab|a|2|b|rrrrr因此22ab2，ab0，故ab．解法二：rrrrrrrr(coscos,sinsin22，ab)，由|ab|，得：|ab|2(ab)2即：(coscos)2(sinsin)22，化简，得：2(coscossinsin)0，rrcoscossinsin0rrab，因此ab．rr(coscos,sincoscos0LL(1)（2）absin)，可得：sin1(2)sinLL解法一：3由（1）得：coscos()，又0，(0,)，故．代入（2），得：sinsin1，又0，因此5,．266解法二：(1)2(2)2，得：22(coscossinsin)1,cos()1，又0，(0,)．2，222故有：代入（1）式：cos()cos0，333化简，得：130,tan3．进而5．cossin,22366解法三：2cos2cos20LL(3)，可得：cos0，两式和差化积，得：2sincos1(4)222LL又0，(0,)，因此2．代入（4）式，可得：cos1，又2(0,)，22222．以上联立，解得：5,．2366（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB．过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是侧棱SA，SC的中点．求证：1）平面EFG//平面ABC；2）BCSA．解：（1）由于ASAB，AFSB于F，因此F是SB的中点．又E是的中点，因此EF//AB．SA由于EF平面ABC，AB平面ABC，因此EF//平面ABC．同理可证EG//平面ABC．又EFIEGE，因此平面EFG//平面ABC．（2）由于平面SAB平面SBC于SB，又AF平面SAB，AFSB，因此AF平面SBC．由于BC平面SBC，因此AFBC．又由于ABBC，AFIABA，AF、AB平面SAB，因此BC平面SAB．又由于SA平面SAB，因此BCSA．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A0,3，直线l：y2x4．设圆的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．解：（1）由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，|3k1|1，解得k0或3，214y3或3x4y120．k故所求切线方程为（2）由于圆心在直线y2x4上，因此圆C的方程为x2y221．设点M(x，y)，aa2由于MA2MO，因此x2y32=2x2y2，化简得x2y22y30，即x22y14，因此点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，因此圆C与圆D有公共点，则21CD21，即1a22a323．由5a212a80，得aR；20，得0a12．因此点C的横坐标a的取值范围为12．由5a12a0,55（18）【2014年江苏，18，16分】如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径．一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，尔后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线4运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA12，cosC3．1351）求索道AB的长；2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不高出3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？．解：（1）在ABC中，由于cosA12，cosC3，因此sinA5，sinC4．135135进而sinBsinACsinACsinAcosCcosAsinC5312463．ABACAC1260413513565由正弦定理，得ABsinC1040．因此索道AB的长为1040m．635sinCsinBsinB65（2）假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了10050tm，乙距离A处130tm，因此由余弦定理得d210022130t10050t1220037t270t50，50t130t213因0t1040，即0t8，故当t35(min)时，甲、乙两游客距离最短．13037（3）由正弦定理BCAC，得BCACsinA12605500m．sinAsinBsinB631365乙从B出发时，甲已走了50281550(m)，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为vm/min，由题意得35007103，解得1250v625，因此为使两位游客在Cv504314处互相等待的时间不高出3min，乙步行的速度应控制在1250625(单位：m/min)范围内．43,14（19【）2014年江苏，19，16分】设an是首项为a，公差为d的等差数列d0，是其前n项和．记nSn，bn2SncnN*，其中c为实数．（1）若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Skk,nN*；（2）若bn是等差数列，证明：c0．解：由题设，Snnan(n1)d．22Snn1d3（1）由c0，得bnad．又由于b1，b2，b4成等比数列，因此b22b1b4，即a=aa2d，n22化简得d22ad0．由于d0，因此d2a．因此，对于所有的mN*，有Smm2a．进而对于所有的k，nN*，有Snk2an2k2an2Sk．nk（2）设数列bn的公差是d1，则bnb1n1d1，即nSnb1n1d1，nN*2，代入Sn的表达式，整理nc得，对于所有的nN*，有d11dn3b1d1a1dn2cd1ncd1b1．22令Ad11d，Bb1d1a1d，Dcd1b1，则对于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD．(*)22在(*)式中分别取n12,,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，7A3Bcd1①0进而有19A5Bcd10②，由②，③得A0，cd15B，代入方程①，得B0，进而cd10．21A5Bcd10③即d110，b1d1a1d0=0，cd11d0，得d0，与题设矛盾，d20．若d1=0，则由d1225因此d10．又由于cd10，因此c0．（20）【2014年江苏，20，16分】设函数fxlnxax，gxexax，其中a为实数．（1）若fx在1,上是单调减函数，且gx在1,上有最小值，求a的范围；（2）若gx在1,上是单调增函数，试求fx的零点个数，并证明你的结论．解：（1）令f′(x)=fx1a1ax0，考虑到fx的定义域为(0，)，故a0，进而解得xa1，即fx1xx1在)上是单调减函数．同理，fx在，上是单调增函数．由于fx在(1，)上是单调减(a，(0a)函数，故(1，)gx0；当x综上，有a(e，

