xd第4节线性方程组矩阵解法

2章矩第1第2第3节逆矩阵第4的矩PAGE35/35第2性方程组第2阵的运第第2节矩阵的运算１、A设有两个mnA=aij),B=bij),那末矩阵B的和记作A+B，规定为AA+Ba11+b11 a12+b12 a1n+b1na21+ a22+ a2n+A+B am1+ am2+ amn+说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行补充例

+3+–5+4=1+–9+0+=74.3+6+8+689–A–A⁝⁝⁝

=(–aij由此定义矩阵的减法ABAB2阵加法的运算规A+B=B+(A+B)+C=A+(B+C)A+(–A)=O1、定数k与矩阵A的乘积记作kAAk,规定 kA= kA= 2、数乘矩阵的A、Bmn矩阵，kl为数k(lA)=(kl)(k+l)A=kA+k(A+B)=kA+１、设A=(aij)是一个mn矩阵, B=(bij)是一个nt矩阵,那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mt矩阵C=(cij)，其中cij=ai1b1j+ai2b2j++ainbnj=(i=1,2,…,m,j=1,2,…,t)

nln

并把此乘积记

C=注意到，CAB的ij列元素cij仅与Ai行和Bj列有关，因为cij=ai1b1j+ai2b2j++=(ai1ai2…ain

⁝补充例2求矩A的乘

B B 解CAB

补充例3求矩A的乘AB及 =

BB

注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵补充例

不存在3( 3 1

=(13+22+31)=(10２、矩阵乘法的运算规(AB)C=A(BCA(B+C)=AB+ (B+C)A=BA+kABkA)B=AkB 其中k为数AE=EA=若A是n阶方阵，则AkA的k次幂，Ak=AAk(并且AmAk= )k=Amk.(m,kk(注意矩阵不满换律，即一般情况下，AB (AB)kAkBk补充例 设A

,B

BA

但也有例外，比A A

B B则 =BA=BA补充例 计算下列乘积2 ( 2)3224解2(2)=24.336(2)( b3

a11a12a13b1a21a22a23b2a31a32a33a21=a12,a31=a13a32=a23解b1b2b3

a22 a23 = a13b1+a23b2+a33b3)=a11b12+a22b22+a33b32+2a12b1b2+2a13b1b3+补充10例设A01，求00 A2

A3=

由此归纳 A A

(k2用数学归纳法证k2时，显然成立kn时成立kn1 2

An+1=AnA

2 (n+ 2 (n+ 所以对于任意的k都 A A １、转置矩定义把矩A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT，即 AT

补充例

A 8A

AT

B=( 6B

BT 6转置矩阵的运算性(AT)T=(A+B)T=AT+(kA)T=(AB)T=证明(4)AB)T=设A=(aij)mn B=(bij)nt则(AB)T和BTAT都是tm矩阵.则(AB)T的i行j列处的元素就是 的j行i列处的元素.而AB的ji列处的元素(

…ajn

⁝

=aj1b1i+aj2b2i++另一方面

BTATij列元素就是BT的第i(

…bni

与ATj

⁝

的乘积所以,BTAT的ij列处的元素等(

…bni

⁝

=

+

++

因此，AB)T=补充例 已A A

,B ,B

,求(AB解法

AB AB

(AB)T

解法(AB)T=142210=72003=.3122、对称矩设An阶方阵若AT=A, 则称A是对称矩阵.若AT=–A,则称A是 A是对称矩阵的充要条Aaij= (i,j=1,2,…,nA是称矩阵的充要条件Aaij=–aji(i,j=1,2,…,n61680106A例61680106A B B

为称阵说明对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应称矩阵的对角线上的元素都为零补充例10设列矩Xx1x2xn)TXTX1,En阶单位矩阵，H=E–2XXT，证H是对称矩阵，且HHT=E.HTE2XXTTET2XXT=E–2XXT=H是对称矩阵=H2=(E–2XXT=E–4XXT+4(XXT)(XXT=E–4XXT+4X(XTX)=E–4XXT+4XXT=Ep.20习 证明任一n阶方阵A都可表示成对称阵与称阵之和.证 设C=A+则CTA+ATT=ATA=所以C为对称矩阵设B=A– 则BT=(A–AT)T=AT–A所以B 称矩阵A+A+ A– A=–––––+

=–+–

命题得证加矩数与矩阵相阵矩阵与