医药数理统计习题x27

医药数理统计习题x27医药数理统计习题x27123/123医药数理统计习题x27''第一章数据的描绘和整理一、学习目的和要求掌握数据的种类及特点；掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法；掌握描绘数据散布的集中趋向、失散程度和散布形状的常用统计量；能理解并娴熟掌握样本均值、样本方差的计算；认识统计图形和统计表的表示及意义；认识用Excel软件进行统计作图、频数散布表与直方图生成、统计量的计算。二、内容大纲（一）数据的分类定性数据（质量数据）定量数据数据种类定类数据定序数据数值数据（计数数据）（等级数据）（计量数据）表现形式种类种类数值（无序）（有序）(＋－×÷)对应变量定类变量定序变量数值变量（失散变量、连续变量）计算各组频数，进队列联表分计算各种统计量，进行参数预计主要统计方法和查验、回归分析、方差分析等析、2查验等非参数方法参数方法常用统计图形条形图，圆形图（饼图）直方图，折线图，散点图，茎叶图，箱形图（二）常用统计量1、描绘集中趋向的统计量''名称公式（原始数据）均值x1nxnxii1xn1，当n为奇数中位数()Me21(xnxn),当n为偶数Me1)()(众数数据中出现次数最多的察看值Mo

公式（分组数据）1kmifini1中位数所在组：积累频数超出n/2的那个最低组众数所在组:频数最大的组

意义反应数据取值的均匀水平，是描绘数据散布集中趋向的最主要测度值,是典型的地点均匀数，不受极端值的影响测度定性数据集中趋向，对于定量数据意义不大2、描绘失散程度的统计量名称极差R整体方差2整体标准差样本方差S2样本标准差S

公式（原始数据）R=最大值-最小值21Nx)2Ni(xi121N(xix)2Ni1S21n(xix)2n1i1SS21nx)2n(xi1i1

公式（分组数据）R≈最高组上限值－最低组下限值21k(mix)2fiNi121N(mix)2fiNi1S21kx)2fi(min1i1SS21kx)2fi(min1i1

意义反应失散程度的最简单测度值，不可以够反应中间数据的失散性反应每个整体数据偏离其整体均值的均匀程度，是失散程度的最重要测度值,此中标准差拥有与察看值数据同样的量纲反应每个样本数据偏离其样本均值的均匀程度，是失散程度的最重要测度值,此中标准差拥有与察看值数据同样的量纲变异系数

CV=

S

反应数据偏离其均值的相对偏100%CV样本标准误Sx

|x|Sx

差，是无量纲的相对变异性测度反应样本均值偏离整体均值的平S均程度，在用样本均值预计整体n均值时测度误差''3、描绘散布形状的统计量名称公式（原始数据）公式（分组数据）意义反应数据散布的非对称性偏度n(xix)3k3S=0时为对称；(mix)fiSkkSk1)(n2)S3i1Sk>0时为正偏或右偏；(nSknS3Sk<0时为负偏或左偏n(n1)(xix)43[(xix)2]2(n1)反应数据散布的平峰或尖Ku(n1)(n2)(n3)S4峰程度峰度（原始数据）Ku=0时为标准正态；KukKu＞0时为尖峰散布；(mix)4fi（分组数据）i13K＜0时为扁平散布nS4u在分组数据公式中，mi，fi分别为各组的组中值和察看值出现的频数。三、综合例题分析例1．证明：各数据察看值与其均值之差的平方和（称为离差平方和）最小，即对任意常数C，有nn(xix)2(xiC)2i1i1nC)2证一：设f(C)(xii1由函数极值的求法，对上式求导数，得nnf(C)2(xiC)2xi2nC,f(C)2ni1i1令f(C)=0，得独一驻点1nCxi=xni1因为f(x)2n0，故当Cx时f(C)y有最小值，其最小值为''nx)2f(x)(xi。i1证二：因为对任意常数C有nnnnn(xix)2(xiC)2xi2nx2(xi22CxinC2)i1i1i1i1i1nx2nxinC2n(x2C2)2C2Cxi1n(xC)20nx)2nC)2故有(xi(xi。i1i1四、习题一解答1．在某药合成过程中，测得的转变率（%）以下：（1）取组距为，最低组下限为，试作出频数散布表；2）作频数直方图和频次折线图；3）依据频数散布表的分组数据，计算样本均值和样本标准差。解：（1）所求频数散布表：转变率的频数散布表转变率分组频数频次积累频次～1～0～3～11～9''～7～7～2（2）频数直方图：直方图12频数1110987764322100转变率频次折线图：转变率频次折线图频次0转变率909192939495（3）由频数散布表可得转变率分组组中值mi频数～1～0～3～11''～9～7～7～2x1890.751094.252371392.825nimifi40401S218x)2fi(mi1i11－92.825)2×－92.825)2×0+⋯－92.825)2×2]39或许S218(mi2finx2)1i112202239S2≈2．得10名接触某种病毒的工人的白胞（109/L）以下：，，，，，，，，，（1）算其本均、方差、准差、准和异系数。（2）求出数据的准化；（3）算其偏度。10解：（1）xi67.75，n=10i110xi226.522i1本均x1n67.756.775nixi101''方差S21(n22)12n1xinx(462.3510i19标准差SS2=0.371≈标准误SxS0.609n40变异系数CV=S100%=100%=8.99%；|x|（2）对应的标准化值公式为ui对应的标准化值为

xixxiS；n(xix)33。（3）Sk1)(n2)S(n已知某年某城市居民家庭月人均支出分组数据以下表所示按月人均支出分组（元）家庭户数占总户数的比率（%）200以下200～500～800～1000以上共计100试计算（1）该市均匀每户月人均支出的均值和标准差；（2）并指出其月人均支出的中位数与众数所在组。解：（1）由原分组数据表可得支出分组（元）组中值比率（%）''200以下100200～350500～650900800～11001000以上x15mifi1（11008.2）687.3ni110015S2(mi2finx2)1i11（10021.5350218.2110028.25687.32）9952468.39SS2；（2）由原分数据表可得支出分组（元）比率（%）积累比率（%）200以下200～500～800～1001000以上中位数所在，即累比率超50的那个最低，即500～。众数所在是数即比率最大的，也是500。～4．x,x,⋯，x和y,y,⋯，y两本察，它有以下关系：12n12nxia⋯,nyii=1,2,b此中a、b常数且b≠0，求本均x与y及本方差Sx2和S2y之的关系。''解：y1n1n(xia11nxinaxani1yi)()bni1bbni1nSy21ny)21n(xaxa)21n(xx)2(yin1i1n1i1bbn1i1b11n212(xix)b2n1i1b2Sx。五、思虑与练习（一）填补题1．统计数据能够分为数据、据等三类，此中数据、2．常用于表示定性数据整理结果的统计图有而、、、

数据、数据、数据属于定性数据。、；等是专用于表示定量数据的特点和规律的统计图。3.用于数据整理和统计分析的常用统计软件有等。4.描绘数据集中趋向的常用测度值主要有、、和等，此中最重要的是；描绘数据失散程度的常用测度值主要有、、、等，此中最重要的是

、

。（二）选择题1.各种本察看值均加同一常数

c后(

)A．样本均值不变，样本标准差改变B．样本均值改变，样本标准差不变C．二者均不变D.二者均改变2．对于样本标准差，以下哪项是错误的（）。A．反应样本察看值的失散程度B．胸怀了数据偏离样本均值的大小C．反应了均值代表性的利害D．不会小于样本均值3．比较腰围和体重两组数据变异度大小宜采纳（）''A．变异系数（C．极差（R）

