数学分析第十章-定积分的应用课件

数学分析第十章定积分的应用数学分析第十章定积分的应用1

本章中我们将用前面学过的定积分的知识来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且微元法解决问题的定积分的分析方法。本章中我们将用前面学过的定积分的知识来2第十章定积分的应用§1平面图形的面积第十章定积分的应用§1平面图形的面积3abxyoabxyo42.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时，如下图abxyy=f(x)02.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时，如下图abx5y0xy=f(x)y=g(x)aby0xy=f(x)y=g(x)ab6

一般地,由两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及两条直线x=a与x=b(a<b)所围平面图形的面积计算公式为一般地,由两条曲线y=f(x)与y=g(x)7解两曲线的交点解两曲线的交点8注被积函数为“右-左”右为直线，左为抛物线注被积函数为“右-左”9如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积三参数方程形式下的面积公式如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积三参数方程形式10解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．111考虑曲边梯形面积计算问题微元法abxyo1考虑曲边梯形面积计算问题微元法abxyo12面积表示为定积分要通过如下步骤：（3）求和，得A的近似值（4）求极限，得A的精确值面积表示为定积分要通过如下步骤：（3）求和，得A的近似值（13两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边的定积分表达式有很好的对应。我们让

要想得到一个定积分表达式，只要求出被积表达式这就是定积分的微元法两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边要想得142定积分的微元法2定积分的微元法15微元法的一般步骤微元法的一般步骤16这个方法通常叫做微元法．应用方向：

平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．这个方法通常叫做微元法．应用方向：平面图形的面积；体积；17xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积穿针法或微元法被积函数上-下、右-左xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积穿针法或微元法被积函数上-18解两曲线的交点，面积微元选

为积分变量解方程组注被积函数为上-下，上为

下为解两曲线的交点，面积微元选为积分变量解方程组注19曲边扇形的面积四极坐标下的面积公式面积微元曲边扇形的面积四极坐标下的面积公式面积微元20解利用对称性知解利用对称性知21解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积22作业Ｐ２４２１，４，６作业Ｐ２４２１，４，６23第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积24一平行截面面积为已知的立体的体积

对一个立体，如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.一平行截面面积为已知的立体的体积对一个立体，如果25立体体积立体体积26例1

求两圆柱:

所围的立体体积

.

解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？下图就是其在第一卦限部分立体：例1

求两圆柱:

所围的立体体积

.解：两圆柱所27

该立体被平面（因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为

的正方形,所以截面面积。故两圆柱面所围成的立体的体积该立体被平面（因为两圆柱半径相同）所28解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积29

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而30xyo旋转体的体积为即体积微元为

xyo旋转体的体积为即体积微元为31解直线方程为过原点

及点解直线方程为过原点及点32数学分析第十章--定积分的应用课件33数学分析第十章--定积分的应用课件34yoxyxoyxoyoxyxoyxo35即环体体积:即环体体积:36解解37数学分析第十章--定积分的应用课件38作业P2462(1)(3)(4),3作业P2462(1)(3)(4),339第十章定积分的应用§3平面曲线的弧长第十章定积分的应用§3平面曲线的弧长401.平面曲线弧长的概念1.平面曲线弧长的概念41数学分析第十章--定积分的应用课件42对光滑曲线C:对光滑曲线C:43从而曲线的长度:从而曲线的长度:441.

弧长公式1.弧长公式45设光滑曲线弧Ｃ为故弧长为证明1.

