课件-量子力学讲义

上节课复lz

eim

m

(,

Nlm

Pm(cos)eim角动量的解

l球函l

(,

(,lml

Y

(,

(,)sindd连带Legendre多项m

lmNlm1

(l(l|m|)!(2l1)4(l|m|)!2

dlm

l

2l

dlm

1;m1方程的解就是球函数Ylm(,)，其表达式 (,

(1)m

Pm(cos)eimlm

mm1

Lz的本征函ll

Y (,

归一化系数，由归一化条件确

Y*(,

(,)

dd

lm(l(l|m|)!(2l1)4(l|m|)!2由于量子数由于量子数ℓ表征了角动量的大小，所以称为角量子数；m称为磁量子数。 Y

(,

(,)

dd lm

ll

mm或参考曾谨言【量子力学】上册3(III)(III)根据球函数定义Ylm

,

Nlm

m

)eimPlPl (,)(1)mY lm lmm可可知，对应一l值，m取值0±1±2±3,(2l+1)个值。因此当l确定后，尚有(2l+1)个磁量子状态不确定。换言之，对应一个l值有(2l+1)个量子状态，这种现象称为简并，其简(2l+1)度。xx i ,x,y,[ˆx

ˆy]

证 [ˆxˆyyˆzzˆzˆxˆz[yˆz,zˆxxˆz]

y,zˆ

xˆz[ˆz,zˆx][ˆz

xˆz][

y,zˆx][zˆy

xˆz[ˆz,zˆx][zˆy,xˆzy[ˆz,zˆx][y,zˆx]ˆzz[ˆy

xˆz

xˆzˆˆzzˆxˆzˆyz[ˆz,ˆx]y[ˆz,z]ˆx

x[z,

ˆz]ˆ

[z,

x]ˆ

ˆy(i)ˆxx(i)ˆ5i[xˆyˆx 5同理[ˆy,ˆz],ˆx]合记之：合记之：i称为符其意义如下123其中，，或x,y,xx

ˆ2

ˆ

ˆ2 xˆ2 x

ˆ2

ˆ

ˆ2

zyxyxzˆyˆxˆyˆzˆzzyxyxz可证ˆ2y0 ˆzˆyˆy可证ˆ2y0 [ˆxˆy[ˆxˆyˆyˆxˆxˆyˆyˆxˆxˆyˆ20x[ˆzx

,ˆ

]

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆz7§3.3§3.3（一）有心力场下SchrÖdinger（二）求Schrodinger（三）使用标准条件定（四）归一化系（五）总8（一）有心力场下的Schrodinger方体系HamiltonV=-Ze 质量为μ，电荷-e体系HamiltonV=-Zeˆ

2 22

Ze2r

+Ze。取核在坐标原点，HH 2 2

Ze2rr

9ˆ

2 22

Ze2r2

r22 r

r

2rrr

2[

(sin

)

222

1

Ze2 2rH2r

r

r 2

1

2

Ze2

rr

sin

(sin

)

sin2

2 xrsin

r

1

x

sin

1

y

sin

1sin z

r

r

cosrsin2

sin2

sin2

cosrcos2

sin

rrriirrrrrr2rrrrrr2r22rr2

r

r222

r

r1

2

2r22 r

r

r2r

r

2

22 r

r

2r2

22

2

Ze22(r2)2rr

(sin

)

sin2

2

rLLi;(AB)CDACBDADBrr有关而与,无关的有心力场，

1 2 1

2

Ze22(r2)r

r)

sin

(sin

)

sin2

2

r

zrzrrx 球坐标2r

(r

)

ˆ2r

Ze2

此式使用了L2此式使用了L2L21sin)12sin22（二）求解Schrodinger方

2

ˆ2

Ze222r2

r

r)

2r2

rr

r,,

令 2 2令

ˆ

Ze2注意L2Ylm注意L2Ylm=ℓ(ℓ+1)2则方程化为22r

r

2r2

R(r)Ylm(,)

ER(r)Ylm(, 2

l(l

Ze2r(r r)

2r

Rrr11dddr22r2l(lruR(r)=u(r)/d

2

Ze2

udr

2

r r 于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由和库仑势两部分组成l(l Ze2V(r)

2r d2u2dr

[E2

(r)]u讨论E讨论E0d2u2Ze2dr22r|El(l1)rud2u

2Ze2

1

|E|

l(l

1)dr

4

r

u 8|E令 22Ze2Ze2

l(l1)