CV）

B．方差（S2）D．标准差（S）（三）计算题在某次实验中，用洋地黄溶液分别注入10只家鸽内，直至动物死亡。将致死量折算至本来洋地黄叶粉的重量。其数据记录为（单位：mg/kg），，102，129，，，，，，试计算该组数据的样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。六、思虑与练习参照答案（一）填补题定类，定序，数值，定类，定序条形图、圆形图；直方图、频数折线图、茎叶图、箱形图SAS、SPSS、Excel均值、众数、中位数，均值，极差、方差、标准差、变异系数，方差、标准差（二）选择题1.B；；（三）计算题1．均值、方差、标准差、标准误、变异系数11.67%。''第二章随机事件与概率一、学习目的和要求掌握事件等的基本见解及运算关系；娴熟掌握古典概率及计算；理解统计概率、主观概率和概率的公义化定义；娴熟掌握概率的加法公式、乘法公式及计算；理解并掌握条件概率与事件独立性的见解并进行计算；掌握并应用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。二、内容大纲（一）基本见解观点符号概率论的定义会合论的含义拥有以下特点的察看或试验：随机试验1．试验在同样的条件下可重复地进行E2．试验的全部结果起初已知，且不单一个（试验）3．每次试验恰巧出现此中之一，但试验前没法预知终归出现哪一个结果。样本空间试验全部可能结果构成的会合，即全部基全集本领件的全体基本领件试验的每个不可以再分的可能结果，即样本元素（样本点）空间的元素随机事件A试验中可能发生也可能不发生的结果，是子集（事件）由基本领件构成的样本空间的子集必然事件在试验中必然发生的事件全集不可以能事件在试验中必然不发生的事件，不含任何基空集本领件''（二）事件间的关系关系符号概率的定会合的含包括AB事件A的生必然致事件B的生A是B的子集相等A=BAB并且BAA与B相等和(并)A+B(A∪B)事件A与B中最罕有一个事件生A与B的并(交)AB(A∩B)事件A与B同生A与B的交差A－B事件A生同B不生A与B的差互不相容AB=事件A与B不可以能同生A与B不订交立A事件A不生A的集(余集)（三）事件的运算规律运算律公式交律A+B=B+A，AB=BA合律(A+B)+C=A+(B+C)，(AB)C=A(BC)分派律(A+B)C=AC+BC，A+(BC)=(A+B)(A+C)差律ABABAAB立律AA=，A+A=Ω德·摩根偶律ABAB，ABAB（四）概率的定义型

定公式古典概率

P(A)=

mn

A所含的基本领件数基本领件数概率nA)P(A)=p(≈fnAn本空中任意事件A的一个数P(A)，足公义化定公义1（非性）：0≤P(A)≤1(基天性)公义2（范性）：P()＝1，P()＝0公义3（可加性）：若A1,A2,⋯,An,⋯,两两互不相容，''P(A1+A2+⋯+An+⋯)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)+⋯称P(A)随机事件A的概率。（五）概率的计算公式名称加法公式立事件公式事件之差公式条件概率公式乘法公式独立事件公式全概率公式逆概率公式（叶斯公式）完事件{A1,A2,⋯,An}

算公式P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)若A、B互不相容（AB=）：P(A+B)=P(A)+P(B)P(A)=1－P(A)；P(A)=1－P(A)P(A－B)=P(A)－P(AB)若BA,P(A－B)=P(A)－P(B)P(B|A)P(AB),(P(A)>0)P(A)若P(A)>0,P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)>0,P(AB)=P(B)P(A|B)当P(A1A2⋯An-1)>0，有P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)⋯P(An|A1A2⋯An-1)A、B互相独立：P(AB)=P(A)P(B)A1,A2,⋯,An互相独立：P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2)⋯P(An)若A1,A2,⋯,An完事件*，事件BnPBP(Ai)P(B|Ai)1若A1,A2,⋯,An完事件*，P(B)>0P(Aj|B)P(Aj)P(B|Aj)nP(Ai)P(B|Ai)i11.A,A,⋯,A互不相容且P(A)>0(i=1,2,⋯,n)；12ni2.A+A+⋯+A=12n''三、综合例题分析例1从某鱼池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。现从该池中任意捉来50条鱼，发现此中有两条有记号，问池内大概有多少条鱼？解：设池内大概有n条鱼，令A={从池中捉到有记号鱼}则从池中捉到有记号鱼的概率P(A)=100n由统计概率的定义知，它近似于捉到有记号鱼的频次fn(A)=2，即501002n50解之得n=2500，故池内大概有2500条鱼。例2口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求总值超出一角的概率。解一：令A={总值超出一角}，现将从10个硬币中任取5个的每种取法作为每个基本领件，明显本例属于古典概型问题，可利用组合数来解决。所取5个硬币总值超过一角的情况，其币值由大到小可依据此中有2个伍分、有1个伍分和没有伍分来考虑。则C22C83C21C32C52C21C33C52126P(A)C105。252解二：本例也能够先计算其对峙事件A={总值不超出一角}察看5个硬币总值不超出一角的情况，其币值由小到大先依据壹分硬币、贰分硬币的不同样个数来计算其有益情况的组合数。则P(A)1P(A)1C55C54C51C53(C32C31C21)C52C331126C105252''51413C8（C5C3C5)126或P(A)1P(A)1C1051252例3将n个人等可能地分派到N（n≤N）间房中去，试求以下事件的概率：（1）A={某指定的n间房中各有一人}；（2）B={恰有n间房，此中各有一人}；（3）C={某指定的房中恰有m（m≤n）个人}。解：把n个人等可能地分派到N间房中去，因为并无穷制每一间房中的人数，故是一可重复的摆列问题，这样的分法共有Nn种。（1）对事件A，对指定的n间房，第一个人可分派到该n间房的任一间，有n种分法；第二个人可分派到余下的n－1间房中的任一间，有n－1种分法，以此类推，获得A共含有n!个基本领件，故P(A)

n!Nn（2）对事件

B，因为

n间房没有指定，所以可先在

N间房中任意选出

n间房（共有CNn

种选法），此后对于选出的某

n间房，依据上边的分析，可知

B共含有

CNn

·n！个基本领件，进而CNnn!P(B)Nn（3）对于事件C，因为m个人可从n个人中任意选出，故有Cnm种选法，而其余n－m个人可任意地分派到其余的N－1间房中，共有(N－1)n-m种分派法，故C中共含有Cnm·(N－1)n-m个基本领件，所以P(C)Cnm(N1)nmCnm(1)m(11)nmNnNN注意：可纳入上述“分房问题”来办理的古典概型的实诘问题特别多，比方：（1）诞辰问题：n个人的诞辰的可能情况，这时N=365天（n365）；≤（2）乘客下车问题：一客车上有n名乘客，它在N个站上都停，乘客下车的各种可能情况；''（3）印刷错误问题：n个印刷错误在一本有N页的书中的全部可能的散布（n不超出每一页的字符数）；（4）放球问题：将n个球放入N个盒子的可能情况。值得注意的是，在办理这种问题时，要分清什么是“人”，什么是“房”，一般不可以够颠倒。例4（1994年考研题）设A，B为两事件，且P(A)=p，P(AB)=P(AB)，求P(B)。解：因为P(AB)P(AB)1P(AB)1[P(A)P(B)P(AB)],现因为P(AB)=P(AB)，则P(AB)1P(A)P(B)P(AB)又P(A)=p，故P(B)

1P(A)

