2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案

65)65)题号—•二三合计(11)(12)(13)(14)(15)得分—评卷员B.D.A.2.C•考虎对立事件：a与b,c与d,e与f为正方体的对面,ab有种填法，cd有种填法，ef有2种填法，而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为：3.定义两种运算则函数为（）（A）（A）奇函数-（C）奇函数且为偶函数（B）偶函数（D）非奇函数且非偶函数3・A.心3・A.心J（2打;J占土(xw[-2,2])・4・圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点.该青蛙从5这点开始起跳，经xx次跳动，最终停在的点为（▲）TOC\o"1-5"\h\zA・4B・3C・2D・14・D・二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.把答案填在题中横线上.5•已知方程塔+（4+i）A+4+di=0（GR）有实根人且z=d+bi,则复数z二・5.2-2i.由题意知b：+（4+i）/?+4+Gi=0abR）,即b2+4b+4+（a+b）i=0.由复数相等可得:即z=2-2i.在直角坐标系中，若方程加（F+F+2y+l）=（.「2y+3）2表示的曲线是双曲线，则川的取值范围为.戸_往2+()，+1)2Qm|x-2y+3|V56・（0,5）力程m（x2+y2+2y+戸_往2+()，+1)2Qm|x-2y+3|V5其表示双曲线上一点（心）到定点（0「1）与定直线x-2y+3=0之比为常数孑又由少1,可得0<m<5.直线ax+byA-O^b不全为0）,与圆x\v2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数,(1,7)⑴）那么这样的直线有条.(1,7)⑴）7.72•如图所示，在第一象限内，圆F+尸=50上的

整点有（1,7）、（5,5）、（7,1）,则在各个象限内圆上的整点的个数共有12个，此12个点任意两点相连可

得C=66条直线，过12个点的切线也有12条，又直线加+如1=0(血不全为0)不过坐标原点，故其中有6条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72条.17・如图的三角形数阵中，满足：(1)第1行的数为1;(2)第n(n^2)行首尾两数均为m其余的数都等于它肩上的两个数相加・则第n行(n$2)中第2个数是—△_(用n表示).51151114115616616252516617.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为4的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数，那么积加•//是・DQDQ8.6•解：设六面体与八面体的内切球半径分别为□与门，再设六面体中的正三棱锥A-BCD的高为虹八面体中的正四棱锥M—NPQR的高为/匕，如图所示，则hi=aji2=a・•/V正去面体=2•In•S^bcd=6•ri•S^abc^/•ri=/?i=fl.又TV正人面*=2•hi•S正方彤npqr=8•r：•Samnp、•••d'=2门艮卩川=2艮卩川=2屮=3,「・川•n=6.于是是最简分数,々亦33a6若的两条中线的长度分别为6,7,则面积的最人值为9.2&如图,D,E，F是各边的中点,延长EE至G,使得BE=BG,延长EC至H,使得DC=CH,连接AGEH,则CH=EF=AG=DH,且AG||DH,则四边形EFCH和ADHG是平行四边形.故CF=EHAD=EH・故AEGH的三边EH、EG、EH分别是Z\ABC的三边的中线AD、BE.CF,即、、・4由共边定理知，Smbc=2SSBCE=2X亍SSBEH=—SgjH