2

2|Eu dr 2ddd2ud

r u1

l

u u d214l(lu(I)d2ud

1u4

u

Ae/2

/

uAe/→∞时，有限性条件要求→∞时，f()f()f()l(l1)f()所以可取解为

()e/帕斯库尔·约尔当rnstascualoran)902年出生于汉诺威，德国物理学家。子力学主要创立者之一。阵力学创立者之一。但是，他的名声显然及不上波恩或者森堡。约尔当是一个作出了许多伟大成就的科学家。除了创立了基本的矩阵力学形式为量子论打下基础之外，同样在量子场论，电子自旋，量子电动力学中作出了巨大的贡献。他是最先证明海森堡和薛定谔体系等性的人之一，他发明了尔当代数后来又广泛涉足生物学、心理学和运动学。为 有他是物理史上两篇重要的 《论量子力学》I和II的作者之一，可以说也是量子力学的主要创立者。但是，他的名声显然及不上波恩或者海森堡。1925年，约尔当才2岁，无论从资格还是名声来说，都远远及不上元老级的波恩和少年成名的海森堡。当时和他一起做出贡献的那些人，后来都变得如此著名：波恩，海森堡，泡利，他们的光辉耀眼，把约尔当完全给盖住了。从约尔当本人来说，他是一 和内向的人，说话有口吃的毛病，总是结巴巴的，所以他很少授课 。更严重的是，约尔当在二战期间站 的一边，成为一个纳粹的同情者，被指责曾经告密。这大大损18的声名古斯塔夫·路德维希·赫兹Gustavudwigrz， － ），德国物理学家，量子力学的先驱，他是192年诺尔物理学奖获得者，电磁波发现者海因里希·鲁道·尔·赫尔穆·。95 的一家研 任主管。赫兹在1961年退休后住在莱比锡，后来移年至3 ，古斯塔·赫兹与同在柏林大学任教的詹姆斯 克完成电子碰撞的 克-赫兹验，赫兹提出了电子在与子碰撞时，谱线群和能量损失相对于原子静态能量状态的定量关系，这一结果与玻尔关于原子结构的理论完全一致，后来成为了玻尔原子理论和普朗克量子理论正确性的重要。古斯塔夫·赫兹和詹姆 克也因此获得1925 物理学奖(II

l(l1)令f()令

f()

()f()

s

b0

0uf()er0R=urRr

()e/

即 即e/20

s s1s1f()

f()

l(l

f() 0

s

s

s

0

s

s1把第一个求和号中把第一个求和号中ν=0[s(s1)

l(l

s

s1)

l(l

s2[0

s)]bs1[s(s1)l(l

s2

s1)l(l

s2

s1 求和改为求和改为[(0

1

1

s1)

l(l

s1再将标号v′改用v后与第二项合并，代回上s(s1)l(l

s2

s

s)l(l

1)b1s10

上式之和恒等于零，所以的各次幂的系数均等于零，[s(s-1)-[s(s-1)-ℓ(ℓ+1)]b0=→s(s-1)-ℓ(ℓ+1)=slS=-s≥1s=高阶slS=-s≥1s=高阶项系数系数系数bν的递推公注意 s= ( (s1)(s)l(l1)

l1

b l1 b(l)(2l （三）（三）（（1）单值；（2）连续。二条件满11ρ0时，R(r)有限已s1条件所保证2.ρf(ρ)的收敛性系数与前项系数之比与谐振子问题类似，为讨论f()系数与前项系数之比

l1 1

l

11

(

1)!ef(

e

f所以讨论波函的收敛性可以e代替f

e

/2e

e 1 1所以必须把级数从某项起截断

e/

令最高幂次项的νmax令

注此时多项式最高的幂次nr则 则

于是递推公式改写 nl1 nr

bn1

nrn

2)brrn因 所 rnr分

l1

l1nr0,1,2,径量子数l 0,1,2,角量子数l

由由定义式2|E2|E|E||En

Z2e422n2

仅当粒子能量取En给出En<En<

En

22nn3 l1 b0 (l)(2l2)

将βn

nl

l

l1nl f()

b0

b

利用递推公式可把b1b2bn-ℓ-1用b0表示出来。将这些系数代入f()表达式得：f()

l1

nl

(n

1)(n

2)2

(1)nl

(n

1)(n

nl1(n

3)(nl

(2l

1)!(n

l1L2l1( [(n

l

f()

(2l

1)!(n

l1L2l1( [(n

l)!]2

式L2l1()nl[(nl)!] (nl1)!(2l1 m d

kmLk()e

dk (r)

unl(r)

unl(e/

f(

e/2Al1L2l1(

nlN

e/2lL2l1(8|8|E28Z2e4222n2nl

2Ze2n2

2Z其 a0

第一Borh第一Borh轨道半e2 RR(r)/el2l1n(注意到 r

2Zra0n则径向波函数公 (r)

Zr 2Zea0 r2Z

2l12Zr

a0

nl

a0 总波函数为：总波函数为：nlm(r,,)Rnl(rl(,至此只剩b0需要归一化条件确 （四）归一化系

R2(r)r Y*

lmRR

2(r)r2dr利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下2Z

(n

1/

na0

2n[(n

l)!]3从而系数b0也就确定