1

p。注意：事件运算的德·摩根律及对峙事件公式的适合应用。例5设某地域位于河流甲、乙的交汇处，而任一何流泛滥时，该地域即被吞没。已知某时期河流甲、乙泛滥的概率分别为0.2和，又当河流甲泛滥时，“惹起”河流乙泛滥的概率为，求1）当河流乙泛滥时，“惹起”河流甲泛滥的概率；2）该时期内该地域被吞没的概率。解：令A={河流甲泛滥}，B={河流乙泛滥}由题意知，，再由乘法公式×，则（1）所求概率为P(AB)P(A|B)P(B)''（2）所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)－－。例6设两个互相独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P(A)。解：由题设可知因为A和B互相独立，则P(AB)=P(A)P(B)，再由题设可知P(AB)P(A)P(B)1，9P(AB)P(AB)又因为P(AB)P(AB)，即P(A－B)=P(B－A)，由事件之差公式得P(A)P(AB)P(B)P(AB)则有P(A)=P(B)，进而有P(A)P(B)故有(P(A))21,P(A)193即P(A)2。1P(A)3例7（1988年考研题）玻璃杯成箱销售，每箱20只，假定各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0，，0.1和，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购置时，售货员任意取一箱，而顾客开箱随机地查察4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，不然退回。试求（1）顾客买下该箱的概率α；''（2）在客下的一箱中，确没有残次品的概率β。解：因为玻璃杯箱共有三，分含0，1，2只残次品。而售取的那一箱能够是三中的任一箱，客是在售取的一箱中的，客能否下一箱是与售取的是哪一的箱子有关系的，的概率算一般可用全概率公式解决，第二是叶斯公式也即条件概率。第一令A={客下所看一箱}；B={售取的箱中恰巧有i件残次品}，i=0，1，2。然，B0，1，2构成一完事件。且BBP(B0)0.8,P(B1)0.1,P(B2)0.1,P(ABC1944)C18412.0)1,P(AB),P(AB5C20419C204（1）由全概率公式，有2412P(A)P(Bi)P(ABi)1i0519（2）由逆概率公式，得P(B0)P(AB0)0.81P(B0A)P(A)注意：本是典型的全概率公式与叶斯公式的用。例8．（小概率事件原理）随机中某事件A生的概率ε，明，不ε>0怎样小，只需不停独立重复地做此，事件A早会生的概率1。：令Ai={第i次中事件A生⋯},i=1,2,3,由意知，事件A1,A2,⋯,An,⋯互相独立且P(A)=，i=1,2,3,⋯，i在n次中事件A生的概率12nAA2AP(AAA)=1－P(1n)=1－P(A1)P(A2)P(An)1(1)n当n→+∞,即事件A早会生的概率''P(A1

A2

An

)=lim1

(1

)n=1。n四、习题二解答1．察看随机：“一枚骰子，察其出的点数”。假如i={一枚骰子所出的点数i},i=1,2,⋯,6用i来表示的基本领件、本空Ω和事件A={出奇数点}和事件B={点数最少是4}。解：基本领件：{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}。本空Ω={0，1，2，3，4，5，6}。事件A={1，3，5}；B={4，5，6}。2．用事件A、B、C表示以下各事件：（1）A出，但B、C不出；（2）A、B出，但C不出；（3）三个都出；（4）三此中最罕有一个出；（5）三此中最罕有两个出；（6）三个都不出；（7）只有一个出；（8）不多于一个出；（9）不多于两个出。解：（1）ABC（2）ABC（4）ABCABCABC