(a1，)，进而a1x0，得xlna．当xlna时，1，即a1．令gxealna时，gx0．又gx在(1，)上有最小值，因此lna1，即ae．)．（2）当a0时，gx必为单调增函数；当a0时，令gxxa0，解得ax，即xlna．ee由于gx在(1，)上是单调增函数，近似（1）有lna1，即0ae1．结合上述两种状况，有ae1．①当a0时，由f10以及fx10，得fx存在唯一的零点；xaaaa，②当a0时，由于faa10，f1a0，且函数fxeaee在[e1]上的图象不中止，因此fx在a，x0时，fx1a0，故fx在(0，)上是单调增(e1)上存在零点．别的，当x函数，因此f(x)只有一个零点．③当0ae1时，令f1a0，解得xa1．当0xa1时，fx0，当xa1时，fx0，xx因此，xa1是fx的最大值点，且最大值为fa1lna1．当lna10，即ae1时，fx有一个零点xe．当lna10，即0ae1时，fx有两个零点．实质上，对于0ae1，由于fe11ae10，fa10，且函数fx在[e1，a1]上的图象不中止，因此fx在(e1，a1)上存在零点．别的，当x(0，a1)时，fx1a0，故fx，1)上是单调增x在(0a11函数，因此fx在，)上只有一个零点．下边考虑fx在(0a(a，)上的状况．先证fea1aa2ea10．为此，我们要证明：当xe时，exx2．设hxexx2，则hxex2x，再设lxhxex2x，则lxex2．当x1时，lxex2e20，因此lxhx在(1，)上是单调增函数．故当x2时，hxx2xh2240，进而hx在(2，)上是ee单调增函数，进而当xe时，hxexx2heeee2即a1a1aea1aa2ea10，又fe时，fea1象不中止，因此fx在(a1，ea1)上存在零点．又当xa

0．即当xx21e时，ex．当0ae，a10，且函数fx在[a1，ea1]上的图1时，fxa0，故fx在(a-1，+∞)上是单调减函数，因此f(x)在(a-1，+∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当a0或ae1时，fx的零点个数为1，当0ae1时，fx的零点个数为2．数学Ⅱ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题）。本卷满分为40分。考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2．答题前，请您务必然自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定地址。3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您自己可否切合。64．作答试题必定用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定地址作答，在其他地址作答一律无效。5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。【选做】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题地域内作答，若多做，则按作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A）【2014年江苏，21-A，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC2OC．求证：AC2AD．解：连结OD．由于AB和BC分别与圆O相切于点D，C，因此ADOACB90．又由于AA，因此RtADO∽RtACB．因此BCAC．又BC2OC2OD，故AC2AD．ODAD（21-B）【2014年江苏，21-B，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵A10,B12，求矩阵A1B．0206解：设矩阵A的逆矩阵为ab10ab=10ab=10，故a1，b0，c0，d1，cd，则02cd01，即012c2d2进而A的逆矩阵为A110，因此A1B101212101=0．022063（21-C）【2014年江苏，21-C，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为xt1为参数），曲线C的参数方程为x2tan2（为参数）．试求直线l和曲线C的一般方程，y2t（ty2tan并求出它们的公共点的坐标．解：由于直线l的参数方程为xt1为参数)，由xt1得tx1，代入y2t，获取直线ly2t(t的一般方程为y22xy2x11．2xy20．同理获取曲线C的一般方程为．联立y22x,解得公共点的坐标为(2，2)，,12（21-D）【2014年江苏，21-D，10分】（选修4-4：不等式选讲）已知ab3322．0，求证：2ab2abab3b32ab222aa22ba22a22babab2ab．解：2aabbbb2a由于ab0，因此ab0，ab0，2ab0，进而abab2ab0，即2a3b32ab2a2b．【必做】第22、23题，每题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定地域内．．．．．．．．．．．．（22）【2014年江苏，22，10分】如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，AA14，点D是BC的中点．1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．解：（1）以A为坐标原点，建立以下列图的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)D(11，，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)uuur，，，uuuur，，．，因此4)C1D4)1(11uuuruuuuruuuruuuur18310310A1BC1D，因此异面直线．由于cosA1B,C1Duuuruuuur201810A1B与C1D所成角的余弦值为A1BC1Duuuuruuruuur10（2）设平面ruuur1，，z)，由于AD(1，10，)，AC1，，，因此n1AD0，uur