已知是定义（-3,3）在上的偶函数，当0<x<3时，的图彖如图所示，那么不等式的解集是•10..由已知在（0,3）图像我们可以得到在（一3,3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是.三、解答题：本大题共5小题，共90分.要求写出解答过程.（本小题满分15分）已知函数，是的导函数.I（I）求函数F（x）=/（x）广（x）+/'（x）的最大值和最小正周期；（1【）若，求的值.TOC\o"1-5"\h\z11.（I）T2分.\F（x）=/（x）/,（x）+/2（x）=cos'x-sin2x+l+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+JTsiii（2x+—）6分4jrrrjr•：当2x+—=2k7r+—^>x=k;r+—(<kwZ)时，最小正周期为8分(II)T/(x)=2/,(x)=>smx+cosx=2cosx-2smx11分15分/.cosx=3sinx11分15分3.1+sin2x2sin2x+cos2x••-:=:cos"x一sinxcosxcos"x一sinxcosx11_2tail2x+1_©_111-tanx26（本小题满分15分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中…它的正视图、俯视图.从左向右的侧视图的面枳分别为，…（I）求直线与平面所成角的正弦;（II）在线段上是否存在点，使平面・若存在，确定点的位置：若不存在，说明理由.解：(1)设BA=BC=BD=gBB严b・ab+—a2=2>/2+1(_由条件2n"〜.(3分)12ib=2—a=112以点B为原点，分别以BC、BE“84为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则4（0,0,忑）,C（VI0,0）,00,—x/10）,坊（0,2,0）,C^,2,0）,人（0,2,血）（5分）-AACD的重心G/.a/.a=BG二为平面4CD的法向量.（7分）/.a/.a=BG二为平面4CD的法向量.（7分）.•.所求角的正弦值为』@.（10分）6（2）令M=niAC1=（y/2m,2my-y/2m）（11分）B、P=B[A+AP=（>/?〃7,2m-2,>/2-加）=Aa72/??=—/3/.vIm-2=-无解（14分）3>/2—y/2m=/3・・・不存在满足条件的点P・（15分）（本小题满分20分）已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不同于点）.（I）求椭圆的方程；（II）当时，求直线P0的方程：（III）判断能否成为等边三角形，并说明理由.解：（I）设椭圆方程为@>b>0）,由已知TOC\o"1-5"\h\z•••2分•••椭圆方程为.4分（II）解法一椭圆右焦点.设直线方程为（WR）・5分x=myx=my+1,3■—+—143W（3nr+4）>?2+6my-9=0・①显然，方程①的.设，则有+y2设，则有+y2=93/h2+4——8分I（”+厅I（”+厅\（3/r?2+4）'=12xX1L3〃厂+4•••,•••.解得.・••直线用方程为，即或.12分解法二：椭圆右焦点.当直线的斜率不存在时…不合题意.设直线方程为，5分由得（3+4/卅一弘哦+4/—12=0.①一一6分显然，方程①的.设,则xl+设,则xl+x2一3+4/4k2-12X-y=・3+4TPQ=J（1+厲仗+xJ-佔•X」=和話（占讨=12慣+1\=12导■.*（4疋+3）-4S+3•・•，・•・，解得.•••直线的方程为，即或.12分（III）不可能是等边三角形.13分如果是等边三角形，必有，16分•••U+2）2+y；=（x2+2尸+y；,AU+x2+4Xx1-x2）+（”+y2X”—儿）=016分•••［加5+儿）+6加（儿一yJ+（%+儿X开一儿）=°，•••,或（无解）.而当时，|P0|=3,|4P|=|40|=芈，不能构成等边三角形.・••不可能是等边三角形.20分I14•设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求AAPB的重心G的轨迹方程.（2）证明ZPFA二ZPFB・

14・解:（1）设切点A、B坐标分别为，•••切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以AAPB的重心G的坐标为,）v_y0+）1+yP_A0++砧_（X。+xj，-和—4xp2-ypy333所以，由点P在直线』上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：x-（~3y4-4x2）-2=0,即y=i（4x2一x+2）.⑵方法1：因为丑=（兀，对-扌），帀=（卫尹,兀人-》,而=（兀,器-扌）.由于P点在抛物线外，则cosZAFP=一一申|申|同理有cosZBFP=空色冋旳FP.FA^^■•兀+（兀坷一》（兀'一》兀兀+扌

而店+（J_$IFPI,

号土cosZAFP=一一申|申|同理有cosZBFP=空色冋旳・•・ZAFP二ZPFB.方法2：①当XrV0=0时，由于X]H兀,不妨设X。=0,则儿=0,所以P点坐标为，则P点到.1直线AF的距离为：直线AF的距离为：心=2即（彳一1）/一乙）'+2"=0・44;而直线的方程:y--=—兀4兀1（彳一丄口+玉|（彳+丄）凶II所以P点到直线BF的距离为：/「42__j_=——22TOC\o"1-5"\h\z14所以即得ZAFP=ZPFB.2_1②当时，直线AF的方程:]X。一T②当时，直线AF的方程:y_;=——(%_0)，即(兀_-)x_心y+-心=0,\o"CurrentDocument"x0-044,1牙-直纟戈BF的方程：y_丄=3_0）,即（彳--）x-a.y+^x.=0.\o"CurrentDocument"4x】-044所以P点到直线AF的距离为：1.1.=・I（xo一才）（。21）一XO~X1+才竝I.1Ao+4同理可得到PI（xo一才）（。21）一XO~X1+才竝I.1Ao+4同理可得到P点到直线BF的距离，因此Fhdi=d：,可得到ZAFP二ZPFB.（本小题满分20分）设x=l是函数的一个极值点（,为自然对数的底）.（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）若在闭区间上的最小值为0,最人值为，且。，试求与的值.（1）的定义域为，/w=^cix2+(cib+a)x+cib+b-1^_八由已知得………4分d(x-l)x+2d+3]2a+l)(“I)'X(-8样2)(兀2,-1)(-1,1)(1,+8)r（x）—++—滅函数增函数增函数滅函数令得：……8分当变化时的变化情况如卜表：从上表可知：在区间和上是减函数；在和上是增函数・……10分（2）①当时在闭区间上是减函数.兀一]+又时f（x]=—严=；N±1严＞0,其最小值不可能为0,V7x+1x+1故此时的a,m也不存在②当时，在上是减函数，14分则最人值为/（1）=又最小值为，旦e-“=丄e-“得:22……18分.•••20分•••20分15・（本小题满分20分）已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、・（1）求证：为关于的方程的两根；（2）设，求函数的表达式；（3）在（2）的条件下，若在区间内总存在个实数（可以相同），使得不等式