（3）ABC

ABCABC

ABC

ABC或A+B+C或

ABC（5）ABCABCABCABC6）ABC或－(A+B+C)或ABC7）ABC+ABC+ABC''8）ABC+ABC+ABC+ABC（9）ABCABCABCABCABCABCABC或－ABC或ABC3．从52张扑克牌中，任取4张，求这四张花色不同样的概率。解：现将从52张扑克牌中任取4张的每种取法作为每个基本领件，其结果与顺序没关，故可用组合数来解决该古典概型问题。PmC131C131C131C131134nC5240.1055。52515049/4!4．在一本标准英语词典中共有55个由两个不同样字母构成的单词，现从26个英文字母中任取两个字母排成一个字母对，求它正是上述词典中单词的概率。解：现将从26个英文字母中任取两个字母件的每种取法作为每个基本领件，其结果与序次有关，故可用摆列数来解决该古典概型问题。m5555。PA262n26255．某产品共20件，此中有4件次品。从中任取3件，求以下事件的概率。（1）件中恰有2件次品；（2）3件中最罕有1件次品；（3）3件全部是次品；（4）3件全部是正品。解：现将从20件产品中任取3件的每种取法作为每个基本领件，其结果与序次没关，故可用组合数来解决该古典概型问题。（1）P(A)mC42C161；nC203（2）P(B)1P(B)m1C1631C203n或P(B)mC41C162C42C161C43C1600.5088；nC203（3）P(C)mC43；nC203''（4）P(D)mC163。nC2036．房间里有10个人，分别佩带着1～10号的纪念章，现等可能地任选三人，记录其纪念章号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。解：设A={任选三人中最小号码为5}，B={任选三人中最大号码为5}（1）对事件A，所选的三人只好从5～10中采纳，并且5号必然被选中。mC11C521；P(A)C103n12（2）对事件B，所选的三人只好从1～5中采纳，并且5号必然被选中。mC11C421。P(B)C103n207．某大学学生中近视眼学生占22%，色盲学生占2%，此中既是近视眼又是色盲的学生占1%。现从该校学生中随机抽查一人，试求：（1）被抽查的学生是近视眼或色盲的概率；（2）被抽查的学生既非近视眼又非色盲的概率。解：设A={被抽查者是近视眼}，B={被抽查者是色盲}；由题意知，，，，则（1）利用加法公式，所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)－－；（2）所求概率为P(AB)=P(AB)=1－P(A+B)=1－。注意：上述计算利用了德·摩根对偶律、对峙事件公式和（1）的结果。8．设，P(B)=0.3且。求：（1）P(A+B)；（2）P(A+B)。解：（1）P(A+B)=P(A)+P(B)－－；2）P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=[1－P(A)]+P(B)－P(B－A)=1－P(A)+P(B)－[P(B)－P(AB)]=1－P(A)+P(AB)=1－。注意：上述计算利用了加法公式、差积变换律、对峙事件公式和事件之差公式。''9．假定接受一批药品时，查验此中一半，若不合格品不超出2％，则接收，不然拒收。假定该批药品共100件，此中有5件不合格，试求该批药品被接收的概率。解：设A={50件抽检药品中不合格品不超出1件}，据题意，仅当事件A发生时，该批药品才被接收，故所求概率为mC9550C51C95490.1811。P(A)C10050n10．设A,B为任意两个事件，且P(A)＞0，P(B)＞0。证明：（1）若A与B互不相容，则A和B不独立；（2）若P(B|A)=P(B|A)，则A和B互相独立。证明：（1）用反证法。假定A和B独立，因为已知A与B互不相容，则AB=，P(AB)=P()=0故P(A)P(B)=P(AB)=0但由已知条件P(A)＞0，P(B)＞0得P(A)P(B)>0，由此导出矛盾，所以若A与B互不相容，则A和B不独立。（2）由已知P(B|A)=P(B|A)，又P(B|A)P(AB)，P(B|A)P(AB)P(A)P(A)则P(AB)P(AB)P(BA)P(B)P(AB)P(A)P(A)1P(A)1P(A)即P(AB)[1－P(A)]=P(A)[P(B)－P(AB)]P(AB)－P(AB)P(A)=P(A)P(B)－P(A)P(AB)故P(AB)=P(A)P(B)这即A和B互相独立。（2）又证：由已知P(B|A)=P(B|A)P(AB)P(BA)P(B)P(AB)P(A)1P(A)1P(A)即P(B|A)[1－P(A)]=P(B)－P(AB)''P(B|A)－P(B|A)P(A)=P(B)－P(AB)P(B|A)－P(AB)=P(B)－P(AB)P(B|A)=P(B)这即A和B互相独立。11．已知，，，求：（1）P(AB)；（2）P(A＋B)；（3）P(B|A)；（4）P(AB)；（5）P(A|B)。解：（1）P(AB)=P(B)P(A|B)=0.3×；（2）P(A+B)=P(A)+P(B)－－；P(AB)（3）P(B|A)0.6；P(A)（4）P(AB)=P(A－B)=P(A)－－；P(AB)P(AB)1P(AB)10.9429。（5）P(A|B)1P(B)1P(B)1P(B)12．某种动物活到12岁的概率为，活到20岁的概率为，问现年12岁的这种动物活到20岁的概率为多少？解：设A={该动物活到12岁}，B={该动物活到20岁}；由题意知，明显该动物“活到20岁”必然要先“活到12岁”，即有BA，且AB=B，则所求概率是条件概率P(AB)P(B)P(B|A)P(A)0.5。P(A)13．甲、乙、丙三人各自独立地去破译一密码，他们能译出该密码的概率分别是1/5，2/3，1/4，求该密码被破译的概率。解：设A={甲译出该密码}，B={乙译出该密码}，C={丙译出该密码}.由题意知，A，B，C互相独立，并且P(A)=1/5，P(B)=2/3，P(C)=1/4''密被破的概率413P(A+B+C)=1－P(ABC)=1－P(A)P(B)P(C)=1354或P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=12112112112140.8。534535434534514．有甲乙两批种籽，芽率分0.8和，在两批种籽中各任意抽取一粒，求以下事件的概率：（1）两粒种籽都能芽；（2）最罕有一粒种籽能芽；（3）恰巧有一粒种籽能芽。解：A={甲种籽能芽},B={乙种籽能芽}由意知，A与B互相独立，且有，，所求概率1）×；2）P(A+B)=1－P(AB)=1－P(AB)=1－P(A)P(B)=1－×；（3）P(ABAB)=P(A)P(B)P(A)P(B)××。15．甲、乙两城的通路有n个互相独立的中站，每此中站中止的概率均p，求：（1）甲、乙两城通中止的概率；（2）若已知，在甲、乙两城至多只好多少此中站，才能保两地通不中止的概率不小于？解：Ak={第k此中站通中止⋯，12⋯n互相独立，而},k=1,2,,nA,A,,A且有P(Ak⋯。)=p,k=1,2,,n（1）所求概率P(A1+A2+⋯+An)=1－P(A1A2An)=1－P(A1A2An)=1－P(A1)P(A2)P(An)=1－(P(A1))n1－(1－p)n；（2）甲、乙两城至多只好n此中站，由意，足P(A1A2An)=(1－p)n≥，''即(1－0.005)n≥n≥n≤log故n=10，即甲、乙两城至多只好10此中站。16．在必然条件下，每射一炮中机的概率是，有若干的炮独立地同射一炮，欲以99%的掌握中机，最少需要配置多少的炮？解：最少需要配置n炮。再Ak={第k炮中机},k=1,2,⋯,n，A1,A2,⋯,An互相独立，并且有P(Ak)=0.6,k=1,2,⋯,n。由意，有P(A1+A2+⋯+An)=1－P(A1A2An)=1－P(A1)P(A2)P(An)=1－(P(A1))n1－0.4n≥即0.4n≤，有n≥log故n=6，所以最少需要配置6炮。17．甲袋中有3只白球，7只球，15只黑球；乙袋中10只白球，6只球，9只黑球。从两袋中各取一球，求两球色同样的概率。解：以A1、A2、A3分表示从甲袋中任取一球白球、球、黑球；以B1、B2、B3分表示从乙袋中任取一球白球、球、黑球。所求两球色同样的概率P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)31076159207。25252525252562518．在某地供的某品中，甲、乙两厂的品各占65%、35%，且甲、乙两厂''的该药品合格率分别为90%、80%，现用A1、A2分别表示甲、乙两厂的药品，B表示合格品，试求：P(A1)、P(A2)、P(B|A1)、P(B|A2)、P(A1B)和P(B)。解：由题中已知条件可得P(A1，P(A2，P(B|A1，P(B|A2，P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=0.650×，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.650×.9+0.350×。19．某地为甲种疾病多发区，其所辖的三个小区A1，A2，A3的人口比率为9∶7∶4，据统计资料，甲种疾病在这三个小区的发病率挨次为4‰，2‰，5‰，求该地甲种疾病的发病率。解：设以A1、A2、A3表示病人分别来自小区A1、A2、A3，以B表示患甲种疾病。则由题意知P(A1)=9，P(A2)=7，P(A3)=4，202020P(B|A1，P(B|A2，P(B|A3，则该地甲种疾病的发病概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=9740.0035‰。20202020．若某地成年人中肥胖者（A1）据有10％，中等者（A2）占82％，瘦弱者（A3）占8％，又肥胖者、中等者、瘦弱者患高血压病的概率分别为20％，10％，5％。（1）求该地成年人患高血压的概率；（2）若知某人患高血压病，他最可能属于哪一种体型？解：设B={该地成年人患高血压}，则由题意知P(A1，P(A2，P(A3，P(B|A1，P(B|A2，P(B|A3，（1）该地成年人患高血压的概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)；（2）若已知某人患高血压病，他属于肥胖者（A1）、中等者（A2）、瘦弱者（A3）''体型的概率分别为1P(A1)P(B|A1)P(A|B)=P(B)P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)P(B)P(A3)P(B|A3)P(A3|B)=P(B)因为P(A213|B)>P(A|B)>P(A|B)故若知某人患高血压病，他最可能属于中等体型。21．三个射手向一敌机射击，射中概率分别为，0.6和。若一人射中，敌机被击落的概率为；若两人射中，敌机被击落的概率为；若三人射中，则敌机必被击落。（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。解：设A1、A2、A3分别表示第一个射手、第二个射手、第三个射手射中敌机；B0、B1、B2、B3分别表示无人射中、一人射中、两人射中、三人射中敌机；C表示敌机被击落。则A1、A2、A3互相独立，且由题意可得P(A1，P(A2，P(A3P(B0)=P(123)=P(A1)P(A2)P(

A3)=0.60×.4×P(B1)=P(A1A2A3

A1A2A3

A1A2A3)=

P(A1A2A3)

P(A1A2A3)

P(A1A2A3

)=P(A1)P(A2

)P(A3)

P(A1)P(A2

)P(A3)

P(A1)P(A2)P(A3)

×0.4×0.3+0.60×.6×0.3+0.60×.4×P(B2)=P(

A1A2A3

A1A2A3

A1A2A3)=P(A1A2A3)

P(A1A2A3)

P(A1A2

A3

)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)=0.4×0.6×0.3+0.60×.6×0.7+0.40×.4×P(B3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.40×.6×P(C|B0)=0，P(C|B1，P(C|B2，P(C|B3)=1（1）敌机被击落的概率为''P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)=0×0.072+0.20×.324+0.60×.436+1×；（2）所求概率为3P(B3)P(C|B3)0.1681。P(B|C)=P(C)五、思虑与练习（一）填补题1．若，，则（1）若A和B独立，则P(A+B)=－；，P(BA)=（2）若A和B互不相容，则P(A+B)=，P(B－A)=；（3）若AB，则P(A+B)=－。，P(BA)=2.假如A与B互相独立，且，则P(AB)=。3．在4次独立重复试验中，事件A最少出现1次的概率为65，则在每次试验中81事件A出现的概率是。（二）选择题1.以下说法正确的选项是（）A.任一事件的概率总在(0,1)以内B.不可以能事件的概率不用然为0C.必然事件的概率必然为1D.以上均不对。2．以A表示事件“甲种药品热销，乙种药品滞销”，则其A的对峙事件为（A.甲，乙两种药品均热销B.甲种药品滞销，乙种药品热销C.甲种药品滞销”D.甲种药品滞销或乙种药品热销3.有100张从1到100号的卡片，从中任取一张，取到卡号是7的倍数的概率为

