课件例理想气体压强p

偏导数偏导1偏导例理想气体的压强p，体积V和绝对温度T之的函数关系：pV其中R为常数

0

当V为常数时p是T的一元p关于T的导p关于T的偏导当T为常数时p是V的一元函数p关于V的导数,称为p关于V的偏导2一元函一元函数的导f(x0)

x0

f(

x)df(df(

f(x0记号fx0

yxx0

x

x3二元函数的二元函数的偏

f(x,

x0

y0的某邻内有定义将yy0而x在x0处有x时

f(

y0)

f(x0

y0此极限为z

f(

y)x0

对x的偏导数,记

xx0y

xx0y

(x0

y0

zx(x0

y0

fx(x0

y0

y0)4注意

fx(x0

y0)

x

f(

y0)

f(x0

y0z

f(

y)x0

y0)

对y的偏导数,

f(x0,

y)

f(x0

y0记x

x

(x0

y0

y0y

y或

zy(x0

y0

fy(x0

y0

y0)5说说fx(x0,y0)

f(x0x,y0)

f(x0,y0在x0就是函

0在x0

对x的偏导数0

(x0,y0

(x0x,y0沿平行x轴方向的变化率 同 对y的偏导数 是沿平行y轴方向的变化6如果z

f(

y)在D内任一点

y)处对x的偏导则偏导数就是x、y称为z

f(

y)对自变量x的偏导函数 记

zx

fx(

y).z

f(

y)

f(x,y) 同理可定义z

f(

y)对自y的偏导数 记作

z

(

y).

f(x,y) 7偏导数的概念可以推广到二元以上函如,u

f(

y,

yz)fx(

y,z)

f(x

x,

y,z)

f(

y,z)fy(

y,z)

f(

yy,z)

f(

y,z)fz(

y,z)

z0

f(

y,z

z)

f(

y,z)8说说从偏导数的定义可知元函数的偏导并不需要新的

如求fx

只需将y看作常量将fx

看成x的一元函数求导即可因此一元函数的求导法则和求导公式对多元函数求偏导数仍然适用9例设z

xy(

0,

求证xy

lnx

2z z

yxy1

z

xylnx,xzy

zxyxy1lnx

xln

lnxyx

2z.

结论成立(xa)

axa

(ax

axln 的偏导数解r

2x x2x2y2z2rr 例求z

x2

3xy

在点(1,2的偏导解 z先求后先求后

2x

y

z

3x2 先代后x(1,先代后

y(1,解2

y2

x26xx(1, 1

3y

y2 x1

y(1,

y,

axy)sinlnx2

在点(1,0,2)处三个偏导解 fx(

y,z)

(axy

sinlnx2(zaxy)cos

x22xx2fy(

y,z)

(axy

x2fz(

y,

x2fx(1,0,2)

fy(1,0,2)

fz(1,0,2)求

(

y,

axy)sinlnx2

在点(1,0,2)处三个偏导解 fx

[sin

x2

2coslnx2x

xfy

y0

fz

z 例已知理想气体的状态方

pV（R为常数求证：

证p

RT,

p

RT

VRT

VR V

TpVR

TV pVTRT

V xy2

(

y)

x2y40

x2y2x2y2

f(0

0)

f

x

1x(0,0

x2

f(0,0

y)

f

0y2 (0,0)

y0

xy2

(

y)

x2y40

x2y2x2y2用定义用定义dfx(0,0)dd

f(

xdfy(0,0)dd

f(0,

y说说１dy可以看dy与dx的商１而

是一个整体符号，不２、求分段点处的偏导数一般要用定义求３、偏导数存在与连续的一元函数可 连续多元函数偏导数存 连续xy2

x2y2设z

f(

y)

x2y2解函数在(0,0但xy2

ky2y2 (x,y)(0,0)

x2y4

y0

k2y4y4 k2xky2与k有关

此极限不存在故函数在(0,0)不连续,偏导数存 连续 z

f(

y)x2yx2y2(x,y)(0,0)

fx2y2所以函数在0x2y2fx

f(x,0)

f(x)(x)202x0同理fy(0,0)

不存在

x0

z

f(

y)x2y2所以函数在0x2y2而fx

同理fy(0,0)

不存在所以函数在00不可偏导注本题须用定 注连 偏导数存在可偏

连可偏

连二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0y0)f(x,y)在该点连续的 充分条件而非必要条件而非充分必要条既非充分条件又非必要条例f

x2

y20

y)y)

求fx,y)

y)

y(x2

y2)

xy2x

y(y2

x2fx(

y)

(x2

y2

(x2

y2)2x(x2

y2)

xy2

x(x2

y2fy(

y)

(x2

y2

(x2

y2)2 f(x,y) 220xyxy求fxy)的偏导数

y)

fx

f(0

x,0)

f(0,0)

x0f

f(0,0

y)

f

0

y0yyf(x)TCMyyf(x)TCMOx0x一元函数导数的几何意

f(x)在点Mx0fx0处的切线的斜率,

tan,(为倾二元函数偏导数的几何二元函数偏导数的几何

y0

f(x0

y0

z

f(x,y)z

(

y)上的一点

过点M0

M0 z

f(

y0作y

y0

此平面与曲TxT相交得一曲曲线的方程z y

f(y

y), fx(x0

y0

f

(

y0

x故由一元函数导数的几何意

fx(x0

y0

表示曲

zz

(x,y)z

fx,y) 在

M0 z

f(

y0y M0(x0

y0

f(x0

y0

处的切

zTxT

(x0,y)关于x轴正向夹角α的正切

fy(x0

y0

表示曲 xz

f(x,y)x 在点M0x0

y0

f(x0

y0 处的切线关于y轴正向夹角的正切

x2y2

在点(2,4,5)处的切y与x轴正向所成的倾角是多少解zx

(

y)

2

zx

1

4曲线

x2y2z z

在点(2,4,5)处的切x与y轴正向所成的倾角是多少z

(

y)12

zy(2,4)

tan

高阶偏导一般的，函数z

f(

y)fx(x,

fy(x,y)还是x,y的二元函数，如果这两个函数对x,y的偏导数也存在，则称这些偏导数为f(x,y)的二阶偏导数，2

z

2

z记 x

x

y

y

2

x

z

2

z

x

yx

xy

混合偏 2z，x2

2y2

2xy

2f(

2 xx

zyy(

zxy(

z12(

定义n-1阶偏导数的偏导数称为n阶偏导2阶和2阶以上的偏导数统称为高阶偏导例求z

x3

的四个二阶解

3x2y2y,

z

2x3yx,x22z

6xy22

y22z

2x3

6x

y

6x

设ueaxcosby，求二阶偏导数解

aeaxcosby,

u

beaxsinx2

a2eax

cosby,

2uy2

b2eax

cosby,2 ax

2u

sin

在一定条件下，混合偏导数相等定 如果函数z

f(x,

的两个二阶导数fxy

y)与fyxx,

在区域D内该区域ffxy(x,y)fyx(x,

多元函数的高阶混合偏导数如果连续则混合偏导数与求导次序无关例如若三阶偏导数在区域D内连续，fxxy(

y)

fxyx(

y)

fyxx(x,y)验证函数

x2y2

满足 斯方程2zx2

y2

x2y2

1ln(x22

y2z

2z

(x2

y2)

x2x

y2x2 x2

x2

(x2

y2)2

(x2

y2)2由x,y在函数表达式中的对称性,z

x2y2

y2

x2(x2

y2y2

2zx2

2zy2

证明