g(aJ+g(冬)+…+ga”)Vg(a*J成立,求的最大值.（1）由题意可知：•・•，……3分切线的方程为：y—（X］4—）=（1）（x—X］）,又切线过点，右0-（旺+—）=（1——）（1一,即，①同理，由切线也过点，得.②由①、②，可得是方程（*）的两根……7分（2）由（*）知.施+耳）一輕］［1+（1施+耳）一輕］［1+（1一总］13分•••^(r)=V2oF+2Or(r>0).13分（3）易知在区间上为增函数,则m・g(2)<g(aj+g(aj+…+gS<g(B+J<gQ6)・…16分即，即〃“20・2?+20・2vJ2O・16?+20・16,所以，由于为正整数，所以.又当时，存在，满足条件，所以的最人值为.・・・20分2019-2020年高二数学（文科）试2019-2020年高二数学（文科）试J含答案填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否則一律得零分.

在的展开式中，设各项的系数和为e各项的二项式系数和为k则=(2x+y_2<0若实数满足<X>0则的最人值为.y>0若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为90。的扇形，则这个圆锥的全面积是俯视图由若干个棱长为的正方体组成的几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为—•俯视图在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率已知正四棱柱的一条对角线长为，底面边长为1,则此正四棱柱的表面积为_・<10设是不等式组2x+y>4表示的平面区域，则中的点到直线的距离的最大值0<x<39.设函数的曲线绕轴旋转一周所得几何体的表而枳.x>0y>0(j?gN)所表示的平面区域的整点(即横坐标和纵坐标均为整y<-nx+4n数的点)个数为则(a.+9.设函数的曲线绕轴旋转一周所得几何体的表而枳.x>0y>0(j?gN)所表示的平面区域的整点(即横坐标和纵坐标均为整y<-nx+4n数的点)个数为则(a.+a4+•••+«)=2010-11・边长分别为、的矩形，按图中所示虚线剪裁后，10・设不等式组2可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底而，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则的取值范闌是12.在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形・己知G与E分别歹Ta1厂、厂、Z、/\/X✓\/X/X，、✓、夕\Z、/、/、/、/、✓、/、幺、_✓、b线段和上的动点(不包括端点).若，则线段的长度的最小值为13.正四面体的表面积为，其中四个面的中心分别是、、、•设四面体的表面积为，则等于14.对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”,并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”.曲线C:y=W0)相对于坐标原点的"确界角”的大小2-y/l-x2(x<0)BB选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为A・84B.78C.81D.96教室内有一把直尺，无论这把直尺怎样放置，在教室的地面上总能画出一条直线，使这条直线与直尺（）A.平行B.垂直C.异面D.相交如图，为正方体的中心，△在该正方体各个面上的射影可能是（）(2)⑶(4)A.（1）(2)⑶(4)A.（1）、（2）、（3）、（4）C.⑴、(4)D.(2)、(4)给出下列四个命题:（1）异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线：（2）若直线上有两点到平面的距离相等，则；（3）若直线与平面内无穷多条直线都垂直，贝IJ；（4）两条异面直线中的一条垂直于平面a,则另一条必定不垂直于平面a.其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤・（本题满分12分）已知矩形内接于圆柱下底面的圆，是圆柱的母线，若，，异面直线与所成的角为，求此圆柱的体积.

20・（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图：三棱锥中，丄底面，若底面是边长为2的正三角形，且与底面所成的角为.若是的中点，求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成角的人小（结果用反三角函数值表示）・21・（本题满分14分）如图，在北纬60。线上，有久B两地，它们分别在东经20°和140。线上，设地球半径为求爪B两地的球面距离・22・（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分。如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点.（1）求证：；（2）在任意中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF-EFcosADFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离人1.（1）求曲线的轨迹方程；（2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值；（3）若曲线上不同的两点、满足，求的取值范I韦I.华东师大三附中XX第二学期期末考试高二数学（文科）试题答案一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，毎个空格填对得4分.否则一律得零分・5.51.2・13・44.6.7.8.9.10.301811.12.13.14.二15.B16.B17.C18.C三.解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤・19.解：设圆柱下底面圆的半径为，连，TOC\o"1-5"\h\z由矩形内接于圆，可知是圆的直径，（2分）于是，得，（4分）由〃，可知就是异面直线与所成的角，即，故（7分）在直角三角形中，，（9分）故圆柱的体积故圆柱的体积V=Tir2・PA=兀x5,x12=300tt（12分）故圆柱的体积故圆柱的体积V=Tir2・PA=兀x5,x12=300tt（12分）20.（1）因为底面，与底面所成的角为所以2分因为，所以（4分）Vp-ABC=ISwc•必斗芈•4•2屁2\o"CurrentDocument"334（2）连接，取的中点，记为，连接，则所以为异面直线与所成的角计算可得：，，（11）分\o"CurrentDocument"川1+15-13V15cosZPMN=——=\o"CurrentDocument"2V1510异面直线与所成的角为（14分）（9）分（7分）（13分）（2（2分）（5分）（8分）（11分）21・(本题满分14分)解：设纬线圈半径为儿据题意，ZAOiB=140°