）（）''A.7B.750100C.7D.15481004.A和B互不相容,且P(A)>0，P(B)>0，以下正确的选项是（）A.P(B|A)>0B.P(A)=P(A|B)C.P(A|B)=0D.P(AB)=P(A)P(B)（三）计算题1．Ω={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4}，B={3，4，5}。求以下事件:1）AB；（2）A+B。2．某城市的号由0，1，2，⋯，910个数字中任意8个数字成，求以下号出的概率：1）数字各不同样的号（事件A）；2）不含2和7的号（事件B）；3）5恰巧出两次的号（事件C）。3．一部五卷的文集，按任意序次放到架上去，求以下事件的概率：1）第一卷出在两；2）第一卷及第五卷出在两；3）第一卷或第五卷出在两；4）第三卷正幸亏正中。4．路由池A与两个并的池B、C串而成，池A、B、C能否坏互相独立，且它坏的概率挨次，，，求路生断的概率。一医院房中的某种品是由三个不同样的厂生的，此中一厂、二厂、三厂生的品分占1/4、1/4、1/2。已知一厂、二厂、三厂生品的次品率分是7%，5%，4%。从中任取一品，求（1）品是次品的概率；''（2）若已知任取的药品是次品，求该次品是由三厂生产的概率。6．盒中放有

12个乒乓球，此中有

9个球是新球。第一次竞赛从盘中任取

3个来用，竞赛后仍放回盒中；第二次竞赛时又从盒中任取

3个。（1）求第二次拿出的球都是新球的概率；（2）若已知第二次拿出的球都是新球，求第一次取到的都是新球的概率。六、思虑与练习参照答案（一）填补题（1），；（2），；（3），13（二）选择题；；；（三）计算题A={1,5，6,7}，B={1,2，6,7}，则（1）AB={1,6,7}；（2）A+B={1，3，4，5，6，7}2．（1）PA109876543A108108108（2）PB88810（3）PCC82961083.（1）PC21A442；（2）PA22A331；A555A5510（3）P2C21A44A22A3371A32A337；A55；或PA551010''或P2C21C31A33A22A337A5510（4）PA441A5554．已知，，P(C)=0.2且A、B、C互相独立则所求概率P(ABC)=P(A)+P(BC)－P(ABC)=P(A)+P(B)P(C)－P(A)P(B)P(C)×－××令A={该药品是次品}；Bk={药品是由k厂生产的}，k=1，2，3。由题意知P(B1)=0.25,P(B2，P(B3，P(A|B1，P(A|B2，P(A|B3，1）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|P2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)×××2）P(B3|A)PA|B3P(B3)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|B3)P(B3)6．令A={第一次竞赛任取3球中有k个新球}，k=0，1，2，3；kB={第二次拿出的球都是新球}。由题意得P(Ak)=C33kC9k，P(B|Ak)=C93k，k=0，1，2，3。C123C1233P(Ak)P(B|Ak)3C33kCk9C93k（1）PBk0C123C123k0（2）P(A|B)P(A3)P(B|A3)P(A3)P(B|A3)33P(B)P(Ai)P(B|Ai)i0

33C9C6C123C123''第三章随机变量及其散布一、学习目的和要求理解随机变量及其散布函数的见解；娴熟掌握失散型、连续型随机变量的散布及性质；娴熟掌握常用数字特点：数学希望E(X)和方差D(X)及其性质；娴熟掌握二项散布、泊松散布、正态散布等的性质及概率计算；认识随机变量函数的散布；认识随机向量及散布函数的见解、性质；掌握失散型随机向量和连续型随机向量及其散布；掌握二维随机向量的数字特点；认识契比晓雪夫不等式和大数定律及其意义；掌握中心极限制理及其应用；认识用Excel计算二项散布、泊松散布、正态散布等常用散布的概率。二、内容大纲（一）随机变量及常用散布失散型随机变量及常用散布名称定散布律P{X=xk}=pk，k=1,2,⋯或Xx1x2⋯xk⋯Pp1p2⋯p⋯k0-1散布P{X=1}=p,P{X=0}=q，或X01Pqp二散布P{X=k}=Cnkpkqnk，B(n,p)k=0,1,⋯,n

性或背景注pk≥0，k=1,2,⋯2.pk1k1二散布n=1的特例：EX=pB(1,p)(一重努里)D(X)=pqXn重努里中AEX=np事件生的次数D(X)=npq''泊松散布P{X=k}=k，二散布泊松近似公式EX=eP()k!k(≈np)D(X)=k＝0,1,2,⋯,>0是常数Cnkpkqnkek!(n很大，p小)超几何knk无放回品抽nMP{X=k}=CMCNMEX=N散布CNn当N→+∞，Mp，nM(Nn)(NM)k=1,2,⋯,min(M,n)CNkCNnkMND(X)N2(N1)kknklimnCnpqNCN连续型随机变量及常用散布名称定任意a<b有b密度函数P{a<X≤b}=f(x)dxaf(x)1(x)2正散布f(x)=e22N(,2)2∞<x<+∞1x2准正散布(x)=e2N(0,1)2∞<x<+∞指数散布f(x)ex,x00,x0E()均匀散布f(x)1,axbbU[a，b]a0,其余,f(x)=数正散布1(lnx)2e22，x0LN(,2)2x0,x0

性或背景f(x)≥0f(x)dx1任意常数a，有P{X=a}=0P{a<X≤b}=ba()()(x)=1－(x)(x)可表算此中(x)是散布函数常用作“寿命”散布>0常数直上几何概率模型的散布描绘若X遵照数正散布LN(,2)，lnX～N(,2)

注等价定：X的散布函数有F(x)=xf(t)dt,∞＜x＜+∞E(X)=D(X)=2E(X)=0D(X)=1E(X)=1/D(X)=1/2E(X)=(a+b)/2D(X)=(b-a)2/122E(X)e2D(X)21)e22(e''f(x)=m=1且=0时为指数散布函数为韦布尔散布散布；m=3.5时近似(x)m(x)mW(m,,)m(x-)m-1e，xF(x)=1e，0，于正态散布x(x>)随机变量的散布函数种类定义性质通用定义F(x)＝P{X≤x}，1.0≤F(x)≤1;﹣∞＜x＜+∞2.F(﹣∞)=0,F(+∞)=1失散型F(x)=pi,3.F(x)对x单一不减Xxix4.F(x)为右连续﹣∞＜x＜+∞连续型xF(x)=f(t)dt,X﹣∞＜x＜+∞

备注P{a<X≤b}=F(b)－F(a)pkP{Xxk}F(xk)F(xk0)f(x)=F(x)bP{a<X≤b}=f(x)dxa（二）随机变量的数字特点种类定义性质失散型E(X)=xkpk1.E(C)＝C（C为常数）2.E(CX)＝C·E(X)数学希望k13.E(X±Y)＝E(X)±E(Y)E(X)连续型E(X)=xfxdx4.若X、Y互相独立,则E(X·Y)＝E(X)·E(Y)方差D(X)=E[(X－E(X))2]1.D(C)＝0（C为常数）D(X)2.D(CX)＝C2·D(X)标准差XDX3.若X、Y互相独立,则D(X±Y)＝D(X)+D(Y)(X)E[(XEX)2]4.D(X)=E(X2)－(EX)2协方差Cov(X,Y)1.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)cov(X,Y)=E[(X－E(X))(Y－E(Y))]12,Y)2.Cov(X+X

备注描绘随机变量全部可能取值的均匀水平描绘随机变量取值相对于均值的均匀失散程度描绘X与Y的误差的关系程''=E(XY)－E(X)·E(Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)度3.X与Y独立Cov(X,Y)=04.D(X±Y)＝D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)有关系数XYXY

1.|XY|≤1；描绘X与Y2.|XY|=1存在常数a、bCovX,Y性有关程度；DXDY使得P{Y=aX+b}=1；XY=0，称X与与Y独立X与Y不有关，Y不有关；反之不用然成立。（三）随机变量函数的散布型X的散布函数Y=g(X)的散布Y的散布律失散型X的散布律)}=p，k=1，2，⋯。P{Y=g(xkkP{X=x}=p，kkXk=1,2,⋯如有某些g(xi)相等，其作适合的并，即概率相加散布函数法：F(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}fX(x)dxY{x:g(x)y}

