新课标人教A版名师对话数学理一轮复习作业43平面向量的数量积(含答案详析)

课时作业(二十七)一、选择题1．(2013·辽宁五校第一次联考)设点M是线段BC的中点，点A→→→→→→在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC＝－AC，则＝||AB||AM|()A．2B．4C．6D．8→→→→→→剖析：由|AB＋AC＝－AC得·＝0，所以AM为直角三角||AB|ABAC→形ABC斜边上的中线，所以|AM|＝2|BC|＝2.→答案：A2．(2013·内江第二次模拟)已知向量m＝(1,2)，n＝(1,1)且向量m与m＋λn垂直，则λ＝()A．－3B．－55335C.5D.3剖析：向量m与m＋λn垂直，所以m·(m＋λn)＝m2＋λm·n＝55＋3λ＝0得λ＝－3，选B.答案：B3．(2013·绵阳第三次诊断)以下列图，在△ABC中，D为BC的→→中点，BP⊥DA，垂足为P，且BP＝2，则BC·BP＝()A．2C．8

B．4D．16剖析：BP⊥DA

→→则BP·PD＝0，D

为

BC

→→→→中点，所以BC·BP＝2BD·BP→→→→2(BP＋PD)·BP＝2BP2＝8，选C.答案：C4．(2013·泰安质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为()ππA.2B.3ππC.4D.6剖析：设a与b夹角为θ，则a·(b－a)＝a·b－a2＝|a||b|cosθ－|a|21π＝1×6×cosθ－1＝2，∴cosθ＝2，∴θ＝3，选B.答案：B5．(2013·辽宁六校联考)已知A、B、C是平面上不共线的三点，→→→满足→→→且|OA＝＝，动点＝1－λ＋(1－λ)OB＋(1＋||OB||OC|POP3[(1)OA→2λ)OC]，λ∈R，则点P的轨迹必然经过()A．△ABC的内心B．△ABC的垂心C．△ABC的重心D．AB边的中点→→→→→剖析：取AB的中点D，则2OD＝OA＋OB，∵OP＝1－λ＋3[(1)OA→→，∴→→→＝21－λ－λ＋(1＋2λ)OC＝1－λ·＋(1＋2λ)OC(1)OB]OP3[2(1)OD]3→→21－λ1＋2λ1＋2λOD＋，而＋＝1，∴P、C、D三点共线，∴点3OC33P的轨迹必然经过△ABC的重心．答案：C6．(2013·淄博阶段性检测)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，＝，∠＝°，点在边上，且＝1，则→→等于()·AD1A60MABAM3ABDMDBA．－3B.322C．－1D．1→→→→1→→→→剖析：DM＝DA＋AM＝DA＋3DC，DB＝DA＋DC，∠ADC＝120°，→→＝→1→→→→2＋1→2＋4→→∴DM··＋DC＝DA·＝1DBDA＋3DC(DA)3DC3DADC441＋3＋3×1×2×－2＝1，选D.答案：D二、填空题17．(2013·山东泰安第二次模拟)设单位向量e1，e2满足e1·e2＝－2，则|e1＋2e2|＝________.剖析：|e1＋2e2|＝e21＋4e1·e2＋4e22＝5－2＝3.答案：38．(2013·陕西宝鸡第三次模拟)a＝(0,1)，b＝(1,0)且(a－c)·(b－c)0，则|c|的最大值为________．剖析：(a－c)·(b－c)＝0得a·b－|c|·|b＋a|·cosθ＋|c|2＝0，〈c，a＋b〉＝θ得|c|＝2cosθ，∴cosθ＝1时，|c|max＝2.答案：29．(2013·北京旭日期末)在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，＝＝，点是斜边上的一个三均分点，则→→→→＝PAB·＋CP·ACBC2CPCBCA________.→2→1→剖析：由题可得CP＝3CA＋3CB，→→→→2→1→→→2→2＋1→2所以CP·＋CP·＝·＋CB＝＝CBCA3CA＋3CB(CA)3CA3CB123＝4.答案：49．(2013·湖北武汉调研测试)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则→→(1)DE·CB的值为________．→→(2)DE·DC的最大值为________．→→→→剖析：(1)由正方形的性质，正方形的边长为1，DE·CB＝|DE|·|CB→→|cos∠ADE，而在直角三角形ADE中，DA＝DE·cos∠ADE，∴DE·|CB→→|＝|DA|·|DA|＝1×1＝1.→→＝→→π→→(2)法一：·|DE·－∠ADE＝|DE∠＝DEDC||DC|cos2|sinADE|AE→→→的最大值为1.≤|AB|＝，∴·|1DEDC→→→→→法二：由数量积的几何意义DE·为|CB与DE在CB上投影的积，CB|→→而无论E点在AB的哪个地址DE在CB上的投影均为1→→DE·CB＝1→→同理DE·DC的最大值为E在B点时其值为1.答案：11三、解答题10．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.解：(1)a·b＝2n－2，|a|＝5，|b|＝n2＋4，2n－2＝2∴cos45＝°22，∴3n2－16n－12＝0(n>1)，n52∴n＝6或n＝－3(舍)，∴b＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.又c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)，(c－a)·a＝0，|a|251∴λb·a－|a|2＝0，∴λ＝＝＝，1c＝2b＝(－1,3)．11．(2013·辽宁卷)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，πx∈0，2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解：(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.π1π又x∈0，2，从而sinx＝2，所以x＝6.(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x311π1＝2sin2x－2cos2x＋2＝sin2x－6＋2，πππ当x＝3∈0，2时，sin2x－6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.12．(2013·无锡第一中学质检)已知圆心为O，半径为1，弧度数︵︵︵为π的圆弧AB上有两点P，C，其中BC＝AC(如图)．若为圆弧︵→→(1)PBC的中点，E在线段OA上运动，求|OP＋OE的|最小值；︵(2)若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧AB上运动→→时，求PE·的最大值．PF解：(1)设OE＝x(0≤x≤1)，→→3π－21则|OP＋OE|2＝1＋2×1×x×cos＋x2＝2＋，4x222→→2所以当x＝2时，|OP＋OE|的最小值为2.(2)以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则E1，0，F0，1，设P(x，y)，则x2＋y2＝1(y≥0)，22→→＝1－x，－y·－x，1－y＝1－1＋，·PEPF222(xy)→→3所以PE·的最大值是PF2.[热点展望]13．(1)(2013湖·北武汉调研测试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，→→AB·BC＝1，则BC＝________.(2)(2013资·阳第一次模拟)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|33|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为________．(3)(2013荆·州质检(Ⅱ))在△ABC中，O是中线AM上一个动点，→→→的最小值是若AM＝4，则OA·＋OC()(OB)A．－4B．－8C．－10D．－12→→→→＝，剖析：(1)∵AB·＝|AB·π－B)BC||BC|cos(11∴|BC|cosB＝－2，由余弦定理，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB|·|BC|cosB32＝22＋|BC|2＋2，|BC|＝3.(2)由|a＋b|＝|a－b|两边平方得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，∴a·b＝0由|a＋b|＝233|a|两边平方得a2＋b2＋2a·b＝43a2，b2＝13a2＋·－a2－b2设a＋b与a－b夹角为θ，∴cosθ＝abab＝|a＋b||a－b|23233|a|·|a|3223a1＝42＝2，∴θ＝60