弧长公式设光滑曲线弧Ｃ为故弧长为证明1.弧长公式46解的全长所以解的全长所以47(2)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长微元:因此所求弧长(2)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长微元:因此所求弧长48解所以弧长为解所以弧长为49设曲线弧为弧长（３）极坐标情形设曲线弧为弧长（３）极坐标情形50x0yx0y51解解521光滑曲线的概念.四小结2平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下3弧长的公式1光滑曲线的概念.四小结2平面曲线弧长的概念直角坐53作业Ｐ２５２１（１）（３）（５）作业Ｐ２５２１（１）（３）（５）54第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积551设平面光滑曲线Ｃ的方程为求它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.1设平面光滑曲线Ｃ的方程为求它绕x轴旋转一周所得到的旋56积分后得旋转体的侧面积故侧面积微元为:则侧面积近近似值为:积分后得旋转体的侧面积故侧面积微元为:则侧面积近近似值为:57侧面积微元的线性主部.不是薄片侧面积△Ｓ

的注意:侧面积微元的线性主部.不是薄片侧面积△Ｓ的注意:58例1.

计算圆x

轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:

对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R

时,得球的表面积公式例1.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:59２若光滑曲线Ｃ由参数方程给出,旋转一周所得旋转体的侧面积为则它绕

x

轴２若光滑曲线Ｃ由参数方程给出,旋转一周所得旋转体的侧面积为则60例2.

求由内摆线一周所得的旋转体的表面积S.解:

利用对称性绕

x

轴旋转例2.求由内摆线一周所得的旋转体的表面积S.解:利用61３若光滑曲线Ｃ由极坐标方程给出,则它绕极轴旋转一周所得旋转体的侧面积为这里极坐标方程可转化为参数方程３若光滑曲线Ｃ由极坐标方程给出,则它绕极轴旋转一周所得旋转体62作业Ｐ２５５１（２）（４），３（２）作业Ｐ２５５１（２）（４），３（２）63第十章定积分的应用§5定积分在物理中的某些应用第十章定积分的应用§5定积分在物理中的某些应用64一液体静压力一液体静压力65解在端面建立坐标系如图解在端面建立坐标系如图66数学分析第十章--定积分的应用课件67二、引力二、引力68解:

建立坐标系如图.细棒上小段机动目录上页下页返回结束将典型小段近似看成质点小段的质量为小段与质点的距离为解:建立坐标系如图.细棒上小段机动目录上页69故垂直分力微元为引力微元为(对质点的引力大小为)故垂直分力微元为引力微元为(对质点的引力大小为)70利用对称性棒对质点引力的水平分力机动目录上页下页返回结束故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为利用对称性棒对质点引力的水平分力机动目录上页71三功与平均功率三功与平均功率72解建立坐标系如图5m3m解建立坐标系如图5m3m73这一薄层水的重力为功微元为3m5m这一薄层水的重力为功微元为3m5m74数学分析第十章--定积分的应用课件75作业P2591,4,7作业P2591,4,776数学分析第十章定积分的应用数学分析第十章定积分的应用77

本章中我们将用前面学过的定积分的知识来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅是建立计算这些几何、物理的公式，而且微元法解决问题的定积分的分析方法。本章中我们将用前面学过的定积分的知识来78第十章定积分的应用§1平面图形的面积第十章定积分的应用§1平面图形的面积79abxyoabxyo802.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时，如下图abxyy=f(x)02.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时，如下图abx81y0xy=f(x)y=g(x)aby0xy=f(x)y=g(x)ab82

一般地,由两条曲线y=f(x)与y=g(x)以及两条直线x=a与x=b(a<b)所围平面图形的面积计算公式为一般地,由两条曲线y=f(x)与y=g(x)83解两曲线的交点解两曲线的交点84注被积函数为“右-左”右为直线，左为抛物线注被积函数为“右-左”85如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积三参数方程形式下的面积公式如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积三参数方程形式86解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．871考虑曲边梯形面积计算问题微元法abxyo1考虑曲边梯形面积计算问题微元法abxyo88面积表示为定积分要通过如下步骤：（3）求和，得A的近似值（4）求极限，得A的精确值面积表示为定积分要通过如下步骤：（3）求和，得A的近似值（89两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边的定积分表达式有很好的对应。我们让