数学希望公式E(Y)E[g(X)]g(xk)pkk1Y=g(X)的密度：f(y)=F′(y)YY型X的密度定理公式法：E(Y)E[g(X)]XfX(x)若y=g(x)在fX(x)非零区上格，g(x)f(x)dx.h(y)是y=g(x)的反函数fX[h(y)]|h'(y)|,yfY(y)0,其余,（四）二维随机向量及散布二维失散型随机向量名称定性或背景注''合1.pij≥0，i,j=1,2,⋯,合散布律的列表构散布律PXxi,Yyjpij,i,j1,2,2.pij1（概率散布表）t1j1X的PXxipijpi.,由合散布律“行相加”散布j1随机量X的散布律i1,2,Y的PYyjpijp.j,由合散布律“列相加”散布i1随机量Y的散布律j1,2,.独立性X与Y互相独立X、Y的散布完满按定独立性，pijpipj,i,j1,2,.确立其合散布律用中由独立性得二维连续型随机向量名称定性或背景注合密度平面上的地域D1.f(x,y)≥0Px1Xx2,y1Yy2f(x,y)P((X,Y)D)2.x2y2x1y1f(x,y)dxdyf(x,y)dxdyf(x,y)dxdy1DX的密度fX(x)f(x,y)dy随机量X的密度fX(x)=FX(x)Y的密度fY(x)f(x,y)dx独立性X与Y互相独立f(x,y)fX(x)fY(y)二（X,Y）～正散布N(μ1,μ2,12,22,)

随机量Y的密度f(y)=FY(y)YX、Y的散布完满确按定独立性；定其合散布律用中由独立性得X～N(1,12)X与Y互相独立=0；Y～N(2,2是X与Y的有关系数2)二维随机向量的散布函数名称合散布函数定失散型

定性或背景注F(x,y)＝P{X≤x,Y≤y}1.0≤F(x,y)≤1；F(x,y)能够描绘任意∞＜x,y＜+∞2.F(-∞,y)=0,F(x,-∞)=0,型(X,Y)的散布F(x,y)pijF(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1;xixyjy(X,Y)型(X,Y)的散布函数的散布函数

∞＜x,y＜+∞F(x,y)xyf(u,v)dudv∞＜x,y＜+∞FX(x)limF(x,y)yF(x,)FY(x)limF(x,y)xF(,y)

''3.F(x,y)x,y均右；2F(x,y)4.F(x,y)x和y不减；f(x,y)xyFX(x)X的散布函数由F(x,y)可确立FX(x)与FY(y)，反之未必FY(y)Y的散布函数（五）大数定律和中心极限制理名称条件X的E(X)、D(X)任意＞0，有契夫均存在有限PXE(X)D(X)或2不等式DXPXE(X)12{Xk}互相独任意＞0，有立且遵照同一分1nXk0切比雪夫布的随机量序limPnnk1大数定律列，又E(Xk)=,1nPD(Xk)=2(k=1,2,即Xknk1

注在已知X的均和方差，估X与其均E(X)的误差大(小)于的概率当n足大，1nXknk1将依概率收于其均μ⋯）均存在有限n～B(n,p);努里（或nn重努里中事件大数定律A生的次数，P(A)=p）勒-林德格{Xk}互相独中心极限制理立且遵照同一分(独立同散布中布的随机量序心极限制理）列，又E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,

任意ε＞0，有limPnp0。nP即A生的率npnnXknk1，令YnnlimPYnx(x)n即n很大，Yn～N(0,1)(近似)

以格数学形式描绘“率的定性”。在次数很大，用事件A的率作其概率的近似nn足大，Xk近似k1遵照N(n,n2)''⋯）均存在有限n德莫佛-拉普拉～B(n,p);斯中心极限制理（或nn重(努里情况中努里中事件心极限制理)A生的次数，P(A)=p）

nnp当n很大(n>30),有令Ynnpq，PanblimPYnx(x)(bnp)(anp).nnpqnpq即n很大，Yn～N(0,1)(近似),或n～N(np,npq)(近似)三、综合例题分析例1（1991年考研题）一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿灯的路口。每个信号灯为红或绿与其余信号灯为红或绿互相独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车初次碰到红灯前已经过的路口个数，求X的概率散布。解：第一，由题设可知，X的可能值为0，1，2，3。现设Ai={汽车在第i个路口初次碰到红灯}，i=1，2，3,则事件A1，A2，3互相独立，且Ai1（i=1，2，3），P(Ai)P(A)2故有P{X=0}=P(A1)=1，2P{X1}1P(A1)P(A2)22P{X2}P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3)23P{X3}P(A1A21A3)P(A1)P(A2)P(A3)23所以，X的散布律为X0123P11112222323''注意：利用性质：pi1，可检查失散型概率散布律的正确与否。同时，若Xi的某个取值x0的概率较难计算，而其余全部取值的概率已算出时，则也能够利用上述性质获得：P{X

x0}

1

pi

。i:xi

x0比方本例中：P{X3}1P{X0}P{X1}P{X2}1。23例2设连续型随机变量X的散布函数为xF(x)ABe2,x00,x0求：（1）常数A、B；（2）概率密度函数f(x)。解：（1）由散布函数的性质F(+∞)=1得xF(+∞)=lim(ABe2)A1，x再由散布函数的连续性知其右极限F(0+0)=F(0),即xF(0+0)=lim(ABe2)AB0x00联立上述两式，解之得：A=1,B=﹣1。则散布函数为xF(x)1e2,x00,x0（2）所求密度函数为xf(x)F(x)1e2,x0。20,x0''例3（1989年考研题）设随机变量在区间[1，6]上遵照均匀散布，求方程x2+x+1=0有实根的概率。解：易知方程x2+x+1=0有实根当且仅当=2－4≥0，即||≥2。故所求问题转变成：已知～U[1，6]，求P{||≥2}。现因在[1，6]上遵照均匀散布，则的概率密度为f(x)1,1x6,50,其余.方程x2ξ有实根的充要条件是=2－4≥0，即||≥2，故+x+1=0P{2}1P{2}1P{22}12(121dx)114f(x)dx10dx55。2215例4已知X～N(2,2，P{2＜＜，求P{X＜。)X0}解：因为X～N(2,2)，故P{2X4}(42)(22)(2)(0)σσσ因为(0)1，可知2(2)(0)0.8,故P{X0}(02)(2)1(2)10.2。注意：在正态散布的概率计算中，第一要将它标准化，转变成利用标准正态散布的公式求解即可。例5（1989年考研题）设随机变量X和Y独立，且X遵照均值为1，标准差为2的正态散布，而

Y遵照标准正态散布，试求随机变量

Z=2X－Y+3的概率密度函数。解：因为

X和

Y互相独立且都遵照正态散布，所以

Z作为

X，Y的线性组合也服从正态散布，故只需求E(Z)和D(Z)即可确立Z的概率密度函数了。由题设知，X～N（1，2），Y～N（0，1）。则由希望和方差的性质得''E(Z)=E(2X－Y+3)=2E(X)－E(Y)+3=5，D(Z)=D(2X－Y+3)=22D(X)+D(Y)=9.又因X，Y是互相独立的正随机量，Z是X，Y的性函数，故Z也正随机量，即Z～N(,2)，且=E(Z)=5,2=D(Z)=9。Z的概率密度1(z5)2fZ(z)e29,z。23注意：本主要察看的性是：一是独立正散布的性合仍正散布；二是正散布N(,2)完满由其希望和方差2决定。例6已知随机量X的概率散布律P{X=k}=1/2k，k=1，2，⋯，求Ysin(X)的概率散布律。2解：随机量Ysin(X)，当X取1,2,⋯,n,⋯，Y的取1,0,1,0,⋯,2即X1234567⋯Ysin(X)10-1010-1⋯2P11111112222324252627Ysin(X)只以1，0，1其取，其取概率2P{Y=1}=P{X=3}+P{X=7}+P{X=11}+⋯111112；23272118111516''P{Y=0}=P{X=2}+P{X=4}+P{X=6}+⋯111111；22242641314P{Y=1}=P{X=1}+P{X=5}+P{X=9}+⋯111118591222215116（或P{Y=1}=1－P{X=1}－P{X=0}=1218）15315故Y的散布律Y-101218P31515例7（X，Y）的合散布律YX-1011/41/421/6a求：（）常数；（）合散布函数在点（3,1）的3,1）。1a222F（22解：（1）由合散布律的性pij1ij1pij111知44a,ij6求得a1。3''2）（X，Y）的联合散布函数F(x,y)在点（3,1）处的值应为22F(3,1)P{X3,Y1}P{X1,Y1}P{X1,Y0}111。2222442注：求联合散布函数F(x，y)的值时，只需把取值知足xi≤x，yj≤y的点（xi，yj）的概率pij找出来，此后乞降就能够了。例8设(X,Y)~N(1,2,12,22,)，则X与Y互相独立的充分必需条件是=0。证：（充分性）因为(X,Y)~N(1,2,12,22,)，则其X与Y的边沿密度分别为ff

XY

1(x1)2(x)e212,x211(x2)2(y)e222,y,22当=0时，有f(x,y)21exp1(x1)2(y2)2122121(x1)21(y2)2e212e222fX(x)fY(y),2122故X与Y互相独立。（必需性）若已知X与Y互相独立，则对任意x，y，有f(x,y)fX(x)fY(y),特别地，取x1,y2，上式变成11，21221212进而有=0。例9（2001年考研题）一世产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假定每箱均匀重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用''中心极限制理明每最多能够装多少箱，才能保障不超的概率大于。（，此中(x)是准正散布函数）。解：Xi是汽装运的第i箱的重量（千克），最多能够装的箱数，12⋯,nX,X,Xn可n个互相独立并且遵照同散布的随机量，再Xn箱的重量，有nXXi，且i1E(Xi)50，=D(Xi)5，而由列-林德格中心极限制理，X近似遵照正散布N(n,n2)。所求箱数n决定于条件PX5000PXn5000n(500050nnn5n因，有100010n2n解之得n<98.02,即最多能够装98箱。例10在n重伯努利中，每次事件A生的概率都是。（1）X表示1000次独立中事件A生的次数，用中心极限制理算P{650＜X≤750}；（2）要使在n次中，A生的率在0.68与0.72之的概率最少，最少要做的次数n多少？解（1）因X～B(1000，0.7)，由德莫佛-拉普拉斯中心极限制理得P{650X750}P650npXnp750npnpqnpqnpq(750700)(650700)2(50)12(3.5)1210210210210.99954.（2）Xn次独立中事件A生的次数，所以，n次中，A生的率X，此中X～B(n，0.7)，，，依意，n使n''XX0.72n}n0.9,21即0.95.2因为，所以，n应使1.65，即n1429.31.4所以，最少要做1430次试验。注意：运用德莫弗-拉普拉斯定理计算概率近似值时，其重点是：“标准化”和“正态近似”，n越大所得的近似值越精准。n注：（1）若X～B(n,p)，则XXi，此中Xi互相独立且都遵照参数为p的0-1i1散布；（2）二项散布概率的计算，可总结为下述三种方法；方法一：X～B(n,p)，且不太大（n≤20）时，直接计算。kkqnk，。P{Xk}Cnpk0,1,,n(q1p).方法二：当n较大，且p较小（n≥20，p＜）时，由泊松定理，可近似计算：kP{Xk}e,np.k!方法三：当n较大，而p不太小时，用中心极限制理作正态近似计算例11一复杂系统由n个互相独立起作用的零件所组面，每个零件的靠谱性（即零件正常工作的概率）为，且必然最罕有80%的零件工作才能使整个系统工作。问：（1）n最少为多大时，才能使系统的靠谱性不低于？（2）若该系统由85个零件构成，则该系统的靠谱性是多少？''解：令X={n个零件中正常工作的零件数}，则X～B(n,0.9)。（1）由题意应求出n，使得PX0.8n1PXnpnp1(0.9n)npqnpq1()(n)3则n1.64，n≥。故n最少为25时，才能使系统的靠谱性不低于。3（2）所求靠谱性为PX851Xnp85np(85Pnpqnpq)(3.073)0.9989。3四、习题三解答下边两表能否可作为失散型随机变量的散布列？为何？X﹣102X012P﹣P解：对表1，因为P{X=﹣1}=﹣0.5<0，所以不可以作为失散型随机变量的散布列。对表2，因为3pk0.60.10.150.851，k1所以不可以作为失散型随机变量的散布列。2．一盒中有五枚纪念章，编号为1，2，3，4，5，从中任取3枚，用X表示取出的纪念章的最大号码，求X的散布律。解：由题意知：X的取值为3，4，5，''P{X=3}=15，C5310P{X=4}=C3230.3，C5310P{X=5}=C426C5310故X的散布律X012P或X的散布律P{X=k}=C11Ck21,k=3,4,5。C533．行某种，成功的概率3/4，失的概率1/4，以X表示直到成功所需的次数，（1）写出X的概率散布；（2）求X取偶数的概率。解：（1）X的概率散布律P{Xk}(1)k133，k=1,2,⋯444k（2）X取偶数的概率P{X=偶数}=P{X=2}+P{X=4}+⋯+P{X=2k}+⋯33333342424442k1421115424．随机量X的散布列：X0123Pp3求：（l）p3；（2）P{0<X<3}；（3）散布函数F(x)。解：（1）由pk的性知''4pk，p30.11k1故p3－。=1（2）P{0<X<3}=P{X=1}+P{X=2}=0.2+0.3=0.5。（3）则当x<0时，F(x)=P{X≤x}=0；当0≤x<1时，F(x)=P{X≤x}=P{X=0}=0.4；当1≤x<2时，F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}=0.4+0.2=0.6；当2≤x<3时，F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.4+0.2+0.3=0.9；当x≥3时，F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1。故X的散布函数为0,x00.4,0x1F(x)0.6,1x20.9,2x31,x35．设随机变量X的散布列为X-202P试求：E(X)，E(X2)，E(3X+5)，D(X)，D(3X+5)。3解：E(X)=xkpk200.320.2；k132222E(X2)=pk（020.32.8；xk2）k1E(3X+5)=3E(X)+5=3×(﹣；D(X)=E(X2)－[E(X)]2－(﹣0.2)2－；D(3X+5)=9D(X)=9×。6．甲、乙两批原料，过筛后得悉颗粒散布以下：''百分比(%)粒度甲乙180520200152022060202401520260520均匀来，哪一批粒粗？哪一批粒均匀性差？解：令X、Y分甲、乙两批原料的粒粒度，5E(X)=xkpk1802002400.152600.05220k15E(Y)=ykpk180200260220k1因E(X)=E(Y)，故甲、乙两批原料的粒一粗。5E(X)2pkDXxkk1=（18020.05（20022220）220）0.15（220220）（24020.15（2602220）220）0.05=2805E(Y)2pkDYykk1=（18020.2（2002（2202220）220）220）（24020.2（2602=800220）220）因D(X)<D(Y)，故乙批原料的粒均匀性差。7．随机量X的概率散布P(X=k)=a,k=1,2,⋯,NN确立常数a，共算E(X)及D(X)。Naaaa1，解：因pkNNak1NNN''故a=1。NNE(X)=xkpkk1k1