要想得到一个定积分表达式，只要求出被积表达式这就是定积分的微元法两式，我们发现一个事实，左边的极限式子与右边要想得902定积分的微元法2定积分的微元法91微元法的一般步骤微元法的一般步骤92这个方法通常叫做微元法．应用方向：

平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．这个方法通常叫做微元法．应用方向：平面图形的面积；体积；93xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积穿针法或微元法被积函数上-下、右-左xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积穿针法或微元法被积函数上-94解两曲线的交点，面积微元选

为积分变量解方程组注被积函数为上-下，上为

下为解两曲线的交点，面积微元选为积分变量解方程组注95曲边扇形的面积四极坐标下的面积公式面积微元曲边扇形的面积四极坐标下的面积公式面积微元96解利用对称性知解利用对称性知97解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积98作业Ｐ２４２１，４，６作业Ｐ２４２１，４，６99第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积第十章定积分的应用§2由平行截面面积求体积100一平行截面面积为已知的立体的体积

对一个立体，如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.一平行截面面积为已知的立体的体积对一个立体，如果101立体体积立体体积102例1

求两圆柱:

所围的立体体积

.

解：两圆柱所围成的立体是关于8个卦限对称的，因此，它的体积是其在第一卦限体积的8倍。如何求其在第一卦限的体积？下图就是其在第一卦限部分立体：例1

求两圆柱:

所围的立体体积

.解：两圆柱所103

该立体被平面（因为两圆柱半径相同）所截的截面,是一个边长为

的正方形,所以截面面积。故两圆柱面所围成的立体的体积该立体被平面（因为两圆柱半径相同）所104解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积105

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而106xyo旋转体的体积为即体积微元为

xyo旋转体的体积为即体积微元为107解直线方程为过原点

及点解直线方程为过原点及点108数学分析第十章--定积分的应用课件109数学分析第十章--定积分的应用课件110yoxyxoyxoyoxyxoyxo111即环体体积:即环体体积:112解解113数学分析第十章--定积分的应用课件114作业P2462(1)(3)(4),3作业P2462(1)(3)(4),3115第十章定积分的应用§3平面曲线的弧长第十章定积分的应用§3平面曲线的弧长1161.平面曲线弧长的概念1.平面曲线弧长的概念117数学分析第十章--定积分的应用课件118对光滑曲线C:对光滑曲线C:119从而曲线的长度:从而曲线的长度:1201.

弧长公式1.弧长公式121设光滑曲线弧Ｃ为故弧长为证明1.

弧长公式设光滑曲线弧Ｃ为故弧长为证明1.弧长公式122解的全长所以解的全长所以123(2)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长微元:因此所求弧长(2)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长微元:因此所求弧长124解所以弧长为解所以弧长为125设曲线弧为弧长（３）极坐标情形设曲线弧为弧长（３）极坐标情形126x0yx0y127解解1281光滑曲线的概念.四小结2平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下3弧长的公式1光滑曲线的概念.四小结2平面曲线弧长的概念直角坐129作业Ｐ２５２１（１）（３）（５）作业Ｐ２５２１（１）（３）（５）130第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积1311设平面光滑曲线Ｃ的方程为求它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.1设平面光滑曲线Ｃ的方程为求它绕x轴旋转一周所得到的旋132积分后得旋转体的侧面积故侧面积微元为:则侧面积近近似值为:积分后得旋转体的侧面积故侧面积微元为:则侧面积近近似值为:133侧面积微元的线性主部.不是薄片侧面积△Ｓ

的注意:侧面积微元的线性主部.不是薄片侧面积△Ｓ的注意:134例1.

计算圆x

轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:

对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R

时,得球的表面积公式例1.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:135２若光滑曲线Ｃ由参数方程给出,旋转一周所得旋转体的侧面积为则它绕

x

轴２若光滑曲线Ｃ由参数方程给出,旋转一周所得旋转体的侧面积为则136例2.

求由内摆线一周所