11kNN

Nk1

k1N(N1)N1；N22E(X2)=Nxk2pkNk211Nk21N(N1)(2N1)(N1)(2N1)k1k1NNk1N6622(N1)(2N1)N1)2N21D(X)=E(X)－[E(X)]=6(1228．X遵照的概率散布：P{X=k}=pqk-1，（k=1，2，⋯）,此中0<p<1,q=1p是常数，称X遵照参数p的几何散布g(p)。求E(X)。解一：E(X)=xkpkkpqk1pkqk1p(12q3q2)，(0<q<1)k1k1k1又qE(X)=p(q2q23q3)E(X)－qE(X)=p(1+q+q2+⋯)=plim1qn=p1=1;n1q1q故E(X)=1q=1。1p解二：E(X)kpqk1pkqk1k1k1求数kqk1的和。因为k1q11,(0<q<1)k1q此数逐求，得d(qk)d（qk）kqk1,dqk0k0dqk1所以kqk1d(1)(11,k1dq1qq)2''进而E(X)p1p11。(1q)2p2p9.设随机变量X的概率密度为f(x)Cx,0x10,其余试求：（1）常数C；（2）X落在（，）内的概率；（3）散布函数F(x)；（4）E(X)。1[x2C解：（1）]101,故C=2。f(x)dxCxdxC022（2）X0.7}[x2]00..370.722f(x)dx2xdx（3）当x<0时，F(x)xx0；f(x)dx0dx当0≤x<1时，F(x)x0x[x2]0xx2；f(x)dx0dx02xdxxf(x)dx012xdxx[x2]10当x≥1时，F(x)0dx00dx1即X的散布函数为0,x0F(x)x2,0x11,x1（4）E(X)xf(x)dxx2xdx[2x32。103310．设随机变量X的散布函数为F(x)1ex,x00,x0

1。试求：（1）P{X＜4}，P{X＞1}；（2）概率密度函数f(x)。解：（1）P{X＜4}=F(4)=1－e-4，P{X＞1}=1－P{X≤1}=1－F(1)=1－(1－e-1)=e-1''ex,x0（2）f(x)F(x)x00,11．设随机变量X的概率密度为x,0x1f(x)2x,1x20,其余试求（1）散布函数F(x);（2）数学希望E(X)。解：（1）当x<0时，F(x)xf(x)dxx0dx0；当0≤x<1时，F(x)x0xx2f(x)dx；0dxxdx02当1≤x<2时，F(x)xf(x)dx01xx)dx0dxxdx(201[x2]10[2xx2]1x1(2xx2)(21)x22x1222222当x≥2时，F(x)xf(x)dx00dx1xdx2x0(2x)dx0dx12x21x22。[2]0[2x2]11即X的散布函数为0,x0x2,0x1F(x)22x2x1,1x221,x212332dxx)dx[x]10[x2x]121。（2）E(X)xf(x)dx0x1x(23312．设随机变量X在（0，5）上遵照均匀散布，求方程4t2+4Xt+(X+2)=0中，t有实根的概率。解：随机变量X遵照的均匀散布为''f(x)1,0x550,其余,为使方程4t2+4Xt+(X+2)=0中的t有实根的充要条件是=(4X)2－4×4(X+2)=16X2－16X－32≥0,即X2－X－2≥0则所求概率为P{X2－X－2≥0}=P{(X－2)(X+1)≥0}=P{X≥2且X≥﹣1}+P{X≤2且X≤﹣1}51dx+0=3。=P{X≥2}+P{X≤﹣1}=52513．某车间有20台车床独立工作，每台车床开车时间占总工作时间的，又开车时每台车床需用电力是1单位，问：(1)车间需要电力的最可能值是多少单位？（2）若供应车间9单位电力，则因电力不足而耽搁生产的概率等于多少？（3）供应车间至少多少单位电力，才能使因电力不足而耽搁生产概率小于1％？解：设X为20台车床中开车的车床数，则X遵照二项散布B(20,0.3)。（1）因为(n+1)p=21×非整数，故对6.3取整得[6.3]=6，即车间需要电力的最可能值是6单位电力。（2）所求概率为(查附表2)2020P{X＞9}=P{X≥10}=P{Xk}C20k(0.3)k(0.7)20kk10k10（3）设供应车间m单位电力,则电力不足的概率为2020P{X＞m}=P{X≥m+1}=P{Xk}C20k(0.3)k(0.7)20kkm1km1对n=20,p=0.3,查附表2得m+1=12,故m=11，即最少供应车间11单位电力。14.设X遵照二项散布B(2，p)，Y遵照二项散布B(3，p),若已知P{X≥1}=5/9,试求P{Y≥1}的值。解：因X遵照二项散布B(2，p)，又''25P{X≥1}=1－P{X=0}=1－(1－p)=(1－p)2=1－5=4，1－p=2993

，故p=1。3又因Y遵照二散布B(3，p),即B(3，1)，故33（23=19）。P{Y≥1}=1－P{Y=0}=1－(1－p)=1－32715．某地胃癌的病率％，普5万人，求（1）没有胃癌患者的概率；（2）胃癌患者少于5人的概率。解：X胃癌患者人数，X遵照二散布B(50000，0.0001)。因n=50000很大，而p=0.0001特别小，=np=50000×0.0001=5，故可利用泊松近似公式行算。所求概率050000≈e=e-50!（1）所求概率50000P{X<5}=1－P{X≥5}=1－C50000k(0.0001)k(0.9999)50000kk51500005ke510.4405。k5k!16．一交台每分接到的呼次数遵照参数4的泊松散布，求：（1）一分内有8次呼的概率；（2）一分内呼次数大于10的概率。解：X表示交台每分接到的呼次数，X遵照的散布kP{X=k}=4e4，k=1，2，⋯；k!8（1）P{X=8}=4e4；8!''（2）P{X>10}=P{X≥11}=4ke40.00284。11k!设X～N(5,22)，查表计算概率：（1）P{4≤X＜7}；（2）P{|X|>1}。解：（1）P{4≤X<7}=(75)(45)=(1)－(﹣0.5)22(1)－(1－(0.5))=(1)－－（2）P{|X|>1}=1－P{|X|≤1}=1－P{﹣1≤X≤1}=1－[(15)(15)]22=1－[(﹣2)－(﹣3)]=1－[1－(2)－1+(3)]=1+(2)－(3)－18．将一温度调理器搁置在储蓄某种液体的容器内，调理器调整在d℃，则液体温度X是一个随机变量，且X～N(d，2。（）若，求X<89的概率；（）若要)1d=902保持液体温度最少为80℃的概率不小于，问d最少为多少？解：（1）因X～2),则P{X<89}=(8990)=(﹣2)=1－(2)=1－（2）依题意应有P{X≥80}≥，即P{X≥80}=1－P{X≤80}=1－(80d)≥，则(80d)≥，查表得80d2.33，故d≥80+0.5×。19．某工厂生产的螺栓长度（cm）遵照参数=10.05,=0.06的正态散布，假如规定长度在±0.12内为合格品，求任取一螺栓为不合格品的概率。解：螺栓为合格品的概率P{10.05－0.12<X<10.05+0.12}=()()''(2)－(﹣2)=2(2)－1=2×－则螺栓为不合格品的概率P=1－。20.设X～N(,2)，若P{|X－|<C}=0.5，则称C为X的可能误差，问C/等于多少？解：因X～N(,2)，则P{|X－C)(C|<C}=P{﹣C<X－<C}=P(﹣C<X<+C)=()=(C)(C)2(C,则(C，故C。21．设随机变量X～N(60，32)，求分位数x1，x2，使X分别落在区间(﹣∞，x1)，（x1，x2），（x2，+∞）内的概率之比为3∶4∶5。解：设X落在(﹣∞，x1)，(x1，x2)，(x2，+∞)内的概率分别是p1、p2和p3，由题意p1+p2+p3=1，且p1:p2:p3=3:4:5由此计算得13124135p=124，p123，p=12则P{X<x1}=(x160)p11,34(60x1)1(x160)110.75,334即60x1，3故x1－×=603''又P{X>x2}=1－P{X≤2－(x260)p5312(x2360)1571212则x260，3故x2×。=60+3所以所求分位数是x1，2。22．设随机变量X的密度函数为fxex,x0，0,x0试求：（1）Y1；（）2-2X的数学希望。=2X2Y=e解：（1）E